【创新设计】（浙江专用）2022届高考数学总复习 第2篇 第6讲 对数与对数函数限时训练 理

第6讲　对数与对数函数分层A级　基础达标演练(时间：30分钟　满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．如果logx＜logy＜0，那么(　　)．A．y＜x＜1B．x＜y＜1C．1＜x＜yD．1＜y＜x解析　∵logx＜logy＜log1，又y＝logx是(0，＋∞)上的减函数，∴x＞y＞1.答案　D2．已知f(x6)＝log2x，那么f(8)等于(　　)．A.B．8C．18D.解析　令x6＝8，则x＝8＝2，∴f(8)＝log22＝.答案　D3．(2022·中山调研)若log4[log3(log2x)]＝0，则x－等于(　　)．A.B.C．8D．4解析　∵log4[log3(log2x)]＝0，∴log3(log2x)＝1，∴log2x＝3，即x＝23＝8，∴x－＝.答案　A4．(2022·安徽)若点(a，b)在y＝lgx的图象上，a≠1，则下列点也在此图象上的是(　　)．A.B．(10a,1－b)C.D．(a2,2b)解析　因为点(a，b)在y＝lgx的图象上，所以b＝lga，则2b＝2lga＝lga2，5\n所以点(a2,2b)在此图象上．答案　D二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2022·长沙调研)函数y＝log3(2x－4)的定义域是________．解析　由2x－4>0，得x>2.答案　(2，＋∞)6．(2022·无锡模拟)设函数f(x)＝flgx＋1，则f(10)的值为________．解析　f(10)＝f＋1，f＝－f(10)＋1，∴f(10)＝－f(10)＋1＋1，∴f(10)＝1.答案　1三、解答题(共25分)7．(12分)求函数y＝(logx)2－log＋5在区间[2,4]上的最值．解　令t＝logx∈[－2，－1]，则y＝2－t＋5＝t2－t＋5＝(t－1)2＋.所以当t＝－1，即x＝2时，ymin＝；当t＝－2，即x＝4时，ymax＝7.8．(13分)(2022·金华一模)对于函数f(x)＝log(x2－2ax＋3)，解答下列问题：(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)在(－∞，1]内为增函数，求实数a的取值范围．解　设u＝g(x)＝x2－2ax＋3＝(x－a)2＋3－a2.(1)∵u＞0对x∈R恒成立，∴umin＝3－a2＞0，∴－＜a＜(或由x2－2ax＋3＞0的解集为R，得Δ＝4a2－12＜0，求出－＜a＜)．(2)命题等价于⇔⇔即所求a的取值范围是[1,2)．分层B级　创新能力提升5\n1．已知f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，如果对于任意的x∈[，2]都有|f(x)|≤1成立，则a的取值范围为________．解析　∵f(x)＝logax，则y＝|f(x)|的图象如图．由图示，要使x∈[，2]时恒有|f(x)|≤1，只需|f()|≤1，即－1≤loga≤1，即logaa－1≤loga≤logaa.当a＞1时，得a－1≤≤a，即a≥3；当0＜a＜1时得a－1≥≤a，得0＜a≤.综上所述，a的取值范围是(0，]∪[3，＋∞)．答案　(0，]∪[3，＋∞)2．已知函数f(x)＝|lgx|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是________．解析　因为f(a)＝f(b)，所以|lga|＝|lgb|，所以a＝b(舍去)或b＝，所以a＋2b＝a＋.又0<a<b，所以0<a<1<b.令f(a)＝a＋，因为函数f(a)在a∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)＝1＋＝3，即a＋2b的取值范围是(3，＋∞)．答案　(3，＋∞)3．(2022·广州二模)已知函数f(x)＝ax＋log3x(a∈R且a>1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之差为2＋log32，则实数a的值为________．解析　∵a>1时，函数f(x)递增，在区间[1,2]上f(x)的最大值为f(2)＝a2＋log32，最小值为f(1)＝a1＋log31＝a，则a2＋log32－a＝2＋log32，∴a2－a－2＝0，∴a＝2.答案　24．(2022·辽宁改编)设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是________．5\n解析　当x≤1时，21－x≤2，x≥0，所以0≤x≤1.当x＞1时，1－log2x≤2，x≥，所以x＞1.f(x)≤2的x的取值范围是[0，＋∞)．答案　[0，＋∞)5．已知函数f(x)＝－x＋log2.(1)求f＋f的值；(2)当x∈(－a，a]，其中a∈(0,1)，a是常数时，函数f(x)是否存在最小值？若存在，求出f(x)的最小值；若不存在，请说明理由．解　(1)由f(x)＋f(－x)＝log2＋log2＝log21＝0.∴f＋f＝0.(2)f(x)的定义域为(－1,1)，∵f(x)＝－x＋log2(－1＋)，当x1<x2且x1，x2∈(－1,1)时，f(x)为减函数，∴当a∈(0,1)，x∈(－a，a]时f(x)单调递减，∴当x＝a时，f(x)min＝－a＋log2.6．(2022·上海徐汇二模)已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.(1)当x∈[1,4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；(2)如果对任意的x∈[1,4]，不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围．解　(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2，因为x∈[1,4]，所以log2x∈[0,2]，故函数h(x)的值域为[0,2]．(2)由f(x2)·f()>k·g(x)，得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x，令t＝log2x，因为x∈[1,4]，所以t＝log2x∈[0,2]，所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0,2]恒成立，①当t＝0时，k∈R；5\n②当t∈(0,2]时，k<恒成立，即k<4t＋－15，因为4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号，所以4t＋－15的最小值为－3，综上，k∈(－∞，－3).5