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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第3章 第2节 利用导数研究函数的性质(含解析)新人教B版

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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第3章第2节利用导数研究函数的性质新人教B版一、选择题1.函数y=2x3-3x2-12x+5在[-1,3]上的最大值、最小值分别是(  )A.12;-8      B.1;-8C.12;-15D.15,-4[答案] D[解析] y′=6x2-6x-12,由y′=0⇒x=-1或x=2,当x∈[-1,2]时,y′<0,函数单调减小,当x∈[2,3]时,y′>0,函数单调增加,x=-1时y=12,x=2时y=15.x=3时,y=-4.∴ymax=15,ymin=-4.故选D.2.(2022·四川内江三模)已知函数f(x)=x3-x2+cx+d有极值,则c的取值范围为(  )A.c<B.c≤C.c≥D.c>[答案] A[解析] 由题意可知f′(x)=x2-x+c=0有两个不同的实根,所以Δ=1-4c>0⇒c<.3.(文)(2022·广东中山一模)已知定义在R上的函数f(x),其导函数f′(x)的大致图象如图所示,则下列叙述正确的是(  )A.f(b)>f(c)>f(d)B.f(b)>f(a)>f(e)C.f(c)>f(b)>f(a)D.f(c)>f(e)>f(d)[答案] C[解析] 依题意得,当x∈(-∞,c)时,f′(x)>0;当x∈(c,e)时,f′(x)<0;当x∈(e,+∞)时,f′(x)>0.因此,函数f(x)在(-∞,c)上是增函数,在(c,e)上是减函数,在(e,+∞)上是增函数,又a<b<c,所以f(c)>f(b)>f(a),选C.(理)设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f′(x)的图象可能为图中的(  )-12-\n[答案] D[解析] 当y=f(x)为增函数时,y=f′(x)>0,当y=f(x)为减函数时,y=f′(x)<0,可判断D成立.4.(文)若a>2,则函数f(x)=x3-ax2+1在区间(0,2)上恰好有(  )A.0个零点B.1个零点C.2个零点D.3个零点[答案] B[解析] f′(x)=x2-2ax=x(x-2a)=0⇒x1=0,x2=2a>4.易知f(x)在(0,2)上为减函数,且f(0)=1>0,f(2)=-4a<0,由零点判定定理知,函数f(x)=x3-ax2+1在区间(0,2)上恰好有一个零点.(理)(2022·湖北荆州质检二)设函数f(x)=(x-1)kcosx(k∈N*),则(  )A.当k=2022时,f(x)在x=1处取得极小值B.当k=2022时,f(x)在x=1处取得极大值C.当k=2022时,f(x)在x=1处取得极小值D.当k=2022时,f(x)在x=1处取得极大值[答案] C[解析] 当k=2022时,f(x)=(x-1)2022cosx,则f′(x)=2022(x-1)2022cosx-(x-1)2022sinx=(x-1)2022[2022cosx-(x-1)sinx],当<x<1时,f′(x)>0;当1<x<时,f′(x)>0,此时函数x=1不是函数f(x)的极值点,A,B选项均错误.当k=2022时,f(x)=(x-1)2022cosx,则f′(x)=2022(x-1)2022cosx-(x-1)2022sinx=(x-1)2022[2022cosx-(x-1)sinx],当<x<1时,f′(x)<0;当1<x<时,f′(x)>0,此时函数f(x)在x=1处取得极小值,故选C.5.(2022·内蒙古鄂尔多斯模拟)已知a≥0,函数f(x)=(x2-2ax)ex,若f(x)在[-1,1]上是单调减函数,则a的取值范围是(  )A.0<a<B.<a<C.a≥D.0<a<[答案] C[解析] f′(x)=(2x-2a)ex+(x2-2ax)ex=[x2+(2-2a)x-2a]ex,由题意当x∈[-1,1]时,f′(x)≤0恒成立,即x2+(2-2a)x-2a≤0恒成立.令g(x)=x2+(2-2a)x-2a,则有即解得a≥.选C.6.(文)函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为(  )-12-\nA.(-1,1)B.(-1,+∞)C.(-∞,-1)D.