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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第9章 第5节 线面、面面垂直的判定与性质(含解析)新人教B版
【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第9章 第5节 线面、面面垂直的判定与性质(含解析)新人教B版
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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第9章第5节线面、面面垂直的判定与性质新人教B版一、选择题1.(文)已知一个平面α,那么对于空间内的任意一条直线a,在平面α内一定存在一条直线b,使得a与b( )A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直[答案] D[解析] 当a与α相交时,平面内不存在直线与a平行;当a∥α时,平面内不存在直线与a相交;当a⊂平面α时,平面α内不存在直线与a异面;无论a在何位置,a在平面α内总有射影a′,当b⊂α,b⊥a′时,有b⊥a,故选D.(理)(2022·深圳模拟)已知直线m、n和平面α、β,若α⊥β,α∩β=m,n⊂α,要使n⊥β,则应增加的条件是( )A.m∥n B.n⊥m C.n∥α D.n⊥α[答案] B[解析] 两个平面互相垂直,在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面,故选B.2.(文)(2022·温州十校联考)关于直线a,b,l及平面α,β,下列命题中正确的是( )A.若a∥α,b∥α,则a∥bB.若a∥α,b⊥a,则b⊥αC.若a⊂α,b⊂α,且l⊥a,l⊥b,则l⊥αD.若a⊥α,a∥β,则α⊥β[答案] D[解析] 平行于同一平面的两条直线的位置关系不确定,故A错;a∥α,b⊥a时,经过b与a垂直的平面α内任一条直线l都与a垂直,但l与α的位置关系不确定,每一条直线l都可取作直线b,故B错;对于C,当a与b相交时,结论成立,当a与b不相交时,结论错误,故C错;∵a∥β,设经过a的平面与β相交于c,则a∥c,∵a⊥α,∴c⊥α,∴α⊥β,故D正确.(理)(2022·浙江温州第一次适应性测试)m是一条直线,α,β是两个不同的平面,以下命题正确的是( )A.若m∥α,α∥β,则m∥βB.若m∥α,m∥β,则α∥βC.若m∥α,α⊥β,则m⊥βD.若m∥α,m⊥β,则α⊥β[答案] D[解析] 若m∥α,α∥β,则m∥β或m⊂β,A错误;若m∥α,m∥β,则α∥β或α∩β=l,且m∥l,B错误;若m∥α,α⊥β,则m⊥β或m∥β或m⊂β,C错误;∵m∥α,∴存在直线n⊂α,使m∥n,∵m⊥β,∴n⊥β,又∵n⊂α,∴α⊥β,故选D.3.(文)(2022·运城模拟)已知两条不同的直线a,b和两个不同的平面α,β,且a⊥α,b⊥β,那么α⊥β是a⊥b的( )-11-\nA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[答案] C⇒a⊥b;⇒α⊥β.(理)设平面α与平面β相交于直线m,直线a在平面α内,直线b在平面β内,且b⊥m,则“α⊥β”是“a⊥b”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件[答案] A[解析] ①∵α∩β=m,b⊂β,α⊥β,b⊥m,∴b⊥α,又∵a⊂α,∴b⊥a.②当a⊂α,a∥m时,∵b⊥m,∴b⊥a,而此时平面α与平面β不一定垂直,故选A.4.(文)(2022·绍兴一中期中)如图,PA垂直于正方形ABCD所在平面,则以下关系错误的是( )A.平面PCD⊥平面PADB.平面PCD⊥平面PBCC.平面PAB⊥平面PBCD.