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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第9章 第7节 用向量方法证明平行与垂直 理(含解析)新人教B版

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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第9章第7节用向量方法证明平行与垂直(理)新人教B版一、解答题1.(2022·长春模拟)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PB与底面所成的角为45°,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC=AD=1.(1)求证:平面PAC⊥平面PCD;(2)在棱PD上是否存在一点E,使CE∥平面PAB?若存在,请确定E点的位置;若不存在,请说明理由.[解析] (1)证明:∵PA⊥平面ABCD,∴PB与平面ABCD所成的角为∠PBA=45°.∴AB=1,由∠ABC=∠BAD=90°,易得CD=AC=,∴AC⊥CD.又∵PA⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC,又CD⊂平面PCD,∴平面PAC⊥平面PCD.(2)分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.∴P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0),设E(0,y,z),则=(0,y,z-1),=(0,2,-1).∵∥,∴y·(-1)-2(z-1)=0①∵=(0,2,0)是平面PAB的法向量,又=(-1,y-1,z),CE∥平面PAB.∴⊥.∴(-1,y-1,z)·(0,2,0)=0,∴y=1.将y=1代入①,得z=.∴E是PD的中点,∴存在E点使CE∥平面PAB,此时E为PD的中点.2.(2022·辽宁六校联考)在三棱锥P-ABC中,△PAC和△PBC是边长为的等边三角形,AB=2,O是AB的中点.(1)在棱PA上求一点M,使得OM∥平面PBC;(2)求证:平面PAB⊥平面ABC.[解析] 解法一:(1)当M为棱PA的中点时,OM∥平面PBC.-10-\n证明如下:∵M,O分别为PA,AB的中点,∴OM∥PB.又PB⊂平面PBC,OM⊄平面PBC,∴OM∥平面PBC.(2)连接OC,OP.∵AC=CB=,O为AB的中点,AB=2,∴OC⊥AB,OC=1.同理,PO⊥AB,PO=1.又PC=,∴PC2=OC2+PO2=2,∴∠POC=90°,∴PO⊥OC.∵AB∩OC=O,∴PO⊥平面ABC.∵PO⊂平面PAB,∴平面PAB⊥平面ABC.解法二:设=a,=b,=c,则由条件知|a|=|b|=|c|=,a·c=b·c=1,在△PAB中,PA=PB=,AB=2,∴PA⊥PB,∴a·b=0.(1)设=λa,则=-=λa-(a+b)=(λ-)a-b,∵OM∥平面PBC,∴存在实数s,k,使=sb+kc,∴sb+kc=(λ-)a-b,由平面向量基本定理知,λ=,s=-,k=0,∴M为PA的中点.(2)=(a+b),∵·=(a+b)·(c-a)=(a·c+b·c-|a|2-a·b)=0,·=(a+b)·(b-a)=(|b|2-|a|2)=0,∴⊥,⊥,∴是平面ABC的法向量,又PO⊂平面PAB,∴平面PAB⊥平面ABC.3.(2022·北京)如图,正方形AMDE的边长为2,B、C分别为AM、MD的中点.在五棱锥P-ABCDE中,F为棱PE的中点,平面ABF与棱PD、PC分别交于点G、H.-10-\n(1)求证:AB∥FG;(2)若PA⊥底面ABCDE,且PA=AE,求直线BC与平面ABF所成角的大小,并求线段PH的长.[解析] (1)在正方形AMDE中,因为B是AM的中点,所以AB∥DE.又因为AB⊄平面PDE,所以AB∥平面PDE.因为AB⊂平面ABF,且平面ABF∩平面PDE=FG,所以AB∥FG.(2)因为PA⊥底面ABCDE,所以PA⊥AB,PA⊥AE.如图建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2),F(0,1,1),=(1,1,0).设平面ABF的法向量为n=(x,y,z),则即令z=1,则y=-1,所以n=(0,-1,1).