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【创新设计】(浙江专用)2022届高考数学总复习 第3篇 第3讲 导数的综合应用限时训练 理
【创新设计】(浙江专用)2022届高考数学总复习 第3篇 第3讲 导数的综合应用限时训练 理
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第3讲 导数的综合应用分层A级 基础达标演练(时间:30分钟 满分:55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知对任意实数x,都有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且x>0时,f′(x)>0,g′(x)>0,则x<0时( ).A.f′(x)>0,g′(x)>0B.f′(x)>0,g′(x)<0C.f′(x)<0,g′(x)>0D.f′(x)<0,g′(x)<0解析 由题意知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数.当x>0时,f(x),g(x)都单调递增,则当x<0时,f(x)单调递增,g(x)单调递减,即f′(x)>0,g′(x)<0.答案 B2.从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形,作成一个无盖的盒子,则盒子容积的最大值为( ).A.12cm3B.72cm3C.144cm3D.160cm3解析 设盒子容积为ycm3,盒子的高为xcm,则x∈(0,5).则y=(10-2x)(16-2x)x=4x3-52x2+160x,∴y′=12x2-104x+160.令y′=0,得x=2或(舍去),∴ymax=6×12×2=144(cm3).答案 C3.若关于x的不等式x3-3x2-9x+2≥m对任意x∈[-2,2]恒成立,则m的取值范围是( ).A.(-∞,7]B.(-∞,-20]C.(-∞,0]D.[-12,7]解析 令f(x)=x3-3x2-9x+2,则f′(x)=3x2-6x-9,令f′(x)=0,得x=-1或x=3(舍去).∵f(-1)=7,f(-2)=0,f(2)=-20.∴f(x)的最小值为f(2)=-20,故m≤-20,可知应选B.答案 B4.(2022·洛阳模拟)函数f(x)的定义域是R,f(0)=2,对任意x∈R,f(x)+f′(x)>1,则不等式ex·f(x)>ex+1的解集为( ).A.{x|x>0}B.{x|x<0}C.{x|x<-1或x>1}D.{x|x<-1或0<x<1}解析 构造函数g(x)=ex·f(x)-ex,因为g′(x)=ex·f(x)+ex·f′(x)-ex=ex[f(x)+f′(x)]-ex>ex-ex=0,所以g(x)=ex·f(x)-ex为R上的增函数.又因为8\ng(0)=e0·f(0)-e0=1,所以原不等式转化为g(x)>g(0),解得x>0.答案 A二、填空题(每小题5分,共10分)5.直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图象有相异的三个公共点,则a的取值范围是________.解析 令f′(x)=3x2-3=0,得x=±1,可得极大值为f(-1)=2,极小值为f(1)=-2,如图,观察得-2<a<2时恰有三个不同的公共点.答案 (-2,2)6.(2022·泰州调研)若函数f(x)=x+asinx在R上递增,则实数a的取值范围是________.解析 ∵f′(x)=1+acosx,∴要使函数f(x)=x+asinx在R上递增,则1+acosx≥0对任意实数x都成立.∵-1≤cosx≤1,①当a>0时,-a≤acosx≤a,∴-a≥-1,∴0<a≤1;②当a=0时适合;③当a<0时,a≤acosx≤-a,∴a≥-1,∴-1≤a<0.综上,-1≤a≤1.答案 [-1,1]三、解答题(共25分)7.(12分)(2022·新课标全国)已知函数f(x)满足f(x)=f′(1)ex-1-f(0)x+x2.(1)求f(x)的解析式及单调区间;(2)若f(x)≥x2+ax+b,求(a+1)b的最大值.解 (1)由已知得f′(x)=f′(1)ex-1-f(0)+x.所以f′(1)=f′(1)-f(0)+1,即f(0)=1.又f(0)=f′(1)e-1,所以f′(1)=e.从而f(x)=ex-x+x2.