平面PAB⊥平面PAD[答案] B[解析] ∵PA⊥平面ABCD,ABCD为正方形,∴CD⊥平面PAD,BC⊥平面PAB,AB⊥平面PAD,∴A、C、D正确,选B.(理)(2022·望江期中)在正四面体P-ABC中,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,下面四个结论中不成立的是( )A.BC∥平面PDF B.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面ABCD.平面PAE⊥平面ABC[答案] C[解析] ∵D、F分别为AB、CA中点,∴DF∥BC.∴BC∥平面PDF,故A正确.又∵P-ABC为正四面体,∴P在底面ABC内的射影O在AE上.∴PO⊥面ABC.∴PO⊥DF.又∵E为BC中点,-11-\n∴AE⊥BC,∴AE⊥DF.又∵PO∩AE=O,∴DF⊥平面PAE,故B正确.又∵PO⊂平面PAE,PO⊥平面ABC,∴平面PAE⊥平面ABC,故D正确.∴四个结论中不成立的是C.5.(2022·浙江桐乡四校期中联考)设a,b,c是空间三条直线,α,β是空间两个平面,则下列命题中,逆命题不成立的是( )A.当c⊥α时,若c⊥β,则α∥βB.当b⊂α时,若b⊥β,则α⊥βC.当b⊂α,且c是a在α内的射影时,若b⊥c,则a⊥bD.当b⊂α,且c⊄α时,若c∥α,则b∥c[答案] B[解析] A的逆命题是“当c⊥α时,若α∥β,则c⊥β”,A的逆命题正确;B的逆命题是“当b⊂α时,若α⊥β,则b⊥β”,只有当b垂直于α与β的交线时,才是正确的,故选B.另外由线面平行的判定定理知D的逆命题正确;由三垂线定理及其逆定理知,C及其逆命题正确.6.(2022·皖南八校联考)正四面体ABCD的棱长为1,G是△ABC的中心,M在线段DG上,且∠AMB=90°,则GM的长为( )A.B.C.D.[答案] D[解析] ∵G是正四面体ABCD的面ABC的中心,M在DG上,∴MA=MB,又∠AMB=90°,AB=1,∴MA=MB=,又AG=,∴MG===.二、填空题7.(文)设x、y、z是空间不同的直线或平面,对下列四种情形:①x、y、z均为直线;②x、y是直线,z是平面;③z是直线,x、y是平面;④x、y、z均为平面,其中使“x⊥z且y⊥z⇒x∥y”为真命题的序号是________.[答案] ②③[解析] 当x、y为直线,z为平面时,有x⊥z,y⊥z⇒x∥y;当x、y为平面,z为直线时,有x⊥z,y⊥z⇒x∥y,故②③正确.[点评] 由正方体交于同一个顶点的三条棱和三个面知①④均使命题为假命题.(理)正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1,AB1与底面ABCD成60°角,则A1C1到底面ABCD的距离为________.-11-\n[答案] [解析] 依题可知∠B1AB=60°,平面A1B1C1D1∥平面ABCD,A1C1⊂平面A1B1C1D1,∴B1B即为所求距离,在△ABB1中得,B1B=.8.已知四棱锥P-ABCD的顶点都在球O的球面上,底面ABCD是矩形,平面PAD⊥底面ABCD,△PAD为正三角形,AB=2AD=4,则球O的表面积为________.[答案] [解析] 过P作PE∥AB交球面于E,连结BE、CE,则BE∥AP,CE∥DP,∴三棱柱APD-BEC为正三棱柱,∵△PAD为正三角形,∴△PAD外接圆的半径为,∴球O的半径R==,∴球O的表面积S=4πR2=.9.(2022·唐山市海港中学月考)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为棱DD1,AB上的点.下列说法正确的是________.(填上所有正确命题的序号)①A1C⊥平面B1EF;②在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线;③△B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是面积为定值的三角形;④当E,F为中点时,平面B1EF截该正方体所得的截面图形是五边形;⑤当E,F为中点时,平面B1EF与棱AD交于点P,则AP=.