【创新设计】（浙江专用）2022届高考数学总复习 第6篇 第5讲 数列的综合应用限时训练 理

第5讲　数列的综合应用分层A级　基础达标演练(时间：30分钟　满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2022·北京)已知{an}为等比数列．下面结论中正确的是(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．a1＋a3≥2a2B．a＋a≥2aC．若a1＝a3，则a1＝a2D．若a3>a1，则a4>a2解析　设公比为q，对于选项A，当a1<0，q≠1时不正确；选项C，当q＝－1时不正确；选项D，当a1＝1，q＝－2时不正确；选项B正确，因为a＋a≥2a1a3＝2a.答案　B2．(2022·泉州四校联考)满足a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N*)，它的前n项和为Sn，则满足Sn>1025的最小n值是(　　)．A．9B．10C．11D．12解析　因为a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N*)，所以an＋1＝2an，an＝2n－1，Sn＝2n－1，则满足Sn>1025的最小n值是11.答案　C3．(2022·济南质检)设y＝f(x)是一次函数，若f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)等于(　　)．A．n(2n＋3)B．n(n＋4)C．2n(2n＋3)D．2n(n＋4)解析　由题意可设f(x)＝kx＋1(k≠0)，则(4k＋1)2＝(k＋1)×(13k＋1)，解得k＝2，f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2n＋1)＝2n2＋3n.答案　A4．(2022·威海期中)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是(　　)．A．5年B．6年C．7年D．8年6\n解析　由已知可得第n年的产量an＝f(n)－f(n－1)＝3n2.当n＝1时也适合，据题意令an≥150⇒n≥5，即数列从第8项开始超过150，即这条生产线最多生产7年．答案　C二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2022·安庆模拟)设关于x的不等式x2－x＜2nx(n∈N*)的解集中整数的个数为an，数列{an}的前n项和为Sn，则S100的值为________．解析　由x2－x＜2nx(n∈N*)，得0＜x＜2n＋1，因此知an＝2n.∴S100＝＝10100.答案　101006．(2022·南通模拟)已知a，b，c成等比数列，如果a，x，b和b，y，c都成等差数列，则＋＝________.解析　赋值法．如令a，b，c分别为2,4,8，可求出x＝＝3，y＝＝6，＋＝2.答案　2三、解答题(共25分)7．(12分)已知函数f(x)＝log2x－logx2(0<x<1)，数列{an}满足f(2an)＝2n(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)判断数列{an}的单调性．思维启迪：(1)将an看成一个未知数，解方程即可求出an；(2)通过比较an和an＋1的大小来判断数列{an}的单调性．解　(1)由已知得log22an－＝2n，∴an－＝2n，即a－2nan－1＝0.∴an＝n±.∵0<x<1，∴0<2an<1，∴an<0.∴an＝n－.(2)法一　∵an＋1－an＝(n＋1)－－(n－)＝1－>1－＝0，∴an＋1>an，∴{an}是递增数列．6\n法二　∵＝＝<1，又∵an<0，∴an＋1>an，∴{an}是递增数列．探究提高　本题融数列、方程、函数单调性等知识为一体，结构巧妙、形式新颖，着重考查逻辑分析能力．8．(13分)某家庭计划年初向银行贷款10万元用于买房，他们选择10年期贷款，偿还贷款的方式为：分10次等额归还，每年一次，并从借后次年年初开始归还，若10年期贷款的年利率为4%，且每年利息均按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息)，问每年应还多少元(精确到1元，其中1.0410≈1.4802)?解　按照贷款的规定，在贷款全部还清时，10万元贷款的价值与这个人还款的价值总额应该相等．我们可以考虑把所有的款项都转化到同一时间(即贷款全部付清时)去计算．在10年后(即贷款全部付清时)10万元的价值为105(1＋4%)10元．设每年还款x元，则第1次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为x(1＋4%)9；第2次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为x(1＋4%)8；……第10次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为x元．