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【创新设计】(浙江专用)2022届高考数学总复习 第9篇 第8讲 曲线与方程限时训练 理
【创新设计】(浙江专用)2022届高考数学总复习 第9篇 第8讲 曲线与方程限时训练 理
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第8讲 曲线与方程分层A级 基础达标演练(时间:30分钟 满分:55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.动点P(x,y)满足5=|3x+4y-11|,则点P的轨迹是( ).A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.直线解析 设定点F(1,2),定直线l:3x+4y-11=0,则|PF|=,点P到直线l的距离d=.由已知得=1,但注意到点F(1,2)恰在直线l上,所以点P的轨迹是直线.选D.答案 D2.(2022·榆林模拟)若点P到直线x=-1的距离比它到点(2,0)的距离小1,则点P的轨迹为( ). A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析 依题意,点P到直线x=-2的距离等于它到点(2,0)的距离,故点P的轨迹是抛物线.答案 D3.(2022·临川模拟)设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C,A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M,则M的轨迹方程为( ).A.-=1B.+=1C.-=1D.+=1解析 M为AQ垂直平分线上一点,则|AM|=|MQ|,∴|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,故M的轨迹为椭圆,∴a=,c7\n=1,则b2=a2-c2=,∴椭圆的标准方程为+=1.答案 D4.(2022·烟台月考)已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则Q点的轨迹方程是( ).A.2x+y+1=0B.2x-y-5=0C.2x-y-1=0D.2x-y+5=0解析 由题意知,M为PQ中点,设Q(x,y),则P为(-2-x,4-y),代入2x-y+3=0,得2x-y+5=0.答案 D二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2022·泰州月考)在△ABC中,A为动点,B、C为定点,B,C(a>0),且满足条件sinC-sinB=sinA,则动点A的轨迹方程是________.解析 由正弦定理,得-=×,∴|AB|-|AC|=|BC|,且为双曲线右支.答案 -=1(x>0且y≠0)6.如图,点F(a,0)(a>0),点P在y轴上运动,M在x轴上运动,N为动点,且·=0,+=0,则点N的轨迹方程为________.解析 由题意,知PM⊥PF且P为线段MN的中点,连接FN,延长FP至点Q使P恰为QF之中点;连接QM,QN,则四边形FNQM为菱形,且点Q恒在直线l:x=-a上,故点N的轨迹是以点F为焦点,直线l为准线的抛物线,其方程为:y2=4ax.答案 y2=4ax三、解答题(共25分)7.(12分)已知长为1+的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动,P是AB上一点,且=,求点P的轨迹C的方程.7\n解 设A(x0,0),B(0,y0),P(x,y),=,又=(x-x0,y),=(-x,y0-y),所以x-x0=-x,y=(y0-y),得x0=x,y0=(1+)y.因为|AB|=1+,即x+y=(1+)2,所以2+[(1+)y]2=(1+)2,化简得+y2=1.∴点P的轨迹方程为+y2=1.8.(13分)设椭圆方程为x2+=1,过点M(0,1)的直线l交椭圆于A,B两点,O为坐标原点,点P满足=(+),点N的坐标为,当直线l绕点M旋转时,求:(1)动点P的轨迹方程;(2)||的最大值,最小值.解 (1)直线l过定点M(0,1),当其斜率存在时设为k,则l的方程为y=kx+1.设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知,A、B的坐标满足方程组消去y得(4+k2)x2+2kx-3=0.则Δ=4k2+12(4+k2)>0.∴x1+x2=-,x1x2=.P(x,y)是AB的中点,则由消去k得4x2+y2-y=0.当斜率k不存在时,AB的中点是坐标原点,也满足这个方程,故P点的轨迹方程为4x2+y2-y=0.(2)由(1)知4x2+2=,∴-≤x≤而|NP|2=2+2=2+7\n=-32+,∴当x=-时,||取得最大值,当x=时,||取得最小值.分层B级 创新能力提升1.