(-∞,+∞)[答案] B[解析] 由题意,令φ(x)=f(x)-2x-4,则φ′(x)=f′(x)-2>0.∴φ(x)在R上是增函数.又φ(-1)=f(-1)-2×(-1)-4=0,∴当x>-1时,φ(x)>φ(-1)=0,∴f(x)-2x-4>0,∴f(x)>2x+4.故选B.(理)(2022·吉林长春二调)设函数f(x)是定义在(-∞,0)上的可导函数,其导函数为f′(x),且有2f(x)+xf′(x)>x2,则不等式(x+2022)2f(x+2022)-4f(-2)>0的解集为(  )A.(-∞,-2022)B.(-2022,0)C.(-∞,-2022)D.(-2022,0)[答案] C[解析] 由2f(x)+xf′(x)>x2,x<0,得2xf(x)+x2f′(x)<x3,即[x2f(x)]′<x3<0,令F(x)=x2f(x),则当x<0时,F′(x)<0,即F(x)在(-∞,0)上是减函数,F(x+2022)=(2022+x)2f(x+2022),F(-2)=4f(-2),F(2022+x)-F(-2)>0,即F(2022+x)>F(-2).又F(x)在(-∞,0)上是减函数,所以2022+x<-2,即x<-2022,故选C.二、填空题7.(文)(2022·天津一中月考)已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1时有极值0,则a-b的值为________.[答案] -7[解析] f′(x)=3x2+6ax+b,若在x=-1处有极值0,则解得或但当a=1,b=3时,f′(x)=3(x+1)2≥0,不合题意,故a-b=-7.(理)(2022·山东青岛模拟)已知函数f(x)=ex-2x+a有零点,则a的取值范围是________.[答案] (-∞,2ln2-2][解析] 由原函数有零点,可转化为方程ex-2x+a=0有解,即方程a=2x-ex有解.令函数g(x)=2x-ex,则g′(x)=2-ex.令g′(x)>0,得x<ln2,g(x)′<0,得x>ln2.所以g(x)在(-∞,ln2)上是增函数,在(ln2,+∞)上是减函数,所以g(x)的最大值为g(ln2)=2ln2-2.因此,a的取值范围就是函数g(x)的值域,所以a的取值范围为(-∞,2ln2-2].8.(文)(2022·江西九江二模)已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m、n∈[-1,1],则f(m)+f′(n)的最小值是________.[答案] -13[解析] 求导得f′(x)=-3x2+2ax,由函数f(x)在x=2处取得极值知f′(2)=0,即-3×4+2a×2=0,∴a=3.由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f′(x)=-3x2+6x,易知f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,∴当m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4.又∵f′(x)=-3x2+6x的图象开口向下,且对称轴为x=1,∴当n∈[-1,1]时,f′(n)min=f′(-1)=-9.故f(m)+f′(n)的最小值为-13.(理)(2022·嘉兴质检)不等式ln(1+x)-x2≤M恒成立,则M的最小值是________.-12-\n[答案] ln2-[解析] 设f(x)=ln(1+x)-x2,则f′(x)=[ln(1+x)-x2]′=-x=,∵函数f(x)的定义域为(-1,+∞).令f′(x)=0得x=1,当x>1时,f′(x)<0,当-1<x<1时,f′(x)>0,∴函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)=ln2-.∵ln(1+x)-x2≤M恒成立,∴M≥ln2-,即M的最小值为ln2-.9.(2022·唐山模拟)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的对称中心为M(x0,y0),记函数f(x)的导函数为f′(x),若f′(x)的导函数为f″(x),则有f″(x0)=0.若函数f(x)=x3-3x2,则可求得:f()+f()+…+f()+f()=________.[答案] -8046[解析] ∵f(x)=x3-3x2,∴f″(x)=6x-6,令f″(x0)=0,得x0=1,由对称中心的定义知f(x)的对称中心为(1,-2),设M(x1,y1)关于(1,2)的对称点为N(x2,y2),则有x1+x2=2时,y1+y2=-4,∴f()+f(2-)=-4,k=1,2,…,2022,∴原式=2022×(-4)+(-2)=-8046.