[答案] ②③④⑤[解析] ①BC⊥平面ABB1A1,A1C是平面ABB1A1的斜线,A1B是A1C在平面ABB1A1内的射影,显然A1B与B1F不垂直,∴A1C与B1F不垂直,∴①错;②∵平面B1EF与平面A1B1C1D1相交于过B1的一条直线l,在平面A1B1C1D1内总存在与l平行的直线m,∴m∥平面B1EF,∴②正确;③△B1EF的顶点B1,F在平面BCC1B1内的正投影依次为B1,B,而E点的正投影E′落在CC1上,显然△BB1E′的面积为定值,∴③正确;④当E、F为中点时,由平面B1EF与对面ABB1A1和DCC1D1都相交,故交线平行,设M为C1D1中点,G为D1M中点,则EG∥DM∥B1F,∴平面B1EF与平面A1B1C1D1的交线为B1G-11-\n,从而在AD上取点P,使AP=2PD,则FP∥B1G,连接EP,得平面B1EF截正方体得到的截面图形是五边形GEPFB1,∴④正确;⑤正确.三、解答题10.(文)如图,已知在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD⊥DC,AB∥DC,DC=DD1=2AD=2AB=2.(1)求证:DB⊥平面B1BCC1;(2)设E是DC上一点,试确定E的位置,使得D1E∥平面A1BD,并说明理由.[解析] (1)证明:∵AB∥DC,AD⊥DC,∴AB⊥AD,在Rt△ABD中,AB=AD=1,∴BD=,易求BC=,又∵CD=2,∴BD⊥BC.又BD⊥BB1,B1B∩BC=B,∴BD⊥平面B1BCC1.(2)DC的中点即为E点.∵DE∥AB,DE=AB,∴四边形ABED是平行四边形.∴AD綊BE.又AD綊A1D1,∴BE綊A1D1,∴四边形A1D1EB是平行四边形.∴D1E∥A1B.∵D1E⊄平面A1BD,A1B⊂平面A1BD,∴D1E∥平面A1BD.(理)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为棱BB1,DD1和CC1的中点.(1)求证:C1F∥平面DEG;(2)求三棱锥D1-A1AE的体积;(3)试在棱CD上求一点M,使D1M⊥平面DEG.-11-\n[解析] (1)证明:∵正方体ABCD-A1B1C1D1中,F,G分别为棱DD1和CC1的中点,∴DF∥GC1,且DF=GC1.∴四边形DGC1F是平行四边形.∴C1F∥DG.又C1F⊄平面DEG,DG⊂平面DEG,∴C1F∥平面DEG.(2)正方体ABCD-A1B1C1D1中,有A1D1⊥平面AA1E.∴A1D1是三棱锥D1-A1AE的高,A1D1=1.∴VD1-A1AE=·S△A1AE·D1A1=××1×1×1=.(3)当M为棱CD的中点时,有D1M⊥平面DEG.正方体ABCD-A1B1C1D1中,有BC⊥平面CDD1C1,又∵D1M⊂平面CDD1C1,BC∥EG,∴EG⊥D1M.又∵tan∠GDC=tan∠MD1D=,∴∠GDC=∠MD1D,∴∠MD1D+∠D1DG=∠GDC+∠D1DG=90°,∴D1M⊥DG.又DG∩EG=G,∴D1M⊥平面DEG.一、解答题11.(文)如图所示,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,EC=CA=2BD,M是EA的中点.求证:(1)DE=DA;(2)平面BDM⊥平面ECA.[证明] (1)如图所示,取EC中点F,连接DF.-11-\n∵EC⊥平面ABC,BD∥EC,∴BD⊥平面ABC,∴BD⊥AB,∵BD∥EC,BD=EC=FC,∴EC⊥BC.∴四边形FCBD是矩形,∴DF⊥EC.又BA=BC=DF,∴Rt△DEFRt△ADB,∴DE=DA.(2)如图所示,取AC中点N,连接MN、NB,∵M是EA的中点,∴MN綊EC.由BD綊EC,且BD⊥平面ABC,可得四边形MNBD是矩形,于是DM⊥MN.∵DE=DA,M是EA的中点,∴DM⊥EA.又EA∩MN=M,∴DM⊥平面ECA,而DM⊂平面BDM,∴平面ECA⊥平面BDM.