由于f′(x)=ex-1+x,故当x∈(-∞,0)时,f′(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0.从而,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.(2)由已知条件得ex-(a+1)x≥b.①(i)若a+1<0,则对任意常数b,当x<0,且x<时,可得ex-(a+1)x<b,因此①式不成立.(ii)若a+1=0,则(a+1)b=0.8\n(iii)若a+1>0,设g(x)=ex-(a+1)x,则g′(x)=ex-(a+1).当x∈(-∞,ln(a+1))时,g′(x)<0;当x∈(ln(a+1),+∞)时,g′(x)>0.从而g(x)在(-∞,ln(a+1))上单调递减,在(ln(a+1),+∞)上单调递增.故g(x)有最小值g(ln(a+1))=a+1-(a+1)ln(a+1).所以f(x)≥x2+ax+b等价于b≤a+1-(a+1)·ln(a+1).②因此(a+1)b≤(a+1)2-(a+1)2ln(a+1).设h(a)=(a+1)2-(a+1)2ln(a+1),则h′(a)=(a+1)[1-2ln(a+1)].所以h(a)在(-1,-1)上单调递增,在(-1,+∞)上单调递减,故h(a)在a=-1处取得最大值.从而h(a)≤,即(a+1)b≤.当a=-1,b=时,②式成立.故f(x)≥x2+ax+b.综上得,(a+1)b的最大值为.8.(13分)(2022·长春模拟)已知函数f(x)=+alnx-2(a>0).(1)若对于∀x∈(0,+∞)都有f(x)>2(a-1)成立,试求a的取值范围;(2)记g(x)=f(x)+x-b(b∈R),当a=1时,函数g(x)在区间[e-1,e]上有两个零点,求实数b的取值范围.解 (1)f′(x)=-+=.由f′(x)>0,解得x>;由f′(x)<0,解得0<x<.所以f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.所以当x=时,函数f(x)取得最小值,ymin=f.因为对于∀x∈(0,+∞)都有f(x)>2(a-1)成立,所以只需满足f>2(a-1)即可.8\n则+aln-2>2(a-1),即aln>a.由aln>a,解得0<a<.所以a的取值范围是.(2)依题意得g(x)=+lnx+x-2-b,其定义域为(0,+∞).则g′(x)=.由g′(x)>0解得x>1;由g′(x)<0解得0<x<1.所以函数g(x)在区间(0,1)上为减函数,在区间(1,+∞)上为增函数.又因为函数g(x)在区间[e-1,e]上有两个零点,所以解得1<b≤+e-1,所以b的取值范围是.分层B级 创新能力提升1.(2022·石家庄模拟)已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数,g(x)≠0,f′(x)g(x)>f(x)g′(x),且f(x)=axg(x)(a>0,且a≠1),+=.若数列的前n项和大于62,则n的最小值为( ). A.8B.7C.6D.9解析 构造函数h(x)==ax,由已知条件可知h′(x)=>0,则h(x)在R上为增函数,得a>1,又a+a-1=,解得a=2或a=(舍去).所以=2n,其前n项和Sn=2+22+…+2n=2n+1-2,由2n+1-2>62,解得2n+1>26,∴n>5,故n的最小值为6,选C.答案 C2.(2022·合肥模拟)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,若f(x)在区间(-1,0)上单调递减,则a2+b2的取值范围是( ).8\nA.B.C.D.解析由题意得f′(x)=3x2+2ax+b,f′(x)≤0在x∈(-1,0)上恒成立,即3x2+2ax+b≤0在x∈(-1,0)上恒成立,∴∴a,b所满足的可行域如图中的阴影部分所示.则点O到直线2a-b-3=0的距离d=,∴a2+b2≥d2=,∴a2+b2的取值范围为.答案 C3.(2022·临沂模拟)设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于任意x∈[-1,1],都有f(x)≥0成立,则实数a的值为________.解析 (构造法)若x=0,则不论a取何值,f(x)≥0显然成立;当x>0,即x∈(0,1]时,f(x)=ax3-3x+1≥0可化为a≥-.设g(x)=-,则g′(x)=,所以g(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减,因此g(x)max=g=4,从而a≥4.