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江苏专用2022高考数学二轮复习专题一第3讲导数与函数的单调性极值最值问题提升训练理

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第3讲 导数与函数的单调性、极值、最值问题一、填空题1.函数f(x)=x2-lnx的单调递减区间为________.解析 由题意知,函数的定义域为(0,+∞),又由f′(x)=x-≤0,解得0<x≤1,所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1].答案 (0,1]2.(2022·南师附中模拟)已知函数f(x)=mx2+lnx-2x在定义域内是增函数,则实数m的取值范围是________.解析 f′(x)=mx+-2≥0对一切x>0恒成立,∴m≥-+.令g(x)=-+,则当=1,即x=1时,函数g(x)取最大值1.故m≥1.答案 [1,+∞)3.已知函数f(x)=x3+ax2+x+2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(-1,1)内,则实数a的取值范围是________.解析 由题意可知f′(x)=0的两个不同解都在区间(-1,1)内.因为f′(x)=3x2+2ax+1,所以根据导函数图象可得又a>0,解得<a<2.答案 (,2)4.(2022·镇江调研)函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围是________.解析 f′(x)=3x2-3a=3(x2-a).当a≤0时,f′(x)>0,∴f(x)在(0,1)内单调递增,无最小值.当a>0时,f′(x)=3(x-)(x+).当x∈(-∞,-)和(,+∞)时,f(x)单调递增;当x∈(-,)时,f(x)单调递减,所以当<1,即0<a<1时,f(x)在(0,1)内有最小值.答案 (0,1)5\n5.(2022·苏北四市调研)在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+b是曲线y=alnx的切线,则当a>0时,实数b的最小值是________.解析 设切点坐标(x0,alnx0),则所以所以b′=lna,令导数等于0,得a=1,且0<a<1时,导数小于0,函数单调递减;a>1时,导数大于0,函数单调递增,所以a=1时,b取得极小值,也是最小值,即bmin=-1.答案 -16.若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1在R上单调递增,则a的取值范围是________.解析 f′(x)=3x2+6ax+3(a+2).由题意知f′(x)≥0在R上恒成立,所以Δ=36a2-4×3×3(a+2)≤0,解得-1≤a≤2.答案 [-1,2]7.函数f(x)的定义域是R,f(0)=2,对任意x∈R,f(x)+f′(x)>1,则不等式ex·f(x)>ex+1的解集为________.解析 构造函数g(x)=ex·f(x)-ex,因为g′(x)=ex·f(x)+ex·f′(x)-ex=ex[f(x)+f′(x)]-ex>ex-ex=0,所以g(x)=ex·f(x)-ex为R上的增函数.又因为g(0)=e0·f(0)-e0=1,所以原不等式转化为g(x)>g(0),解得x>0.答案 (0,+∞)8.(2022·衡水中学期末)若函数f(x)=-x2+4x-3lnx在[t,t+1]上不单调,则t的取值范围是________.解析 对f(x)求导,得f′(x)=-x+4-==-.由f′(x)=0得函数f(x)的两个极值点为1,3,则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内,函数f(x)在区间[t,t+1]上就不单调,所以t<1<t+1或t<3<t+1,解得0<t<1或2<t<3.答案 (0,1)∪(2,3)二、解答题9.已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.5\n(1)求a,b的值;(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.解 (1)f′(x)=ex(ax+a+b)-2x-4.由已知,得f(0)=4,f′(0)=4,故b=4,a+b=8.从而a=4,b=4.(2)由(1)知,f(x)=4ex(x+1)-x2-4x,f′(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2).令f′(x)=0得,x=-ln2或x=-2.从而当x∈(-∞,-2)∪(-ln2,+∞)时,f′(x)>0;当x∈(-2,-ln2)时,f′(x)<0.故f(x)在(-∞,-2],[-ln2,+∞)上单调递增,在[-2,-ln2]上单调递减.当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2).10.(2022·长沙模拟)已知函数f(x)=x3-ax2-3x.(1)若f(x)在[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围;(2)已知函数g(x)=ln(1+x)-x+x2(k≥0),讨论函数g(x)的单调性.解 (1)对f(x)求导,得f′(x)=3x2-2ax-3.由f′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,得a≤.记t(x)=,当x≥1时,t(x)是增函数,所以t(x)min=(1-1)=0.所以a≤0.(2)g′(x)=,x∈(-1,+∞).当k=0时,g′(x)=-,所以在区间(-1,0)上,g′(x)>0;在区间(0,+∞)上,g′(x)<0.故g(x)的单调递增区间是(-1,0],单调递减区间是[0,+∞).当0<k<1时,由g′(x)==0,得x1=0,x2=>0,5\n所以在区间(-1,0)和上,g′(x)>0;在区间上,g′(x)<0.故g(x)的单调递增区间是(-1,0]和,单调递减区间是.当k=1时,g′(x)=>0,故g(x)的单调递增区间是(-1,+∞).当k>1时,g′(x)==0,得x1=∈(-1,0),x2=0,所以在区间和(0,+∞)上,g′(x)>0,在区间上,g′(x)<0.故g(x)的单调递增区间是和[0,+∞),单调递减区间是.11.(2022·山东卷)设函数f(x)=-k(k为常数,e=2.71828…是自然对数的底数).(1)当k≤0时,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求k的取值范围.解 (1)函数y=f(x)的定义域为(0,+∞).f′(x)=-k=-=.由k≤0可得ex-kx>0,所以当x∈(0,2)时,f′(x)<0,函数y=f(x)单调递减,x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,函数y=f(x)单调递增.所以f(x)的单调递减区间为(0,2],单调递增区间为[2,+∞).(2)由(1)知,k≤0时,函数f(x)在(0,2)内单调递减,故f(x)在(0,2)内不存在极值点;当k>0时,设函数g(x)=ex-kx,x∈[0,+∞).因为g′(x)=ex-k=ex-elnk,当0<k≤1时,当x∈(0,2)时,g′(x)=ex-k>0,y=g(x)单调递增.5\n故f(x)在(0,2)内不存在两个极值点;当k>1时,得x∈(0,lnk)时,g′(x)<0,函数y=g(x)单调递减.x∈(lnk,+∞)时,g′(x)>0,函数y=g(x)单调递增.所以函数y=g(x)的最小值为g(lnk)=k(1-lnk).函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点当且仅当解得e<k<,综上所述,函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点时,k的取值范围为.5

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发布时间:2022-08-25 23:25:04 页数:5
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文章作者:U-336598

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