(理)(2022·合肥第二次质检)如图,在几何体ABDCE中,AB=AD=2,AB⊥AD,AE⊥平面ABD.M为线段BD的中点,MC∥AE,AE=MC=.(1)求证:平面BCD⊥平面CDE;(2)若N为线段DE的中点,求证:平面AMN∥平面BEC.[解析] (1)∵AB=AD=2,AB⊥AD,M为线段BD的中点,∴AM=BD=,AM⊥BD.∵MC=,∴MC=BD,∴BC⊥CD.∵AE⊥平面ABD,MC∥AE,∴MC⊥平面ABD.∴平面ABD⊥平面CBD,∴AM⊥平面CBD.又MC綊AE,∴四边形AMCE为平行四边形,∴EC∥AM,∴EC⊥平面CBD,∴BC⊥EC,∵EC∩CD=C,∴BC⊥平面CDE,∴平面BCD⊥平面CDE.(2)∵M为BD中点,N为ED中点,∴MN∥BE且BE∩EC=E,由(1)知EC∥AM且AM∩MN=M,∴平面AMN∥平面BEC.-11-\n12.(文)(2022·山东威海一模)如图所示,矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直,等腰梯形ABEF中,AB∥EF,AB=2,AD=AF=1,∠BAF=60°,O,P分别为AB,CB的中点,M为底面△OBF的重心.(1)求证:平面ADF⊥平面CBF;(2)求证:PM∥平面AFC;(3)求多面体CD-AFEB的体积V.[解析] (1)证明:∵矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直,且CB⊥AB,∴CB⊥平面ABEF.又AF⊂平面ABEF,∴CB⊥AF.又AB=2,AF=1,∠BAF=60°,由余弦定理知BF=,∴AF2+BF2=AB2,∴得AF⊥BF.又BF∩CB=B,∴AF⊥平面CFB.∵AF⊂平面ADF,∴平面ADF⊥平面CBF.(2)证明:连接OM延长交BF于H,则H为BF的中点,又P为CB的中点,∴PH∥CF.又∵CF⊂平面AFC,∴PH∥平面AFC.连接PO,则PO∥AC,∵AC⊂平面AFC,PO⊄平面AFC,∴PO∥平面AFC.又PO∩PH=P,∴平面POH∥平面AFC,PM⊂平面POH,PM∥平面AFC.(3)多面体CD-AFEB的体积可分成三棱锥C-BEF与四棱锥F-ABCD的体积之和.在等腰梯形ABEF中,计算得EF=1,两底间的距离EE1=,∴VC-BEF=S△BEF×CB=××1××1=,VF-ABCD=S▱ABCD×EE1=×2×1×=,∴V=VC-BEF+VF-ABCD=.(理)(2022·山西太原模拟)如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=AC=4,AB=BC=2.(1)求证:平面ABC⊥平面APC;(2)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值.[解析] (1)证明:如图所示,取AC中点O,连接OP,OB.-11-\n∵PA=PC=AC=4,∴OP⊥AC,且PO=4sin60°=2.∵BA=BC=2,∴BA2+BC2=16=AC2,且BO⊥AC,∴BO==2.∵PB=4,∴OP2+OB2=12+4=16=PB2,∴OP⊥OB.∵AC∩OB=O,∴OP⊥平面ABC.∵OP⊂平面PAC,∴平面ABC⊥平面APC.(2)设直线PA与平面PBC所成角的大小为θ,A到平面PBC的距离为d,则sinθ==.∵PB=PC=4,BC=2,∴S△PBC=BC·=×2×=2.由(1)知,VP-ABC=S△ABC·PO=,又VA-PBC=VP-ABC,∴×2·d=,∴d=,∴sinθ==,∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为.[点评] 由第(1)问知OB、OP、AC两两垂直,故可以O为原点,OB、OC、OP为x轴、y轴、z轴建立坐标系,用向量法解答第(2)问.13.(2022·四川绵阳二诊)如图所示,四边形ABCD为矩形,四边形ADEF为梯形,AD∥FE,∠AFE=60°,且平面ABCD⊥平面ADEF,AF=FE=AB=AD=2,点G为AC的中点.