当x<0,即x∈[-1,0)时,同理a≤-.g(x)在区间[-1,0)上单调递增,∴g(x)min=g(-1)=4,从而a≤4,综上可知a=4.答案 44.将边长为1m的正三角形薄铁皮,沿一条平行于某边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记s=,则s的最小值是________.解析 8\n如图所示,设AD=xm(0<x<1),则DE=AD=xm,∴梯形的周长为x+2(1-x)+1=3-x(m),又S△ADE=x2(m2),∴梯形的面积为-x2(m2),∴s=×(0<x<1),∴s′=×,令s′=0,得x=或3(舍去),当x∈时,s′<0,s递减;当x∈时,s′>0,s递增.故当x=时,s的最小值是.答案 5.(2022·温州五校联考)已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的取值范围.解 (1)f′(x)=3ax2+2bx-3,依题意,f′(1)=f′(-1)=0,即解得a=1,b=0.∴f(x)=x3-3x.(2)由(1)知f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),∵曲线方程为y=x3-3x,∴点A(1,m)(m≠-2)不在曲线上.设切点为M(x0,y0),则点M的坐标满足y0=x-3x0.∵f′(x0)=3(x-1),∴切线的斜率为3(x-1)=,整理得2x-3x+m+3=0.∵过点A(1,m)可作曲线的三条切线,∴关于x0的方程2x-3x+m+3=0有三个实根.设g(x0)=2x-3x+m+3,则g′(x0)=6x-6x0,由g′(x0)=0,得x0=0或1.∴g(x0)在(-∞,0)和(1,+∞)上单调递增,8\n在(0,1)上单调递减.∴函数g(x0)=2x-3x+m+3的极值点为x0=0和1.∴关于x0的方程2x-3x+m+3=0有三个实根的充要条件是解得-3<m<-2.故所求实数m的取值范围是(-3,-2).6.(2022·福州二模)已知函数f(x)=ax+x2,g(x)=xlna,a>1.(1)求证函数F(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上单调递增;(2)若函数y=-3有四个零点,求b的取值范围;(3)若对于任意的x1,x2∈[-1,1]时,都有|F(x2)-F(x1)|≤e2-2恒成立,求a的取值范围.(1)证明 ∵F(x)=f(x)-g(x)=ax+x2-xlna,∴F′(x)=ax·lna+2x-lna=(ax-1)lna+2x.∵a>1,x>0,∴ax-1>0,lna>0,2x>0,∴当x∈(0,+∞)时,F′(x)>0,即函数F(x)在区间(0,+∞)上单调递增.(2)解 由(1)知当x∈(-∞,0)时,F′(x)<0,∴F(x)在(-∞,0]上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.∴F(x)取得最小值为F(0)=1.由-3=0,得F(x)=b-+3或F(x)=b--3,∴要使函数y=-3有四个零点,只需即b->4,即>0,解得b>2+或2-<b<0.故b的取值范围是(2-,0)∪(2+,+∞).(3)解 ∵∀x1,x2∈[-1,1],由(1)知F(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,∴F(x)min=F(0)=1.从而再来比较F(-1)与F(1)的大小即可.F(-1)=+1+lna,F(1)=a+1-lna,∴F(1)-F(-1)=a--2lna.令H(x)=x--2lnx(x>0),8\n则H′(x)=1+-==>0,∴H(x)在(0,+∞)上单调递增.∵a>1,∴H(a)>H(1)=0.∴F(1)>F(-1).∴|F(x2)-F(x1)|的最大值为|F(1)-F(0)|=a-lna,∴要使|F(x2)-F(x1)|≤e2-2恒成立,只需a-lna≤e2-2即可.令h(a)=a-lna(a>1),h′(a)=1->0,∴h(a)在(1,+∞)上单调递增.∵h(e2)=e2-2,∴只需h(a)≤h(e2),即1<a≤e2.故a的取值范围是(1,e2].8
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:32:32
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