【创新设计】（浙江专用）2022届高考数学总复习 第2篇 第5讲 指数与指数函数限时训练 理

第5讲　指数与指数函数分层A级　基础达标演练(时间：30分钟　满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2022·北京朝阳模拟)函数y＝的图象大致是(　　)．解析　当x<0时，函数的图象是抛物线，当x≥0时，只需把y＝2x的图象在y轴右侧部分向下平移1个单位即可，故大致图象为B.答案　B2．(2022·中山一模)设<b<a<1，那么(　　)．A．aa<bb<baB．aa<ba<abC．ab<ba<aaD．ab<aa<ba解析　∵<b<a<1，∴1>b>a>0，∴ab<aa且aa<ba，故ab<aa<ba.答案　D3．(2022·烟台模拟)函数y＝的值域是(　　)．A．(－∞，1)B．(－∞，0)∪(0，＋∞)C．(－∞，－1)∪(0，＋∞)D．(－1，＋∞)解析　∵2x>0，∴2x－1>－1，∴<－1或>0，∴y∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)．答案　C4．(2022·丽水二模)当x∈[－2,2]时，ax<2(a>0且a≠1)，则实数a的范围是(　　)．A．(1，)B.C.∪(1，)D．(0,1)∪(1，)解析　x∈[－2,2]时，ax<2(a>0且a≠1)，5\n若a>1时，y＝ax是一个增函数，则有a2<2，可得a<，故有1<a<；若0<a<1，y＝ax是一个减函数，则有a－2<2，可得a>，故有<a<1.综上知a∈∪(1，)．答案　C二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数y＝log2(2x－1)的定义域是________．解析　由2x－1>0，得x>0.答案　{x|x>0}6．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)＞f(n)，则m，n的大小关系为________．解析　∵a＝∈(0,1)，则f(x)＝ax为R上的减函数．∵am＞an，∴m＜n.答案　m＜n三、解答题(共25分)7．(12分)(1)计算：－－0.5＋(0.008)－÷(0.02)－×(0.32)÷0.06250.25；(2)若x＋x－＝3，求的值．解　(1)原式＝－＋÷×÷＝÷＝×2＝.(2)由x＋x－＝3，得x＋x－1＋2＝9，∴x＋x－1＝7，∴x2＋x－2＋2＝49，∴x2＋x－2＝47.∵x＋x－＝3－3＝27－9＝18，∴原式＝＝.8．(13分)已知函数f(x)＝ax2－4x＋3.(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值．5\n解　(1)当a＝－1时，f(x)＝－x2－4x＋3，令t＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，由于t在(－∞，－2)上单调递增，在[－2，＋∞)上单调递减，而y＝t在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是[－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝h(x)．由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此必有解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.分层B级　创新能力提升1．(2022·惠州质检)设f(x)＝|3x－1|，c＜b＜a且f(c)＞f(a)＞f(b)，则下列关系式中一定成立的是(　　)．A．3c＞3bB．3b＞3aC．3c＋3a＞2D．3c＋3a＜2解析　作f(x)=|3x-1|的图象如图所示，由图可知，要使c＜b＜a且f(c)＞f(a)＞f(b)成立，则有c＜0且a＞0，∴3c＜1＜3a，∴f(c)＝1－3c，f(a)＝3a－1，又f(c)＞f(a)，∴1－3c＞3a－1，即3a＋3c＜2，故选D.答案　D2．设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则有(　　)．A．f＜f＜fB．f＜f＜fC．f＜f＜fD．f＜f＜f解析　由于y＝f(x)的图象关于x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)．∴f＝f＝f，f＝f＝f.又当x≥1时，f(x)＝3x－1是增函数．又1＜＜＜，∴f＜f＜f，即f＜f＜f.答案　B3．设函数f(x)＝a－|x|(a＞0且a≠1)，若f(2)＝4，则f(－2)与f(1)的大小关系是________．解析　由f(2)＝a－2＝4，解得a＝，∴f(x)＝2|x|，∴f(－2)＝4＞2＝f(1)．答案　f(－2)＞f(1)5\n4．(2022·杭州质检)已知f(x)＝x2，g(x)＝x－m，若对∀x1∈[－1,3]，∃x2∈[0,2]，f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________．解析　x1∈[－1,3]时，f(x1)∈[0,9]，x2∈[0,2]时，g(x2)∈，即g(x2)∈，要使∀x1∈[－1,3]，∃x2∈[0,2]，f(x1)≥g(x2)，只需f(x)min≥g(x)min，即0≥－m，故m≥.答案　5．已知函数f(x)＝2x－.(1)若f(x)＝2，求x的值；(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．解　(1)当x<0时，f(x)＝0；当x≥0时，f(x)＝2x－，由条件可知2x－＝2，即22x－2·2x－1＝0，解得2x＝1±.∵2x>0，∴x＝log2(1＋)．(2)当t∈[1,2]时，2t＋m≥0，即m(22t－1)≥－(24t－1)．∵22t－1>0，∴m≥－(22t＋1)．∵t∈[1,2]，∴－(1＋22t)∈[－17，－5]．故m的取值范围是[－5，＋∞)．6．(2022·佛山调研)已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．(1)求a，b的值；(2)证明：函数f(x)在R上是减函数；(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．(1)解　因为f(x)是R上的奇函数，故f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，从而有f(x)＝.又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.5\n∴f(x)＝.∴a＝2，b＝1.(2)证明　设x1<x2，f(x1)－f(x2)＝－＝＝.∵x1<x2，则2x2－2x1>0，∴f(x1)>f(x2)．故f(x)是R上的减函数．(3)解　由(2)知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.即对一切t∈R有3t2－2t－k>0恒成立，从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－.5