【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第8章 第8节 立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直(理)(含解析)北师大版
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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第8章第8节立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直(理)北师大版一、选择题1.平面α经过三点A(-1,0,1),B(1,1,2),C(2,-1,0),则下列向量中与平面α的法向量不垂直的是( )A.(,-1,-1)B.(6,-2,-2)C.(4,2,2)D.(-1,1,4)[答案] D[解析] =(2,1,1),=(3,-1,-1),设平面α的法向量为n=(x,y,z).得取y=1,则n=(0,1,-1).D选项中(-1,1,4)·(0,1,-1)=1-4=-3≠0.故选D.2.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x、y、z分别为( )A.,-,4 B.,-,4C.,-2,4D.4,,-15[答案] B[解析] ∵⊥,∴·=0,即3+5-2z=0,得z=4,又BP⊥平面ABC,∴BP⊥AB,BP⊥BC,=(3,1,4),则解得3.已知平面α内有一个点M(1,-1,2),平面α的一个法向量是n=(6,-3,6),则下列点P中在平面α内的是( )A.P(2,3,3)B.P(-2,0,1)C.P(-4,4,0)D.P(3,-3,4)[答案] A[解析] ∵n=(6,-3,6)是平面α的法向量,∴n⊥,在选项A中,=(1,4,1),-8-\n∴n·=0.4.(2022·泰安质检)已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)三点,向量n=(1,1,1),则以n为方向向量直线l与平面ABC的关系是( )A.垂直B.不垂直C.平行D.以上都有可能[答案] A[解析] 易知=(-1,1,0),(-1,0,1),·n=-1×1+1×1+0=0,·n=-1×1+1×0+1×1=0,则⊥n,⊥n,即AB⊥l,AC⊥l,又AB与AC是平面ABC内两相交直线,∴l⊥平面ABC.5.若平面α、β的法向量分别为n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则( )A.α∥βB.α⊥βC.α、β相交但不垂直D.以上均不正确[答案] C[解析] ∵n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),∴cos<n1,n2>===≠0且≠±1.∴α,β相交但不垂直.6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=,AD=2,P为C1D1的中点,M为BC的中点,则AM与PM的位置关系为( )A.平行B.异面C.垂直D.以上都不对[答案] C[解析] 分别以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则-8-\nA(2,0,0),M(,2,0),P(0,1,),则=(-,2,0),=(,1,-),所以·=0,所以AM⊥PM,故选C.二、填空题7.若直线l的方向向量e=(2,1,m),平面α的法向量n=(1,,2),且l⊥α,则m=________.[答案] 4[解析] 平面α的法向量即为平面的法线的方向向量,又l⊥α,∴e∥n,即e=λn(λ≠0),亦即(2,1,m)=λ(1,,2),∴∴m=4.8.已知平面α和平面β的法向量分别为a=(1,1,2),b=(x,-2,3),且α⊥β,则x=________.[答案] -4[解析] 由α⊥β可知a·b=0,即x+1×(-2)+2×3=0,解得x=-4.9.已知=(2,2,1),=(4,5,3),则平面ABC的单位法向量是________.[答案] (,-,)或(-,,-)[解析] 设平面ABC的法向量n=(x,y,1)则n⊥且n⊥,即n·=0,且n·=0,从而,即∴n=(,-1,1),单位法向量为±=±(,-,).三、解答题10.如图所示,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点.-8-\n求证:(1)AM∥平面BDE;(2)AM⊥平面BDF.[证明] (1)建立如图所示的空间直角坐标系,设AC∩BD=N,连接NE.则点N、E的坐标分别为(,,0)、(0,0,1).∴=(-,-,1).又点A、M的坐标分别是(,,0)、(,,1),∴=(-,-,1).∴=且NE与AM不共线.∴NE∥AM.又∵NE平面BDE,AM⃘平面BDE,∴AM∥平面BDE.(2)由(1)知=(-,-,1),∵D(,0,0),F(,,1),∴=(0,,1).∴·=0,∴AM⊥DF.同理AM⊥BF.又DF∩BF=F,∴AM⊥平面BDF.一、选择题1.已知a=(1,1,1),b=(0,2,-1),c=ma+nb+(4,-4,1).若c与a及b都垂直,则m,n的值分别为( )A.-1,2B.1,-2-8-\nC.1,2D.-1,-2[答案] A[解析] c=(m,m,m)+(0,2n,-n)+(4,-4,1)=(m+4,m+2n-4,m-n+1).∵c与a及b都垂直,∴即即解得2.如下图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=,AF=1.M在EF上,且AM∥平面BDE.则M点的坐标为( )A.(1,1,1)B.C.D.[答案] C[解析] 设BD∩AC=O,连接EO,由题意可知EO∥AM.∴M为EF的中点.∴M,故选C.二、填空题3.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是________.[答案] 平行-8-\n[解析] 分别以C1B1,C1D1,C1C所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.∵A1M=AN=a,∴M(a,a,),N(a,a,a).∴=(-,0,a).又C1(0,0,0),D1(0,a,0),∴=(0,a,0).∴·=0.∴⊥.∵是平面BB1C1C的法向量,又∵MN⃘平面BB1C1C,∴MN∥平面BB1C1C.4.(2022·烟台模拟)已知向量a=(-1,2,3),b=(1,1,1),则向量a在向量b方向上的投影为________.[答案] [解析] b·a=(1,1,1)·(-1,2,3)=,则a在向量b上的投影为.三、解答题5.如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,且AB=AA1,D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点.(1)求证:DE∥平面ABC;(2)求证:B1F⊥平面AEF.[分析] 利用向量法以A为坐标原点,建立空间直角坐标系.[解析] 如图,以A为原点建立空间直角坐标系[A;,,],令AB=AA1=4,-8-\n则A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0),B1(4,0,4),C(0,4,0).(1)取AB中点N,则N(2,0,0),C(0,4,0),D(2,0,2),∴=(-2,4,0),=(-2,4,0),∴=,又DE、NC不共线.DE∥NC,又NC在平面ABC内,故DE∥平面ABC.(2)=(-2,2,-4),=(2,-2,-2),=(2,2,0).·=(-2)×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0,则⊥,∴B1F⊥EF,∵·=(-2)×2+2×2+(-4)×0=0.∴⊥,即B1F⊥AF.又∵AF∩FE=F,∴B1F⊥平面AEF.6.(2022·福州调研)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点.(1)求证:B1E⊥AD1;(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.[解析] (1)以A为原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).-8-\n设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E(,1,0),B1(a,0,1),故=(0,1,1),=(-,1,-1),=(a,0,1),=(,1,0).∵·=-×0+1×1+(-1)×1=0,∴B1E⊥AD1.(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0),使得DP∥平面B1AE.此时=(0,-1,z0).又设平面B1AE的法向量n=(x,y,z).∵n⊥平面B1AE,∴n⊥,n⊥,得取x=1,得平面B1AE的一个法向量n=(1,-,-a).要使DP∥平面B1AE,只要n⊥,有-az0=0,解得z0=.又DP⃘平面B1AE,∴存在点P,满足DP∥平面B1AE,此时AP=.-8-
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