则105×(1＋4%)10＝x(1＋4%)9＋x(1＋4%)8＋x(1＋4%)7＋…＋x，由等比数列的求和公式，可得105×1.0410＝·x.所以x≈＝12330.分层B级　创新能力提升1．已知f(x)＝bx＋1是关于x的一次函数，b为不等于1的常数，且g(n)＝设an＝g(n)－g(n－1)(n∈N*)，则数列{an}为(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．等差数列B．等比数列C．递增数列D．递减数列解析　a1＝g(1)－g(0)＝f[g(0)]－g(0)＝b＋1－1＝b，当n≥2时，an＝g(n)－g(n－1)＝f[g(n－1)]－f[g(n－2)]＝b[g(n－1)－g(n－2)]＝ban－1，所以{an}是等比数列．答案　B2．(2022·福州模拟)在等差数列{an}中，满足3a4＝7a7，且a1>0，Sn是数列{an}前n项的和，若Sn取得最大值，则n＝(　　)．A．7B．86\nC．9D．10解析　设公差为d，由题设3(a1＋3d)＝7(a1＋6d)，所以d＝－a1<0.解不等式an>0，即a1＋(n－1)>0，所以n<，则n≤9，当n≤9时，an>0，同理可得n≥10时，an<0.故当n＝9时，Sn取得最大值．答案　C3．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋a3＋…＋a99的值为________．解析　由y′＝(n＋1)xn(x∈N*)，所以在点(1,1)处的切线斜率k＝n＋1，故切线方程为y＝(n＋1)(x－1)＋1，令y＝0得xn＝，所以a1＋a2＋a3＋…＋a99＝lgx1＋lgx2＋…＋lgx99＝lg(x1·x2·…·x99)＝lg××…×＝lg＝－2.答案　－24．(2022·沈阳四校联考)数列{an}的前n项和为Sn，若数列{an}的各项按如下规律排列：，，，，，，，，，，…，，，…，，…，有如下运算和结论：①a24＝；②数列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…是等比数列；③数列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…的前n项和为Tn＝；④若存在正整数k，使Sk<10，Sk＋1≥10，则ak＝.其中正确的结论有________．(将你认为正确的结论序号都填上)解析　依题意，将数列{an}中的项依次按分母相同的项分成一组，第n组中的数的规律是：第n组中的数共有n个，并且每个数的分母均是n＋1，分子由1依次增大到n，第n组中的各数和等于＝.对于①，注意到21＝<24<＝28，因此数列{an6\n}中的第24项应是第7组中的第3个数，即a24＝，因此①正确．对于②、③，设bn为②、③中的数列的通项，则bn＝＝，显然该数列是等差数列，而不是等比数列，其前n项和等于×＝，因此②不正确，③正确．对于④，注意到数列的前6组的所有项的和等于＝10，因此满足条件的ak应是第6组中的第5个数，即ak＝，因此④正确．综上所述，其中正确的结论有①③④.答案　①③④5．已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和为14，且a1，a3，a7恰为等比数列{bn}的前三项．(1)分别求数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn；(2)记数列{anbn}的前n项和为Kn，设cn＝，求证：cn＋1>cn(n∈N*)．(1)解　设公差为d，则解得d＝1或d＝0(舍去)，a1＝2，所以an＝n＋1，Sn＝.又a1＝2，d＝1，所以a3＝4.所以数列{bn}的首项为b1＝2，公比q＝＝2，所以bn＝2n，Tn＝2n＋1－2.(2)证明　因为Kn＝2·21＋3·22＋…＋(n＋1)·2n，①故2Kn＝2·22＋3·23＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1，②①－②得－Kn＝2·21＋22＋23＋…＋2n－(n＋1)·2n＋1，∴Kn＝n·2n＋1，则cn＝＝.cn＋1－cn＝－6\n＝>0，所以cn＋1>cn(n∈N*)．6．(2022·安徽)设函数f(x)＝＋sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{xn}．(1)求数列{xn}的通项公式；(2)设{xn}的前n项和为Sn，求sinSn.解　(1)因为f′(x)＝＋cosx＝0，cosx＝－，解得x＝2kπ±π(k∈Z)．由xn是f(x)的第n个正极小值点知，xn＝2nπ－π(n∈N*)．(2)由(1)可知，Sn＝2π(1＋2＋…＋n)－nπ＝n(n＋1)π－，所以sinSn＝sin.因为n(n＋1)表示两个连续正整数的乘积，n(n＋1)一定为偶数，所以sinSn＝－sin.当n＝3m－2(m∈N*)时，sinSn＝－sin＝－；当n＝3m－1(m∈N*)时，sinSn＝－sin＝；当n＝3m(m∈N*)时，sinSn＝－sin2mπ＝0.综上所述，sinSn＝6