设直线BC与平面ABF所成角为α,则sinα=|cos〈n,〉|=||=.因此直线BC与平面ABF所成角的大小为.设点H的坐标为(u,v,w).因为点H在棱PC上,所以可设=λ(0<λ<1),即(u,v,w-2)=λ(2,1,-2),所以u=2λ,v=λ,w=2-2λ,因为n是平面ABF的法向量,所以n·=0,即(0,-1,1)·(2λ,λ,2-2λ)=0,-10-\n解得λ=,所以点H的坐标为(,,).所以PH==2.4.(2022·安徽淮南二模)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=3,BC=2,D是BC的中点,F是CC1上一点,且CF=2.(1)求证:B1F⊥平面ADF;(2)若=,求证:PF∥平面ADB1.[解析] 取BC的中点D,∵AB=AC,∴AD⊥BC,取B1C1的中点D1,则DD1⊥平面ABC,分别以CB、AD、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,∵AB=AC=AA1=3,BC=2,∴A(0,-2,0),B(1,0,0),C(-1,0,0),A1(0,-2,3),B1(1,0,3),C1(-1,0,3),∵CF=2,∴F(-1,0,2).(1)=(-2,0,-1),=(0,-2,0),=(-1,0,2),·=0,·=0,∴⊥平面ADF,∴B1F⊥平面ADF.(2)∵==·(1,-2,0)=(,-,0),∴P(-,-,3),∴=(-,,-1).设平面ADB1的法向量为n=(x0,y0,z0),则∴设z0=1,则n=(-3,0,1).∵·n=0,PF⊄平面ADB1,∴PF∥平面ADB1.-10-\n一、解答题5.(2022·山东青岛模拟)如图,在多面体ABC-A1B1C1中,四边形A1ABB1是正方形,AB=AC,BC=AB,B1C1綊BC,二面角A1-AB-C是直二面角.求证:(1)A1B1⊥平面AA1C.(2)AB1∥平面A1C1C.[证明] ∵二面角A1-AB-C是直二面角,四边形A1ABB1为正方形,∴AA1⊥平面BAC.又∵AB=AC,BC=AB,∴∠CAB=90°,即CA⊥AB,∴AB,AC,AA1两两互相垂直.建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=2,则A(0,0,0),B1(0,2,2),A1(0,0,2),C(2,0,0),C1(1,1,2).(1)=(0,2,0),=(0,0,-2),=(2,0,0),设平面AA1C的一个法向量n=(x,y,z),则即即取y=1,则n=(0,1,0).∴=2n,即∥n.∴A1B1⊥平面AA1C.(2)易知=(0,2,2),=(1,1,0),=(2,0,-2),设平面A1C1C的一个法向量m=(x1,y1,z1),则即令x1=1,则y1=-1,z1=1,即m=(1,-1,1).∴·m=0×1+2×(-1)+2×1=0,∴⊥m.又AB1⊄平面A1C1C,-10-\n∴AB1∥平面A1C1C.6.在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E、F分别是AB、PB的中点.(1)求证:EF⊥CD;(2)在平面PAD内求一点G,使GF⊥平面PCB,并证明你的结论.[解析] (1)证明:∵PD⊥底面ABCD,四边形ABCD是正方形,∴AD、DC、PD两两垂直,如图,以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设AD=a,则D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a,a,0)、C(0,a,0)、E(a,,0)、P(0,0,a)、F(,,).=(-,0,),=(0,a,0).∵·=0,∴⊥,即EF⊥CD.(2)设G(x,0,z),则=(x-,-,z-),若使GF⊥平面PCB,则由·=(x-,-,z-)·(a,0,0)=a(x-)=0,得x=;由·=(x-,-,z-)·(0,-a,a)=+a(z-)=0,得z=0.∴G点坐标为(,0,0),即G点为AD的中点.7.(2022·北京朝阳期末)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC.(1)求证:AC⊥PB;(2)设O,D分别为AC,AP的中点,点G为△OAB内一点,且满足=(+),求证:DG∥平面PBC;(3)若AB=AC=2,PA=4,求二面角A-PB-C的余弦值.