【创新设计】(浙江专用)2022届高考数学总复习 第8篇 第7讲 立体几何中的向量方法(Ⅰ)证明平行与垂直限时训练 理
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第7讲 立体几何中的向量方法(Ⅰ)——证明平行与垂直分层A级 基础达标演练(时间:30分钟 满分:55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.若直线l1,l2的方向向量分别为a=(2,4,-4),b=(-6,9,6),则( ).A.l1∥l2B.l1⊥l2C.l1与l2相交但不垂直D.以上均不正确答案 B2.若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,能使l∥α的是( ).A.a=(1,0,0),n=(-2,0,0)B.a=(1,3,5),n=(1,0,1)C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1)D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1)解析 若l∥α,则a·n=0.而A中a·n=-2,B中a·n=1+5=6,C中a·n=-1,只有D选项中a·n=-3+3=0.答案 D3.平面α经过三点A(-1,0,1),B(1,1,2),C(2,-1,0),则下列向量中与平面α的法向量不垂直的是( ).A.B.(6,-2,-2)C.(4,2,2)D.(-1,1,4)解析 设平面α的法向量为n,则n⊥,n⊥,n⊥,所有与(或、)平行的向量或可用与线性表示的向量都与n垂直,故选D.答案 D4.(2022·全国卷)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AB=2,CC1=2,E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为( ).A.2B.C.D.18\n解析 连接AC,交BD于点O,连接EO,过点O作OH⊥AC1于点H,因为AB=2,所以AC=2,又CC1=2,所以OH=sin45°=1.答案 D二、填空题(每小题5分,共10分)5.若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2)且a与b的夹角的余弦值为,则λ=________.解析 由已知得==,∴8=3(6-λ),解得λ=-2或λ=.答案 -2或6.在四面体PABC中,PA,PB,PC两两垂直,设PA=PB=PC=a,则点P到平面ABC的距离为________.解析 根据题意,可建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz,则P(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a).过点P作PH⊥平面ABC,交平面ABC于点H,则PH的长即为点P到平面ABC的距离.∵PA=PB=PC,∴H为△ABC的外心.又∵△ABC为正三角形,∴H为△ABC的重心,可得H点的坐标为.∴PH==a.8\n∴点P到平面ABC的距离为a.答案 a三、解答题(共25分)7.(12分)如图所示,四棱锥SABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点.(1)求证:AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC,则侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC.若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由.(1)证明 连接BD,设AC交BD于O,则AC⊥BD.由题意知SO⊥平面ABCD.以O为坐标原点,,,分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系如图.设底面边长为a,则高SO=a,于是S,D,B,C,=,=,则·=0.故OC⊥SD.从而AC⊥SD.8\n(2)解 棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.理由如下:由已知条件知是平面PAC的一个法向量,且=,=,=.设=t,则=+=+t=,而·=0⇔t=.即当SE∶EC=2∶1时,⊥.而BE不在平面PAC内,故BE∥平面PAC.8.(13分)如图所示,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点.求证:(1)AM∥平面BDE;(2)AM⊥平面BDF.证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系,设AC∩BD=N,连接NE.则N,E(0,0,1),A(,,0),M∴=.8\n=.∴=且NE与AM不共线.∴NE∥AM.又∵NE⊂平面BDE,AM⊄平面BDE,∴AM∥平面BDE.(2)由(1)知=,∵D(,0,0),F(,,1),∴=(0,,1)∴·=0,∴AM⊥DF.同理AM⊥BF.又DF∩BF=F,∴AM⊥平面BDF.分层B级 创新能力提升1.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x,y,z分别为( ). A.,-,4B.,-,4C.,-2,4D.4,,-15解析 ∵⊥,∴·=0,即3+5-2z=0,得z=4,又BP⊥平面ABC,∴BP⊥AB,BP⊥BC,=(3,1,4),则解得答案 B2.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且=,N为B1B的中点,则||为( ).A.aB.aC.aD.a8\n解析 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(a,0,0),C1(0,a,a),N.设M(x,y,z),∵点M在AC1上且=,∴(x-a,y,z)=(-x,a-y,a-z)∴x=a,y=,z=.得M,∴||==a.答案 A3.如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,E、F分别是棱BC、DD1上的点,如果B1E⊥平面ABF,则CE与DF的和的值为________.解析 以D1A1、D1C1、D1D分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设CE=x,DF=y,则易知E(x,1,1),B1(1,1,0),∴=(x-1,0,1),又F(0,0,1-y),B(1,1,1),∴=(1,1,y),由于AB⊥B1E,故若B1E⊥平面ABF,只需·=(1,1,y)·(x-1,0,1)=0⇒x+y=1.答案 14.(2022·淮南模拟)在正方体ABCDA1B1C1D1中,P为正方形A1B1C1D1四边上的动点,O为底面正方形ABCD的中心,M,N分别为AB,BC的中点,点Q为平面ABCD内一点,线段D1Q8\n与OP互相平分,则满足=λ的实数λ的有____________个.解析 建立如图的坐标系,设正方体的边长为2,则P(x,y,2),O(1,1,0),∴OP的中点坐标为,又知D1(0,0,2),∴Q(x+1,y+1,0),而Q在MN上,∴xQ+yQ=3,∴x+y=1,即点P坐标满足x+y=1.∴有2个符合题意的点P,即对应有2个λ.答案 25.在四棱锥PABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E、F分别是AB、PB的中点.(1)求证:EF⊥CD;(2)在平面PAD内求一点G,使GF⊥平面PCB,并证明你的结论.(1)证明 如图,以DA、DC、DP所在直线分别为x轴,y轴、z轴建立空间直角坐标系,设AD=a,则D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a,a,0)、C(0,a,0)、E、P(0,0,a)、F.=,=(0,a,0).∵·=0,∴⊥,即EF⊥CD.(2)解 设G(x,0,z),则=,若使GF⊥平面PCB,则由·=·(a,0,0)=a=0,得x=;由·=·(0,-a,a)=2+a=0,得z=0.∴G点坐标为,即G点为AD的中点.6.(2022·湖南卷)如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E8\n是CD的中点.(1)证明:CD⊥平面PAE;(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,求四棱锥PABCD的体积.解 如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.设PA=h,则相关各点的坐标为:A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h).(1)证明 易知=(-4,2,0),=(2,4,0),=(0,0,h).因为·=-8+8+0=0,·=0,所以CD⊥AE,CD⊥AP.而AP,AE是平面PAE内的两条相交直线,所以CD⊥平面PAE.(2)由题设和(1)知,·分别是平面PAE,平面ABCD的法向量.而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,所以|cos〈,〉|=|cos〈,〉|,即=.由(1)知,=(-4,2,0),=(0,0,-h),又=(4,0,-h),故=.解得h=.又梯形ABCD的面积为S=×(5+3)×4=16,所以四棱锥PABCD的体积为V=×S×PA=×16×=.8
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