【创新设计】（浙江专用）2022届高考数学总复习 第5篇 第4讲 平面向量应用举例限时训练 理

第4讲　平面向量应用举例分层A级　基础达标演练(时间：30分钟　满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2022·邵阳模拟)已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin2x)，其中x∈(0，π)．若|a·b|＝|a||b|，则tanx的值等于(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．1B．－1C.D.解析　由|a·b|＝|a||b|知，a∥b.所以sin2x＝2sin2x，即2sinxcosx＝2sin2x，而x∈(0，π)，所以sinx＝cosx，即x＝，故tanx＝1.答案　A2．(2022·九江模拟)若|a|＝2sin15°，|b|＝4cos15°，a与b的夹角为30°，则a·b的值是(　　)．A.B.C．2D.解析　a·b＝|a||b|cos30°＝8sin15°cos15°×＝4×sin30°×＝.答案　B3.(2022·哈尔滨模拟)函数y＝tanx－的部分图象如图所示，则(＋)·＝(　　)．A．4　　　B．6C．1　　　D．2解析　由条件可得B(3,1)，A(2,0)，∴(＋)·＝(＋)·(－)＝2－2＝10－4＝6.答案　B6\n4．在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝1，E，F为边BC的三等分点，则·＝(　　)．A.B.C.D.解析　法一　依题意，不妨设＝，＝2，则有－＝(－)，即＝＋；－＝2(－)，即＝＋.所以·＝·＝(2＋)·(＋2A)＝(2A2＋2A2＋5A·A)＝(2×22＋2×12＋5×2×1×cos60°)＝，选A.法二　由∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝1可得∠ACB＝90°，如图建立直角坐标系，则A(0,1)，E，F，∴·＝·＝·＋(－1)·(－1)＝＋1＝，选A.答案　A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2022·温州适应性测试)在平行四边形ABCD中，已知AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，E6\n为CD的中点，则·＝________.解析　·＝·(＋)＝(＋D)·(－)＝2－·－2＝1－×1×2cos60°－×4＝－.答案　－6．(2022·东北三校一模)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(3b－c)cosA＝acosC，S△ABC＝，则·＝________.解析　依题意得(3sinB－sinC)cosA＝sinAcosC，即3sinBcosA＝sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C)＝sinB>0，于是有cosA＝，sinA＝＝，又S△ABC＝·bcsinA＝bc×＝，所以bc＝3，·＝bccos(π－A)＝－bccosA＝－3×＝－1.答案　－1三、解答题(共25分)7．(12分)已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及点A(1,1)，M是圆C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且＝2A，求点N的轨迹方程．解　设M(x0，y0)、N(x，y)．由＝2，得(1－x0,1－y0)＝2(x－1，y－1)，∴∵点M(x0，y0)在圆C上，∴(x0－3)2＋(y0－3)2＝4，即(3－2x－3)2＋(3－2y－3)2＝4.∴x2＋y2＝1.∴所求点N的轨迹方程是x2＋y2＝1.8．(13分)(2022·北京海淀模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若·＝·＝k(k∈R)．(1)判断△ABC的形状；(2)若c＝，求k的值．解　(1)∵·＝cbcosA，·＝cacosB，6\n又·＝·，∴bccosA＝accosB，∴sinBcosA＝sinAcosB，即sinAcosB－sinBcosA＝0，∴sin(A－B)＝0，∵－π＜A－B＜π，∴A＝B，即△ABC为等腰三角形．(2)由(1)知，·＝bccosA＝bc·＝＝k，∵c＝，∴k＝1.分层B级　创新能力提升1．(2022·安庆二模)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对应的三角形的边长，若4aB＋2bC＋3cA＝0，则cosB＝(　　)．　　A．－B.C.D．－解析　由4aB＋2bC＋3cA＝0，得4aB＋3cA＝－2bC＝－2b(B－B)＝2bA＋2bB，所以4a＝3c＝2b.由余弦定理得cosB＝＝＝－.答案　A2．(2022·郑州三模)△ABC的外接圆圆心为O，半径为2，O＋＋＝0，且||＝||，则在方向上的投影为(　　)．A．1B．2C.D．3解析　6\n如图，由题意可设D为BC的中点，由＋＋＝0，得＋2A＝0，即A＝2A，∴A，O，D共线且|A|＝2||，又O为△ABC的外心，∴AO为BC的中垂线，∴||＝||＝||＝2，||＝1，∴||＝，∴在方向上的投影为.答案　C3．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)，若a⊥b，则9x＋3y的最小值为________．解析　若a⊥b，则4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2.9x＋3y＝32x＋3y≥2×＝2×＝6.当且仅当x＝，y＝1时取得最小值．答案　64．(2022·山西大学附中月考)已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，则a与b的夹角范围为________．解析　由题意得：f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b必有可变号零点，即Δ＝|a|2－4a·b>0，即4|b|2－8|b|2cos〈a，b〉>0，即－1≤cos〈a，b〉<.所以a与b的夹角范围为.答案　5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(2sinB，－)，n＝且m∥n.(1)求锐角B的大小；(2)如果b＝2，求S△ABC的最大值．解　(1)∵m∥n，∴2sinB＝－cos2B，∴sin2B＝－cos2B，即tan2B＝－.又B为锐角，∴2B∈(0，π)，∴2B＝，∴B＝.(2)∵B＝，b＝2，由余弦定理cosB＝，得a2＋c2－ac－4＝0.又a2＋c2≥2ac，代入上式，得ac≤4(当且仅当a＝c＝2时等号成立)．6\nS△ABC＝acsinB＝ac≤(当且仅当a＝c＝2时等号成立)，即S△ABC的最大值为.6．(2022·南通模拟)已知向量m＝，n＝.(1)若m·n＝1，求cos的值；(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围．解　(1)m·n＝sin·cos＋cos2＝sin＋＝sin＋，∵m·n＝1，∴sin＝.cos＝1－2sin2＝，cos＝－cos＝－.(2)∵(2a－c)cosB＝bcosC，由正弦定理得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，∴2sinAcosB－sinCcosB＝sinBcosC.∴2sinAcosB＝sin(B＋C)．∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sinA≠0.∴cosB＝，∵0＜B＜π，∴B＝，∴0＜A＜.∴＜＋＜，sin∈.又∵f(x)＝sin＋，∴f(A)＝sin＋.故函数f(A)的取值范围是.6