(1)求证:EG∥平面ABF;(2)求三棱锥B-AEG的体积;(3)试判断平面BAE与平面DCE是否垂直?若垂直,请证明;若不垂直,请说明理由.[解析] (1)证明:取AB中点M,连FM,GM.-11-\n∵G为对角线AC的中点,∴GM∥AD,且GM=AD.又∵FE綊AD,∴GM∥FE且GM=FE.∴四边形GMFE为平行四边形,∴EG∥FM.又∵EG⊄平面ABF,FM⊂平面ABF,∴EG∥平面ABF.(2)作EN⊥AD,垂足为N,由平面ABCD⊥平面AFED,平面ABCD∩平面AFED=AD,得EN⊥平面ABCD,即EN为三棱锥E-ABG的高.∵在△AEF中,AF=FE,∠AFE=60°,∴△AEF是正三角形.∴∠AEF=60°,EF∥AD知∠EAD=60°,∴EN=AEsin60°=.∴三棱锥B-AEG的体积为V=·S△ABG·EN=×2×=.(3)平面BAE⊥平面DCE.证明如下:∵四边形ABCD为矩形,且平面ABCD⊥平面AFED,∴CD⊥平面AFED,∴CD⊥AE.∵四边形AFED为梯形,FE∥AD,且∠AFE=60°,∴∠FAD=120°.又在△AED中,EA=2,AD=4,∠EAD=60°,由余弦定理,得ED=2,∴EA2+ED2=AD2,∴ED⊥AE.又∵ED∩CD=D,∴AE⊥平面DCE.又AE⊂平面BAE,∴平面BAE⊥平面DCE.14.(文)(2022·甘肃张掖月考)如图所示,在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,BD交AC于点E,F是PC的中点,G为AC上一动点. (1)求证:BD⊥FG;(2)确定点G在线段AC上的位置,使FG∥平面PBD,并说明理由;(3)如果PA=AB=2,求三棱锥B-CDF的体积.[解析] (1)证明:∵PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形,其对角线BD,AC交于点E,∴PA⊥BD,AC⊥BD.∴BD⊥平面APC.∵FG⊂平面PAC,∴BD⊥FG.(2)当G为EC的中点,即AG=AC时,FG∥平面PBD.理由如下:连接PE.∵F为PC的中点,G为EC的中点,∴FG∥PE.∵FG⊄平面PBD,PE⊂平面PBD,∴FG∥平面PBD.-11-\n(3)三棱锥B-CDF的体积为VB-CDF=VF-BCD=××2×2×1=.(理)(2022·唐山一中月考)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,BC⊥侧面AA1C1C,AC=BC=1,CC1=2,∠CAA1=,D、E分别为AA1、A1C的中点. (1)求证:A1C⊥平面ABC;(2)求平面BDE与平面ABC所成角的余弦值.[解析] (1)证明:∵BC⊥侧面AA1C1C,A1C在平面AA1C1C内,∴BC⊥A1C,△AA1C中,AC=1,AA1=C1C=2,∠CAA1=,由余弦定理得A1C2=AC2+AA-2AC·AA1cos∠CAA1=12+22-2×1×2×cos=3,∴A1C=,∴AC2+A1C2=AA,∴AC⊥A1C,∵AC∩BC=C,∴A1C⊥平面ABC.(2)由(1)知CA,CA1,CB两两垂直,如图,以C为空间坐标系的原点,分别以CA,CA1,CB所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),B(0,0,1),A(1,0,0),A1(0,,0),由此可得D(,,0),E(0,,0),=(,,-1),=(0,,-1).设平面BDE的法向量为n=(x,y,z),∴则有,令z=1,则x=0,y=,∴n=(0,,1),∵A1C⊥平面ABC,∴=(0,,0)是平面ABC的一个法向量,∴cos<n,>==,∴平面BDE与ABC所成锐二面角的余弦值为.-11-
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