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【创新设计】(浙江专用)2022届高考数学总复习 第9篇 第9讲 直线与圆锥曲线限时训练 理
【创新设计】(浙江专用)2022届高考数学总复习 第9篇 第9讲 直线与圆锥曲线限时训练 理
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第9讲 直线与圆锥曲线分层A级 基础达标演练(时间:30分钟 满分:55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2022·潍坊一模)直线4kx-4y-k=0与抛物线y2=x交于A,B两点,若|AB|=4,则弦AB的中点到直线x+=0的距离等于( ).A.B.2C.D.4解析 直线4kx-4y-k=0,即y=k,即直线4kx-4y-k=0过抛物线y2=x的焦点.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+=4,故x1+x2=,则弦AB的中点的横坐标是,弦AB的中点到直线x+=0的距离是+=.答案 C2.(2022·台州质检)设斜率为的直线l与椭圆+=1(a>b>0)交于不同的两点,且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为( ).A.B.C.D.解析 由于直线与椭圆的两交点A,B在x轴上的射影分别为左、右焦点F1,F2,故|AF1|=|BF2|=,设直线与x轴交于C点,又直线倾斜角θ的正切值为,结合图形易得tanθ===,故|CF1|+|CF2|==|F1F2|=2c,整理并化简得b2=(a2-c2)=ac,即(1-e2)=e,解得e=.答案 C3.(2022·临沂二模)抛物线y2=2px与直线2x+y+a=0交于A,B两点,其中点A的坐标为(1,2),设抛物线的焦点为F,则|FA|+|FB|的值等于( ).8\nA.7B.3C.6D.5解析 点A(1,2)在抛物线y2=2px和直线2x+y+a=0上,则p=2,a=-4,F(1,0),则B(4,-4),故|FA|+|FB|=7.答案 A4.(2022·宁波十校联考)设双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e,过F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点,若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形,则e2=( ).A.1+2B.4-2C.5-2D.3+2解析 如图,设|AF1|=m,则|BF1|=m,|AF2|=m-2a,|BF2|=m-2a,∴|AB|=|AF2|+|BF2|=m-2a+m-2a=m,得m=2a,又由|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,可得m2+(m-2a)2=4c2,即得(20-8)a2=4c2,∴e2==5-2,故应选C.答案 C二、填空题(每小题5分,共10分)5.椭圆+y2=1的弦被点平分,则这条弦所在的直线方程是________.解析 设弦的两个端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=1,y1+y2=1.∵A,B在椭圆上,∴+y=1,+y=1.两式相减得:+(y1+y2)(y1-y2)=0,即=-,∵x1+x2=1,y1+y2=1,∴=-,即直线AB的斜率为-.∴直线AB的方程为y-=-,即该弦所在直线的方程为2x+4y-3=0.8\n答案 2x+4y-3=06.(2022·东北三省联考)已知椭圆C:+=1(a>b>0),F(,0)为其右焦点,过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2,则椭圆C的方程为________.解析 由题意,得解得∴椭圆C的方程为+=1.答案 +=1三、解答题(共25分)7.(12分)如图,直线y=kx+b与椭圆+y2=1交于A,B两点,如果|AB|=2,△AOB的面积为S=1,求直线AB的方程.解 设A,B的横坐标分别为x1,x2,O到直线AB的距离为d,则d=.由|AB|=2,S=1可知,d=1,∴|b|=,即b2=1+k2.把y=kx+b代入x2+4y2=4并整理得:(1+4k2)x2+8kbx+4b2-4=0,则x1,x2是该方程的两根,∴|x1-x2|==,∴|AB|=|x1-x2|=·.∵|AB|=2,b2=1+k2,∴2=,整理得:4k4-4k2+1=0,∴k2=,∴k=±.8\n∴b2=1+k2=,∴b=±,∴直线AB的方程为y=x±或y=-x±.8.(13分)已知椭圆+=1(a>b>0),过点A(-a,0),B(0,b)的直线倾斜角为,原点到该直线的距离为.(1)求椭圆的方程;(2)斜率大于零的直线过D(-1,0)与椭圆交于E,F两点,若=2,求直线EF的方程;(3)是否存在实数k,直线y=kx+2交椭圆于P,Q两点,以PQ为直径的圆过点D(-1,0)?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.解 (1)由=,a·b=··,得a=,b=1,所以椭圆方程是+y2=1.(2)设EF:x=my-1(m>0),代入+y2=1,得(m2+3)y2-2my-2=0,设E(x1,y1),F(x2,y2),由=2,得y1=-2y2.