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【创新设计】(浙江专用)2022届高考数学总复习 第3篇 第2讲 用导数研究函数的单调性、极值与最值限时训练 理

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第2讲 用导数研究函数的单调性、极值与最值分层A级 基础达标演练(时间:30分钟 满分:55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2022·长春名校联考)已知定义在R上的函数f(x),其导函数f′(x)的大致图象如图所示,则下列叙述正确的是(  ).A.f(b)>f(c)>f(d)B.f(b)>f(a)>f(e)C.f(c)>f(b)>f(a)D.f(c)>f(e)>f(d)解析 依题意得,当x∈(-∞,c)时,f′(x)>0;当x∈(c,e)时,f′(x)<0;当x∈(e,+∞)时,f′(x)>0.因此,函数f(x)在(-∞,c)上是增函数,在(c,e)上是减函数,在(e,+∞)上是增函数,又a<b<c,所以f(c)>f(b)>f(a),选C.答案 C2.(2022·济宁模拟)若函数h(x)=2x-+在(1,+∞)上是增函数,则实数k的取值范围是(  ).A.[-2,+∞)B.[2,+∞)C.(-∞,-2]D.(-∞,2]解析 由条件得h′(x)=2+=≥0在(1,+∞)上恒成立,即k≥-2x2在(1,+∞)上恒成立,所以k∈[-2,+∞).答案 A3.(2022·青岛模拟)函数f(x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值是(  ).A.-2B.0C.2D.4解析 f′(x)=3x2-6x,令f′(x)=0,得x=0或2.∴f(x)在[-1,0)上是增函数,f(x)在(0,1]上是减函数.∴f(x)max=f(x)极大值=f(0)=2.答案 C6\n4.已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是(  ).A.(-1,2)B.(-∞,-3)∪(6,+∞)C.(-3,6)D.(-∞,-1)∪(2,+∞)解析 f′(x)=3x2+2ax+(a+6),因为函数有极大值和极小值,所以f′(x)=0有两个不相等的实数根,所以Δ=4a2-4×3(a+6)>0,解得a<-3或a>6.答案 B二、填空题(每小题5分,共10分)5.若函数f(x)=在x=1处取极值,则a=________.解析 由f′(x)==0,∴x2+2x-a=0,x≠-1,又f(x)在x=1处取极值,∴x=1是x2+2x-a=0的根,∴a=3.答案 36.已知函数f(x)=ex-2x+a有零点,则a的取值范围是________.解析 f′(x)=ex-2.当x<ln2时,f′(x)<0;当x>ln2时,f′(x)>0.∴f(x)min=f(ln2)=2-2ln2+a,则函数有零点,即f(x)min≤0.∴2-2ln2+a≤0,∴a≤2ln2-2.答案 (-∞,2ln2-2]三、解答题(共25分)7.(12分)(2022·浙江五校联考)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c(x∈[-1,2]),且函数f(x)在x=1和x=-处都取得极值.(1)求a,b的值;(2)求函数f(x)的单调递增区间.解 (1)∵f(x)=x3+ax2+bx+c,∴f′(x)=3x2+2ax+b.由题易知,即解得(2)由(1)知,f′(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),∵当x∈时,f′(x)>0;当x∈时,f′(x)<0;当x∈(1,2]时,f′(x)>0.∴f(x)的单调递增区间为和(1,2].8.(13分)(2022·辽宁卷)已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.(1)讨论函数f(x)的单调性;6\n(2)设a<-1,如果对任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|,求实数a的取值范围.解 (1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=+2ax=.当a≥0时,f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a≤-1时,f′(x)<0,故f(x)在(0,+∞)上单调递减;当-1<a<0时,令f′(x)=0,解得x=.所以当x∈时,f′(x)>0,此时函数f(x)单调递增;当x∈时,f′(x)<0,此时函数f(x)单调递减.(2)不妨设x1≥x2,而a<-1,由(1)知f(x)在(0,+∞)上单调递减,从而对于任意的x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|成立,它等价于对任意的x1,x2∈(0,+∞),有f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1.