[解析] (1)因为PA⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,所以PA⊥AC.又因为AB⊥AC,且PA∩AB=A,所以AC⊥平面PAB.又因为PB⊂平面PAB,所以AC⊥PB.(2)证法一:因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥AC.又因为AB⊥AC,所以建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.-10-\n设AC=2a,AB=b,PA=2c,则A(0,0,0),B(0,b,0),C(2a,0,0),P(0,0,2c),D(0,0,c),O(a,0,0),又因为=(+),所以G(,,0).于是=(,,-c),=(2a,-b,0),=(0,b,-2c).设平面PBC的一个法向量n=(x0,y0,z0),则有即不妨设z0=1,则有y0=,x0=,所以n=(,,1).因为n·=(,,1)·(,,-c)=·+·+1·(-c)=0,所以n⊥.又因为DG⊄平面PBC,所以DG∥平面PBC.证法二:取AB中点E,连接OE,则=(+).由已知=(+)可得=,则点G在OE上.连接AG并延长交CB于点F,连接PF.因为O,E分别为AC,AB的中点,所以OE∥BC,即G为AF的中点.又因为D为线段PA的中点,所以DG∥PF.又DG⊄平面PBC,PF⊂平面PBC,所以DG∥平面PBC.(3)由(2)可知平面PBC的一个法向量n=(,,1)=(2,2,1).又因为AC⊥平面PAB,所以平面PAB的一个法向量是=(2,0,0).-10-\n又cos〈n,〉===,由图可知,二面角A-PB-C为锐角,所以二面角A-BP-C的余弦值为.8.在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,△PAD是等边三角形,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,E是AD的中点,F是PC的中点.(1)求证:BE⊥平面PAD;(2)求证:EF∥平面PAB;(3)求直线EF与平面PBE所成角的余弦值.[解析] 解法一:(1)∵E是AD中点,连接PE,∴AB=2,AE=1.BE2=AB2+AE2-2AB·AE·cos∠BAD=4+1-2×2×1×cos60°=3.∴AE2+BE2=1+3=4=AB2,∴BE⊥AE.又平面PAD⊥平面ABCD,交线为AD,∴BE⊥平面PAD.(2)取PB中点为H,连接FH,AH,∵AE綊BC,又∵HF是△PBC的中位线,∴HF綊BC,∴AE綊HF,∴四边形AHFE是平行四边形,∴EF∥AH,又EF⊄平面PAB,AH⊂平面PAB,∴EF∥平面PAB.(3)由(1)知,BC⊥BE,PE⊥BC,又PE,BE是平面PBE内两相交直线,∴BC⊥平面PBE,又由(2)知,HF∥BC,∴HF⊥平面PBE,∴∠FEH是直线EF与平面PBE所成的角,-10-\n易知BE=PE=,在Rt△PEB中,EH=,∴tan∠FEH==,∴cos∠FEH=.故直线EF与平面PBE所成角的余弦值为.解法二:容易证明EP,EA,EB两两垂直,建立空间直角坐标系E-xyz如图.易求BE=PE=,则E(0,0,0),A(1,0,0),B(0,,0),C(-2,,0),D(-1,0,0),P(0,0,),因为F是PC的中点,则F(-1,,).(1)∵·=0·1+·0=0·0=0,∴⊥,即EB⊥EA,∵·=0·0+·0+0·=0,∴⊥,即EB⊥EP,∵EA,EP是平面PAD内的两相交直线,∴EB⊥平面PAD.(2)取PB中点为H,连接FH,AH,则H(0,,),∵=(-1,,),=(0,,)-(1,0,0)=(-1,,),∴∥,∵又EF⊄平面PAB,AH⊂平面PAB,∴EF∥平面PAB.-10-\n(3)∵y轴⊂平面PBE,z轴⊂平面PBE,∴平面PBE的法向量为n=(1,0,0),∵=(-1,,),设直线EF与平面PBE所成角为θ,∴sinθ==,∴cosθ=,故直线EF与平面PBE所成角的余弦值为.-10-

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发布时间:2022-08-26 00:13:29 页数:10
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文章作者:U-336598

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