三、解答题10.(文)(2022·北京东城区统一检测)已知函数f(x)=x3+mx2-3m2x+1,m∈R.(1)当m=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)若f(x)在区间(-2,3)上是减函数,求m的取值范围.[解析] (1)当m=1时,f(x)=x3+x2-3x+1,又f′(x)=x2+2x-3,所以f′(2)=5.又f(2)=,所以所求切线方程为y-=5(x-2),即15x-3y-25=0.所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为15x-3y-25=0.(2)因为f′(x)=x2+2mx-3m2,-12-\n令f′(x)=0,得x=-3m或x=m.当m=0时,f′(x)=x2≥0恒成立,不符合题意.当m>0时,f(x)的单调递减区间是(-3m,m),若f(x)在区间(-2,3)上是减函数,则,解得m≥3.当m<0时,f(x)的单调递减区间是(m,-3m),若f(x)在区间(-2,3)上是减函数,则,解得m≤-2.综上所述,实数m的取值范围是m≥3或m≤-2.(理)已知f(x)=lnx+x2-bx.(1)若函数f(x)在其定义域内是增函数,求b的取值范围;(2)当b=-1时,设g(x)=f(x)-2x2,求证函数g(x)只有一个零点.[解析] (1)∵f(x)在(0,+∞)上递增,∴f′(x)=+2x-b≥0,对x∈(0,+∞)恒成立,即b≤+2x对x∈(0,+∞)恒成立,∴只需b≤min,∵x>0,∴+2x≥2,当且仅当x=时取“=”,∴b≤2,∴b的取值范围为(-∞,2].(2)当b=-1时,g(x)=f(x)-2x2=lnx-x2+x,其定义域是(0,+∞),∴g′(x)=-2x+1=-=-,令g′(x)=0,即-=0,∵x>0,∴x=1,当0<x<1时,g′(x)>0;当x>1时,g′(x)<0,∴函数g(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,∴当x≠1时,g(x)<g(1),而g(1)=0,∴g(x)<0,∴函数g(x)只有一个零点.一、选择题11.已知函数f(x)=sinx+cosx,f′(x)是f(x)的导函数,则函数F(x)=f(x)·f′(x)+f2(x)的最大值是(  )A.1+B.1-C.D.-[答案] A[解析] 依题意,得f′(x)=cosx-sinx,所以F(x)=(sinx+cosx)(cosx-sinx)+(sinx+cosx)2=sin(2x+)+1,所以F(x)的最大值是1+.-12-\n12.(文)(2022·福建漳州质检)已知f(x)为R上的可导函数,且∀x∈R,均有f(x)>f′(x),则以下判断正确的是(  )A.f(2022)>e2022f(0)B.f(2022)<e2022f(0)C.f(2022)=e2022f(0)D.f(2022)与e2022f(0)大小无法确定[答案] B[解析] 令函数g(x)=,则g′(x)=.∵f(x)>f′(x),∴g′(x)<0,即函数g(x)在R上递减,∴g(2022)<g(0),∴<,∴f(2022)<e2022f(0).(理)(2022·云南昆明三中、玉溪一中统考)已知函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),若f(x)满足:(x-1)[f′(x)-f(x)]>0,f(2-x)=f(x)e2-2x,则下列判断一定正确的是(  )A.f(1)<f(0)B.f(2)>ef(0)C.f(3)>e3f(0)D.f(4)<e4f(0)[答案] C[解析] 令F(x)=f(x)e-x,则F′(x)=e-x[f′(x)-f(x)],当x<1时,由条件知f′(x)-f(x)<0,F′(x)<0,F(x)单调递减,所以F(-2)>F(-1)>F(0),即f(-2)e2>f(-1)e>f(0),又f(4)=f(-2)e6,f(3)=f(-1)e4,所以f(4)>f(0)e4,f(3)>f(0)e3,故选C.13.(文)(2022·河南八校联考)设p:f(x)=x3-2x2-mx+1在(-∞,+∞)上单调递增,q:m>,则p是q的(  )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.以上都不对[答案] D[解析] f′(x)=3x2-4x-m,由题意知3x2-4x-m≥0在R上恒成立,∴m≤-.