△ABC的顶点A(-5,0)、B(5,0),△ABC的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C的轨迹方程是( ). A.-=1B.-=1C.-=1(x>3)D.-=1(x>4)解析 如图|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,所以|CA|-|CB|=8-2=6.根据双曲线定义,所求轨迹是以A、B为焦点,实轴长为6的双曲线的右支,方程为-=1(x>3).答案 C2.(2022·沈阳二模)在平行四边形ABCD中,∠BAD=60°,AD=2AB,若P是平面ABCD内一点,且满足:x+y+=0(x,y∈R).则当点P在以A为圆心,||为半径的圆上时,实数x,y应满足关系式为( ).A.4x2+y2+2xy=1B.4x2+y2-2xy=1C.x2+4y2-2xy=1D.x2+4y2+2xy=1解析 如图,以A为原点建立平面直角坐标系,设AD=2.据题意,得AB=1,∠ABD=90°,BD=.∴B、D的坐标分别为(1,0)、(1,),∴=(1,0),=(1,).设点P的坐标为(m,n),即=(m,n),则由x+y+=0,得:=x+y,∴据题意,m2+n2=1,∴x2+4y2+2xy=1.答案 D7\n3.如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,点M在AB上,且AM=AB,点P在平面ABCD上,且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点M的距离的平方差为1,在平面直角坐标系xAy中,动点P的轨迹方程是________.解析 过P作PQ⊥AD于Q,再过Q作QH⊥A1D1于H,连接PH、PM,可证PH⊥A1D1,设P(x,y),由|PH|2-|PM|2=1,得x2+1-=1,化简得y2=x-.答案 y2=x-4.(2022·南京模拟)P是椭圆+=1上的任意一点,F1、F2是它的两个焦点,O为坐标原点,=+,则动点Q的轨迹方程是________.解析 由=+,又+==2=-2,设Q(x,y),则=-=-(x,y)=-,-,即P点坐标为-,-.又P在椭圆上,则有+=1,即+=1.答案 +=15.(2022·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:+=1(a>0,b>0)经过点A,且点F(0,-1)为其一个焦点.(1)求椭圆E的方程;(2)设随圆E与y轴的两个交点为A1,A2,不在y轴上的动点P在直线y=b2上运动,直线PA1,PA2分别与椭圆E交于点M,N,证明:直线MN通过一个定点,且△FMN的周长为定值.解 (1)根据题意可得可解得∴椭圆E的方程为+=1.(2)由(1)知A1(0,2),A2(0,-2),P(x0,4)为直线y=4上一点(x0≠0),M(x1,y1),7\nN(x2,y2),直线PA1方程为y=x+2,直线PA2方程为y=x-2,点M(x1,y1),A1(0,2)的坐标满足方程组可得点N(x2,y2),A2(0,-2)的坐标满足方程组可得由于椭圆关于y轴对称,当动点P在直线y=4上运动时,直线MN通过的定点必在y轴上,当x0=1时,直线MN的方程为y+1=,令x=0,得y=1可猜测定点的坐标为(0,1),并记这个定点为B.则直线BM的斜率kBM===,直线BN的斜率kBN===,∴kBM=kBN,即M,B,N三点共线,故直线MN通过一个定点B(0,1),又∵F(0,-1),B(0,1)是椭圆E的焦点,∴△FMN周长为|FM|+|MB|+|BN|+|NF|=4b=8,为定值.6.(2022·榆林模拟)已知向量a=(x,y),b=(1,0),且(a+b)⊥(a-b).(1)求点Q(x,y)的轨迹C的方程;(2)设曲线C与直线y=kx+m相交于不同的两点M、N,又点A(0,-1),当|AM|=|AN|时,求实数m的取值范围.解 (1)由题意得a+b=(x+,y),a-b=(x-,y),∵(a+b)⊥(a-b),∴(a+b)·(a-b)=0,即(x+)(x-)+y·y=0.化简得+y2=1,∴Q点的轨迹C的方程为+y2=1.(2)由得(3k2+1)x2+6mkx+3(m2-1)=0,由于直线与椭圆有两个不同的交点,∴Δ>0,即m2<3k2+1.①(i)当k≠0时,设弦MN的中点为P(xP,yP),xM、xN分别为点M、N的横坐标,则xP==-,从而yP=kxP+m=,kAP==-,又|AM|=|AN|,∴AP⊥MN.7\n则-=-,即2m=3k2+1,②将②代入①得2m>m2,解得0<m<2,由②得k2=>0,解得m>,故所求的m的取值范围是.(ii)当k=0时,|AM|=|AN|,∴AP⊥MN,m2<3k2+1,解得-1<m<1.综上,当k≠0时,m的取值范围是,当k=0时,m的取值范围是(-1,1).7
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:32:19
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