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【创新设计】(浙江专用)2022届高考数学总复习 第8篇 第6讲 空间向量及其运算限时训练 理

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第6讲 空间向量及其运算分层A级 基础达标演练(时间:30分钟 满分:55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.在下列命题中:①若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行;②若向量a,b所在的直线为异面直线,则向量a,b一定不共面;③若三个向量a,b,c两两共面,则向量a,b,c,共面;④已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p总存在实数x,y,z使得p=xa+yb+zc.其中正确命题的个数是(  ). A.0B.1C.2D.3解析 a与b共线,a,b所在直线也可能重合,故①不正确;根据自由向量的意义知,空间任两向量a,b都共面,故②错误;三个向量a,b,c中任两个一定共面,但它们三个却不一定共面,故③不正确;只有当a,b,c不共面时,空间任意一向量p才能表示为p=xa+yb+zc,故④不正确,综上可知四个命题中正确的个数为0,故选A.答案 A2.若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),满足条件(c-a)·(2b)=-2,则x=(  ).A.-4B.-2C.4D.2解析 ∵a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),∴c-a=(0,0,1-x),2b=(2,4,2).∴(c-a)·(2b)=2(1-x)=-2,∴x=2.答案 D3.若{a,b,c}为空间的一组基底,则下列各项中,能构成基底的一组向量是(  ).A.{a,a+b,a-b}B.{b,a+b,a-b}C.{c,a+b,a-b}D.{a+b,a-b,a+2b}解析 若c、a+b、a-b共面,则c=λ(a+b)+m(a-b)=(λ+m)a+(λ-m)b,则a、b、c为共面向量,此与{a,b,c}为空间向量的一组基底矛盾,故c,a+b,a-7\nb可构成空间向量的一组基底.答案 C4.如图所示,已知空间四边形OABC,OB=OC,且∠AOB=∠AOC=,则cos〈,〉的值为(  ).A.0B.C.D.解析 设=a,=b,=c,由已知条件〈a,b〉=〈a,c〉=,且|b|=|c|,·=a·(c-b)=a·c-a·b=|a||c|-|a||b|=0,∴cos〈,〉=0.答案 A二、填空题(每小题5分,共10分)5.在下列条件中,使M与A、B、C一定共面的是________.(填序号)①=2--;②=++;③++=0;④+++=0;解析 ∵++=0,∴=--,则、、为共面向量,即M、A、B、C四点共面.答案 ③6.在空间四边形ABCD中,·+·+·=________.解析 如图,设=a,=b,=c,·+·+·=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)=0.答案 07\n三、解答题(共25分)7.(12分)已知非零向量e1,e2不共线,如果=e1+e2,=2e1+8e2,=3e1-3e2,求证:A、B、C、D共面.证明 令λ(e1+e2)+μ(2e1+8e2)+v(3e1-3e2)=0.则(λ+2μ+3v)e1+(λ+8μ-3v)e2=0.∵e1,e2不共线,∴.易知是其中一组解,则-5++=0.∴A、B、C、D共面.8.(13分)如右图,在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,G为△BC1D的重心,(1)试证:A1、G、C三点共线;(2)试证:A1C⊥平面BC1D;(3)求点C到平面BC1D的距离.(1)证明 =++=++,可以证明:=(++)=,∴∥,即A1、G、C三点共线.(2)证明 设=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=a,且a·b=b·c=c·a=0,∵=a+b+c,=c-a,∴·=(a+b+c)·(c-a)=c2-a2=0,∴⊥,即CA1⊥BC1,同理可证:CA1⊥BD,因此A1C⊥平面BC1D.(3)解 ∵=a+b+c,∴2=a2+b2+c2=3a2,即||=a,因此||=a.即C到平面BC1D的距离为a.分层B级 创新能力提升1.(2022·海淀月考)以下四个命题中正确的是(  ). A.空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B.若{a,b,c}为空间向量的一组基底,则{a+b,b+c,c+a}构成空间向量的另一组基底7\nC.△ABC为直角三角形的充要条件是·=0D.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底解析 若a+b、b+c、c+a为共面向量,则a+b=λ(b+c)+μ(c+a),(1-μ)a=(λ-1)b+(λ+μ)c,λ,μ不可能同时为1,设μ≠1,则a=b+c,则a、b、c为共面向量,此与{a,b,c}为空间向量基底矛盾.答案 B2.如图所示,在长方体ABCDA1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是(  ).A.-a+b+cB.a+b+cC.-a-b+cD.a-b+c解析 =+=+(-)=c+(b-a)=-a+b+c.答案 A3.已知在一个60°的二面角的棱上,如图有两个点A,B,AC,BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段,且AB=4cm,AC=6cm,BD=8cm,则CD的长为________.解析 设=a,=b,=c,由已知条件|a|=8,|b|=4,|c|=6,〈a,b〉=90°,〈b,c〉=90°,〈a,c〉=60°||2=|++|2=|-c+b+a|2=a2+b2+c2+2a·b-2a·c-2b·c=68,则||=2.答案 2cm7\n4.如图,空间四边形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,则OA与BC所成角的余弦值等于________.解析 设=a,=b,=c.OA与BC所成的角为θ,·=a(c-b)=a·c-a·b=a·(a+)-a·(a+)=a2+a·-a2-a·=24-16.∴cosθ===.答案 5.如图所示,平行六面体ABCDA1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°.(1)求AC1的长;(2)求BD1与AC夹角的余弦值.解 (1)记=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=1,〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,∴a·b=b·c=c·a=.||2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=1+1+1+2×=6,∴||=,即AC1的长为.7\n(2)=b+c-a,=a+b,∴||=,||=,·=(b+c-a)·(a+b)=b2-a2+a·c+b·c=1.∴cos〈,〉==.∴AC与BD1夹角的余弦值为.6.如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB、AD、CD的中点,计算:(1)·;(2)·;(3)EG的长;(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值.解 设=a,=b,=c.则|a|=|b|=|c|=1,〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,(1)==c-a,=-a,=b-c,·=·(-a)=a2-a·c=,(2)·=(c-a)·(b-c)=(b·c-a·b-c2+a·c)=-;(3)=++=a+b-a+c-b=-a+b+c,||2=a2+b2+c2-a·b+b·c-c·a=,则||=.(4)=b+c,=+=-b+a,cos〈,〉==-,由于异面直线所成角的范围是(0°,90°],7\n所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.7

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发布时间:2022-08-26 00:32:23 页数:7
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文章作者:U-336598

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