当m≤-时,m>不成立,∴p⇒/q;当m>时,m≤-不成立,∴q⇒/p,故选D.(理)(2022·河南省实验中学期中)函数f(x)在定义域R上的导函数是f′(x),若f(x)=f(2-x),且当x∈(-∞,1)时,(x-1)f′(x)<0,设a=f(0)、b=f()、c=f(log28),则(  )A.a<b<cB.a>b>cC.c<a<bD.a<c<b[答案] C[解析] 由f(x)=f(2-x)知f(x)的图象关于直线x=1对称,∵x<1时,(x-1)f′(x)<0,∴f′(x)>0,∴f(x)在(-∞,1)上单调递增,∴f(x)在(1,+∞)上单调递减,∵a=f(0)=f(2),b=f(),c=f(log28)=f(3),<2<3,∴b>a>c,故选C.14.(文)(2022·陕西西工大附中训练)已知可导函数f(x)(x∈R)满足f′(x)>f(x),则当a>0时,f(a)和eaf(0)的大小关系为(  )A.f(a)<eaf(0)B.f(a)>eaf(0)C.f(a)=eaf(0)D.f(a)≤eaf(0)-12-\n[答案] B[解析] 令F(x)=,则F′(x)=>0,∴F(x)为增函数,∵a>0,∴F(a)>F(0),即>f(0),∴f(a)>eaf(0),故选B.(理)(2022·课标Ⅱ文,11)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是(  )A.∃x0∈R,f(x0)=0B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x0)单调递减D.若x0是f(x)的极值点,则f′(x0)=0[答案] C[解析] 由题意得,f′(x)=3x2+2ax+b,该函数图象开口向上,若x0为极小值点,如图,f′(x)的图象应为:故f(x)在区间(-∞,x0)不单调递减,C错,故选C.二、填空题15.(2022·福建质量检查)设g′(x)是函数g(x)的导函数,且f(x)=g′(x).现给出以下四个命题:①若g(x)是偶函数,则f(x)必是奇函数;②若f(x)是偶函数,则g(x)必是奇函数;③若f(x)是周期函数,则g(x)必是周期函数;④若f(x)是单调函数,则g(x)必是单调函数.其中正确的命题是________.(写出所有正确命题的序号)[答案] ①[解析] 因为若g(x)是偶函数,则根据偶函数关于y轴对称,可得函数g(x)的导函数即函数的切线的斜率关于原点对称,所以①正确;若g(x)=x3+1,则f(x)=x2是偶函数,但g(x)不是奇函数,所以②不正确;若g(x)=-cosx+2x,则f(x)=sinx+2是周期函数且f(x)>0,则g(x)是增函数,所以g(x)不可能是周期函数,所以③不正确;若g(x)=x2,则f(x)=x是单调函数,但g(x)不是单调函数,所以④不正确.综上可知,①正确.16.(文)(2022·扬州期末)已知函数f(x)=lnx-(m∈R)在区间[1,e]上取得最小值4,则m=________.[答案] -3e[解析] f′(x)=+=(x>0),当m>0时,f′(x)>0,f(x)在区间[1,e]上为增函数,f(x)有最小值f(1)=-m=4,-12-\n得m=-4,与m>0矛盾.当m<0时,若-m<1即m>-1,f(x)min=f(1)=-m=4,得m=-4,与m>-1矛盾;若-m∈[1,e],即-e≤m≤-1,f(x)min=f(-m)=ln(-m)+1=4,解得m=-e3,与-e≤m≤-1矛盾;若-m>e,即m<-e时,f(x)min=f(e)=1-=4,解得m=-3e,符合题意.(理)已知函数f(x)=+lnx,若函数f(x)在[1,+∞)上为增函数,则正实数a的取值范围为________.[答案] [1,+∞)[解析] ∵f(x)=+lnx,∴f′(x)=(a>0),∵函数f(x)在[1,+∞)上为增函数,∴f′(x)=≥0对x∈[1,+∞)恒成立,∴ax-1≥0对x∈[1,+∞)恒成立,即a≥对x∈[1,+∞)恒成立,∴a≥1.三、解答题17.(文)(2022·菏泽期中)已知函数f(x)=x2+2alnx.(1)若函数f(x)的图象在(2,f(2))处的切线斜率为1,求实数a的值;(2)若函数g(x)=+f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围.[解析] (1)f′(x)=2x+=,由已知f′(2)=1,解得a=-3.(2)由g(x)=+x2+2alnx得g′(x)=-+2x+,由已知函数g(x)在[1,2]上为单调减函数,则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立,即-+2x+≤0在[1,2]上恒成立.