由y1+y2=-y2=,y1y2=-2y=,得2=,∴m=1,m=-1(舍去).故直线EF的方程为x=y-1,即x-y+1=0.(3)将y=kx+2代入+y2=1,得(3k2+1)x2+12kx+9=0.(*)记P(x1,y1),Q(x2,y2),以PQ为直径的圆过D(-1,0),则PD⊥QD,即(x1+1,y1)·(x2+1,y2)=(x1+1)(x2+1)+y1y2=0,又y1=kx1+2,y2=kx2+2,8\n得(k2+1)x1x2+(2k+1)(x1+x2)+5==0.解得k=,此时(*)方程Δ>0,∴存在k=满足题设条件.分层B级 创新能力提升 1.(2022·皖南八校联考)已知直线l:y=k(x-2)(k>0)与抛物线C:y2=8x交于A,B两点,F为抛物线C的焦点,若|AF|=2|BF|,则k的值是( ).A.B.C.2D.解析 法一 据题意画图,作AA1⊥l′,BB1⊥l′,BD⊥AA1.设直线l的倾斜角为θ,|AF|=2|BF|=2r,则|AA1|=2|BB1|=2|AD|=2r,所以有|AB|=3r,|AD|=r,则|BD|=2r,k=tanθ=tan∠BAD==2.法二 直线y=k(x-2)恰好经过抛物线y2=8x的焦点F(2,0),由可得ky2-8y-16k=0,因为|FA|=2|FB|,所以yA=-2yB.则yA+yB=-2yB+yB=,所以yB=-,yA·yB=-16,所以-2y=-16,即yB=±2.又k>0,故k=2.答案 C2.(2022·沈阳二模)过双曲线-=1(a>0)的右焦点F作一条直线,当直线斜率为2时,直线与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为3时,直线与双曲线右支有两个不同交点,则双曲线离心率的取值范围是( ).A.(,5)B.(,)C.(1,)D.(5,5)8\n解析 令b=,c=,则双曲线的离心率为e=,双曲线的渐近线的斜率为±.据题意,2<<3,如图所示.∵=,∴2<<3,∴5<e2<10,∴<e<.答案 B3.(2022·揭阳模拟)过椭圆+=1(a>b>0)的左顶点A且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M,与y轴的交点为B,若|AM|=|MB|,则该椭圆的离心率为________.解析 由题意知A点的坐标为(-a,0),l的方程为y=x+a,∴B点的坐标为(0,a),故M点的坐标为,代入椭圆方程得a2=3b2,∴c2=2b2,∴e=.答案 4.已知曲线-=1(a·b≠0,且a≠b)与直线x+y-1=0相交于P,Q两点,且·=0(O为原点),则-的值为________.解析 将y=1-x代入-=1,得(b-a)x2+2ax-(a+ab)=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.·=x1x2+y1y2=x1x2+(1-x1)(1-x28\n)=2x1x2-(x1+x2)+1.所以-+1=0,即2a+2ab-2a+a-b=0,即b-a=2ab,所以-=2.答案 25.(2022·北京东城模拟)已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F1(-1,0),长轴长与短轴长的比是2∶.(1)求椭圆的方程;(2)过F1作两直线m,n交椭圆于A,B,C,D四点,若m⊥n,求证:+为定值.(1)解 由已知得解得a=2,b=.故所求椭圆方程为+=1.(2)证明 由已知F1(-1,0),当直线m不垂直于坐标轴时,可设直线m的方程为y=k(x+1)(k≠0).由得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0.由于Δ>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=-,x1x2=,|AB|===.同理|CD|=.所以+=+==.当直线m垂直于坐标轴时,此时|AB|=3,|CD|=4;或|AB|=4,|CD|=3,+=+=.8\n综上,+为定值.6.已知椭圆C:+=1(a>b>0)与直线x+y-1=0相交于A,B两点.(1)当椭圆的半焦距c=1,且a2,b2,c2成等差数列时,求椭圆的方程;(2)在(1)的条件下,求弦AB的长度;(3)当椭圆的离心率e满足≤e≤,且以AB为直径的圆经过坐标原点O,求椭圆长轴长的取值范围.解 (1)由已知,得2b2=a2+c2=b2+2c2,又因为c=1,所以b2=2,a2=3,∴椭圆的方程为+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由得5x2-6x-3=0,∴x1+x2=,x1·x2=-.∴|AB|=|x1-x2|=·=.(3)由得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0,由Δ=4a2b2(a2+b2-1)>0,得a2+b2>1.此时x1+x2=,x1·x2=,∵以AB为直径的圆经过坐标原点O,∴·=0,∴x1x2+y1y2=0,∴2x1x2-(x1+x2)+1=0,即a2+b2-2a2b2=0,故b2=,由e2==,得b2=a2-a2e2,∴2a2=1+.由≤e≤,得≤a2≤,≤2a≤.8
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:32:19
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