①令g(x)=f(x)+4x,则g′(x)=+2ax+4,①式等价于g(x)在(0,+∞)上单调递减,即+2ax+4≤0在(0,+∞)上恒成立,从而a≤=-2在(0,+∞)上恒成立,由于-2≥-2,故a的取值范围是(-∞,-2].分层B级 创新能力提升1.(2022·蚌埠质检)若函数f(x)=2x2-lnx在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是(  ).A.[1,+∞)B.C.[1,2)D.解析 因为f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=4x-,由f′(x)=0,得x=.据题意得解得1≤k<.故选B.答案 B2.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于(  ).A.2B.3C.6D.9解析 ∵f′(x)=12x2-2ax-2b,6\nΔ=4a2+96b>0,又x=1是极值点,∴f′(1)=12-2a-2b=0,即a+b=6,∴ab≤=9,当且仅当a=b时“=”成立,所以ab的最大值为9.答案 D3.若函数f(x)=(a>0)在[1,+∞)上的最大值为,则a的值为________.解析 f′(x)==.当x>时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当-<x<时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当<1时,则f(x)在[1,+∞)单调递减.则f(x)max=f(1)==,a=-1.当>1时,则f(x)在[1,]单调递增,在[a,+∞)单调递减.所以f(x)max=f()==,a=<1,不合题意舍去,所以a=-1.答案 -14.(2022·深圳调研)设函数f(x)=lnx-ax2-bx,若x=1是f(x)的极大值点,则a的取值范围为________.解析 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-ax-b,由f′(1)=0,得b=1-a.∴f′(x)=-ax+a-1=.①若a≥0,当0<x<1时,f′(x)>0,此时f(x)单调递增;当x>1时,f′(x)<0,此时f(x)单调递减;所以x=1是f(x)的极大值点.②若a<0,由f′(x)=0,得x=1或-.因为x=1是f(x)的极大值点,所以->1,解得-1<a<0.综合①②得a的取值范围是a>-1.答案 (-1,+∞)5.(2022·重庆)已知函数f(x)=ax3+bx+c在x=2处取得极值为c-16.6\n(1)求a,b的值;(2)若f(x)有极大值28,求f(x)在[-3,3]上的最小值.解 (1)因f(x)=ax3+bx+c,故f′(x)=3ax2+b,由于f(x)在点x=2处取得极值c-16,故有即化简得解得(2)由(1)知f(x)=x3-12x+c,f′(x)=3x2-12.令f′(x)=0,得x=-2或2,当x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0,故f(x)在(-∞,-2)上为增函数;当x∈(-2,2)时,f′(x)<0,故f(x)在(-2,2)上为减函数;当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,故f(x)在(2,+∞)上为增函数.由此可知f(x)在x=-2处取得极大值f(-2)=16+c,f(x)在x=2处取得极小值f(2)=c-16.由题设条件知,16+c=28,解得c=12,此时f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,f(2)=c-16=-4,因此f(x)在[-3,3]上的最小值为f(2)=-4.6.(2022·富阳模拟)已知函数f(x)=-x2+ax-lnx(a∈R).(1)当a=3时,求函数f(x)在上的最大值和最小值;(2)当函数f(x)在上单调时,求a的取值范围.解 (1)a=3时,f′(x)=-2x+3-=-=-,函数f(x)在区间上仅有极大值点x=1,故这个极大值点也是最大值点,故函数f(x)在上的最大值是f(1)=2.又f(2)-f=(2-ln2)-=-2ln2<0,故f(2)<f,故函数在上的最小值为f(2)=2-ln2.(2)f′(x)=-2x+a-,令g(x)=2x+,则g′(x)=2-,则函数g(x)在上递减,在上递增,由g6\n=3,g(2)=,g=2,故函数g(x)在的值域为.若要f′(x)≤0在上恒成立,即a≤2x+在恒成立,只要a≤2;若要f′(x)≥0在上恒成立,即a≥2x+在上恒成立,只要a≥,即a的取值范围是(-∞,2]∪.6

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发布时间:2022-08-26 00:32:33 页数:6
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文章作者:U-336598

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