即a≤-x2在[1,2]上恒成立.令h(x)=-x2,在[1,2]上h′(x)=--2x=-(+2x)<0,所以h(x)在[1,2]上为减函数,h(x)min=h(2)=-,所以a≤-.-12-\n(理)(2022·江西赣州博雅文化学校月考)已知函数f(x)=alnx+x2-(1+a)x(x>0).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若f(x)≥0在(0,+∞)内恒成立,求实数a的取值范围.[解析] (1)f′(x)==(x>0).当a≤0时,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;当0<a<1时,f(x)在(a,1)单调递减,在(0,a)和(1,+∞)上单调递增;当a=1时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>1时,f(x)在(1,a)上单调递减,在(0,1)和(a,+∞)上单调递增.(2)解法一:由f(x)≥0得:a≤·,令g(x)=,则g′(x)=,令h(x)=x+2-2lnx,则h′(x)=,当x∈(0,2)时,h′(x)<0,h(x)单调递减,当x∈(2,+∞)时,h′(x)>0,h(x)单调递增.∴h(x)≥h(2)=4-2ln2>0,即x+2-2lnx>0,所以由g′(x)=>0得x>1,所以g(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.所以g(x)≥g(1)=-1,从而a≤-.解法二:由f(1)=--a≥0得:a≤-.由(1)知当a≤-时,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以f(x)≥f(1)≥0.所以若f(x)≥0在(0,+∞)内恒成立,实数a的取值范围为(-∞,-].18.(文)(2022·陕西西安模拟)已知函数f(x)=(a≠0,a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当a=1时,若对任意x1,x2∈[-3,+∞),有f(x1)-f(x2)≤m成立,求实数m的最小值.[解析] f′(x)=.令f′(x)=0,解得x=a或x=-3a.(1)当a>0时,f′(x),f(x)随着x的变化如下表:x(-∞,-3a)-3a(-3a,a)a(a,+∞)f′(x)-0+0-f(x)极小值极大值函数f(x)的单调递增区间是(-3a,a),函数f(x)的单调递减区间是(-∞,-3a),(a,+∞).当a<0时,f′(x),f(x)随着x的变化如下表:-12-\nx(-∞,a)a(a,-3a)-3a(-3a,+∞)f′(x)-0+0-f(x)极小值极大值函数f(x)的单调递增区间是(a,-3a),函数f(x)的单调递减区间是(-∞,a),(-3a,+∞).(2)当a=1时,由(1)得f(x)是(-3,1)上的增函数,是(1,+∞)上的减函数.又当x>1时,f(x)=>0,所以f(x)在[-3,+∞)上的最小值为f(-3)=-,最大值为f(1)=.所以对任意x1,x2∈[-3,+∞),f(x1)-f(x2)≤f(1)-f(-3)=.所以对任意x1,x2∈[-3,+∞),使f(x1)-f(x2)≤m恒成立的实数m的最小值为.(理)(2022·哈三中二模)己知函数f(x)=(ax-a+2)·ex(其中a∈R)(1)求f(x)在[0,2]上的最大值;(2)若函数g(x)=a2x2-13ax-30,求a所能取到的最大正整数,使对任意x>0,都有2f′(x)>g(x)恒成立.[解析] (1)f(x)=(ax-a+2)·ex,f′(x)=(ax+2)·ex,当a≥0时,f′(x)在[0,2]上恒正,f(x)单调递增,最大值为f(2)=(a+2)e2,当a<0时,令f′(x)=0,得x=-.所以当-1≤a<0时,仍有f(x)在[0,2]上为增函数,最大值为f(2)=(a+2)e2当a<-1时,f(x)在[0,-]上为增函数,在[-,2]上为减函数,最大值为f(-)=-ae-.综上有,f(x)max=(2)g(x)=a2x2-13ax-30=(ax+2)(ax-15),所以只需要2ex>ax-15即可,记h(x)=2ex-ax+15,则h′(x)=2ex-a,故h(x)在(0,ln)上单调递减,在(ln,+∞)上单调递增,则h(x)min=a-aln+15.记k(x)=x-xln+15,则k′(x)=-ln,故k(x)在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,在(2,+∞)上取2e2,有k(2e2)=15-2e2>0,又k(15)=15(2-ln)<0,故存在x0∈(2e2,15)使k(x0)=0,而2e2∈(14,15),所以当a=14时可保证h(x)min>0,有2f′(x)>g(x)恒成立,当a=15时h(x)min<0,不能有2f′(x)>g(x)恒成立,所以a所能取到的最大正整数为14.[点评] 构造是应用导数解决函数问题中的基本手段,在解题过程中可以根据需要构造函数,研究新函数的性质达到解决原问题的目的.-12-\n练一练①证明不等式lnx>,其中x>1.[解析] 设f(x)=lnx- (x>1).则f′(x)=-=,∵x>1,∴f′(x)>0.∴f(x)在(1,+∞)内为单调增函数.又∵f(1)=0,当x>1时,f(x)>f(1)=0,即lnx->0.∴lnx>.②(2022·长春市三调)已知函数f(x)=2ex-(x-a)2+3,a∈R.(1)若函数y=f(x)的图象在x=0处的切线与x轴平行,求a的值;(2)若x≥0,f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.[解析] (1)f′(x)=2(ex-x+a),因为y=f(x)在x=0处切线与x轴平行,即在x=0切线斜率为0即f′(0)=2(a+1)=0,∴a=-1.(2)f′(x)=2(ex-x+a),令g(x)=2(ex-x+a),∵x≥0,∴g′(x)=2(ex-1)≥0,所以g(x)=2(ex-x+a)在[0,+∞)内单调递增,g(0)=2(1+a),(ⅰ)当2(1+a)≥0即a≥-1时,f′(x)=2(ex-x+a)≥f′(0)≥0,f(x)在[0,+∞)内单调递增,要想f(x)≥0只需要f(0)=5-a2≥0,解得-≤a≤,从而-1≤a≤.(ⅱ)当2(1+a)<0即a<-1时,由g(x)=2(ex-x+a)在[0,+∞)内单调递增知,存在唯一x0使得g(x0)=2(ex0-x0+a)=0,有ex0=x0-a,令f′(x)>0解得x>x0,令f′(x)<0解得0≤x<x0,从而对于f(x)在x=x0处取最小值,f(x0)=2ex0-(x0-a)2+3,又x0=ex0+a,f(x0)=2ex0-(ex0)2+3=-(ex0+1)(ex0-3),从而应有f(x0)≥0,即ex0-3≤0,解得0<x0≤ln3,由ex0=x0-a可得a=x0-ex0,有ln3-3≤a<-1,综上所述,ln3-3≤a≤.③(2022·河北名校名师俱乐部模拟)已知函数f(x)=的图象为曲线C,函数g(x)=ax+b的图象为直线l.(1)当a=2,b=-3时,求F(x)=f(x)-g(x)的最大值;(2)设直线l与曲线C的交点的横坐标分别为x1,x2,且x1≠x2,求证:(x1+x2)g(x1+x2)>2.[解析] (1)∵a=2,b=-3,∴F(x)=-x+3.F′(x)=-1==0⇒x=1,∵当x∈(0,1)时,F′(x)>0,∴函数F(x)在(0,1)上单调递增;当x∈(1,+∞)时,F′(x)<0,∴函数F(x)在(1,+∞)上单调递减,∴F(x)max=F(1)=2.(2)不妨设x1<x2,要证(x1+x2)g(x1+x2)>2,只需证(x1+x2)[a(x1+x2)+b]>2,-12-\na(x1+x2)+b>⇒a(x-x)+b(x2-x1)>ax+bx2-(ax+bx1)>∵(x1,y1),(x2,y2)是l与C的交点,=ax1+b,=ax2+b.∴lnx2-lnx1>,即ln>,∴(x2+x1)ln>2(x2-x1).令H(x)=(x+x1)ln-2(x-x1),x∈(x1,+∞),只需证H(x)=(x+x1)ln-2(x-x1)>0,H′(x)=ln+-1.令G(x)=ln+-1,则G′(x)=>0,G(x)在x∈(x1,+∞)上单调递增.G(x)>G(x1)=0,∴H′(x)>0,∴H(x)在x∈(x1,+∞)上单调递增.∴H(x)>H(x1)=0,∴H(x)=(x+x1)ln-2(x-x1)>0,∴(x1+x2)g(x1+x2)>2.-12-

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发布时间:2022-08-26 00:14:00 页数:12
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文章作者:U-336598

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