【创新设计】（浙江专用）2022届高考数学总复习 第2篇 第8讲 函数与方程限时训练 理

第8讲　函数与方程分层A级　基础达标演练(时间：30分钟　满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．二次函数f(x)＝2x2＋bx－3(b∈R)的零点个数是(　　)．A．0B．1C．2D．4解析　∵Δ＝b2－4×2×(－3)＝b2＋24>0，∴函数图象与x轴有两个不同的交点，从而函数有2个零点．答案　C2．下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是(　　)．解析　只有零点左、右两侧的函数值异号时，才能用二分法求零点．故选C.答案　C3．(2022·衡水模拟)设函数y＝x3与y＝x－2的图象交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是(　　)．A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)解析　设函数f(x)＝x3－x－2，f(1)·f(2)<0，且f(x)为R上的单调函数，故选B.答案　B4．已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则(　　)．A．a<b<cB．a<c<bC．b<a<cD．c<a<b解析　由于f(－1)＝－1＝－<0，f(0)＝1>0，且f(x)为R上单调递增函数，故f(x)＝2x＋x的零点a∈(－1,0)．∵g(2)＝0，故g(x)的零点b＝2.5\n由于h＝－1＋＝－<0，h(1)＝1>0，又h(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数，故h(x)的零点c∈，因此a<c<b.答案　B二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且a·c<0，则函数零点有________个．解析　∵Δ＝b2－4ac>0，∴f(x)与x轴有两个交点，∴函数必有两个零点．答案　26．(2022·辽宁卷改编)设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x3，又函数g(x)＝|xcos(πx)|，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在上的零点个数为________．解析　由题意，f(x)为偶函数且周期T=2.画出y=g(x)与y=f(x)的图象如图所示，由图可知它们共有6个交点，所以h(x)=g(x)-f(x)在上的零点个数为6.答案　6三、解答题(共25分)7．(12分)判断函数f(x)＝1＋4x＋x2－x3在区间[－1,1]上零点的个数，并说明理由．解　∵f(－1)＝1－4＋1＋＝－<0，f(1)＝1＋4＋1－＝>0，∴f(x)在区间[－1,1]上有零点．又f′(x)＝4＋2x－2x2＝－22，当－1≤x≤1时，0≤f′(x)≤，∴f(x)在[－1,1]上是单调递增函数，∴f(x)在[－1,1]上有且只有一个零点．8．(13分)是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴有且只有一个交点．若存在，求出a的范围，若不存在，说明理由．5\n解　∵Δ＝(3a－2)2－4(a－1)＝92＋＞0，∴若存在实数a满足条件，则只需f(－1)·f(3)≤0即可．f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0，所以a≤－或a≥1.检验：①当f(－1)＝0时，a＝1.所以f(x)＝x2＋x.令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠1.②当f(3)＝0时，a＝－，此时f(x)＝x2－x－.令f(x)＝0，即x2－x－＝0，解之得x＝－或x＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠－.故a的取值范围是∪(1，＋∞)．分层B级　创新能力提升1．(2022·长春调研)若a>2，则函数f(x)＝x3－ax2＋1在(0,2)内零点的个数为(　　)．A．3B．2C．1D．0解析　依题意得f′(x)＝x2－2ax，由a>2可知，f′(x)在x∈(0,2)时恒为负，即f(x)在(0,2)内单调递减，又f(0)＝1>0，f(2)＝－4a＋1<0，因此f(x)在(0,2)内只有一个零点，故选C.答案　C2．(2022·安阳模拟)设函数f(x)＝4sin(2x＋1)－x，则在下列区间中，函数f(x)不存在零点的是(　　)．A．[－4，－2]B．[－2,0]C．[0,2]D．[2,4]解析　f(0)＝4sin1＞0，f(2)＝4sin5－2，由于π＜5＜2π，所以sin5＜0，故f(2)＜0，故函数f(x)在[0,2]上存在零点；由于f(－1)＝4sin(－1)＋1＜0，故函数f(x5\n)在[－1,0]上存在零点，也在[－2,0]上存在零点；令x＝∈(2,4)，则f＝4sin－＞0，而f(2)＜0，所以函数在[2,4]上存在零点，故函数在[－4，－2]上不存在零点．答案　A3．对于定义在R上的函数f(x)，若实数x0满足f(x0)＝x0，则称x0是函数f(x)的一个不动点．若二次函数f(x)＝x2＋2ax＋a2没有不动点，则实数a的取值范围是________．解析　若使函数f(x)＝x2＋2ax＋a2无不动点，则方程x2＋2ax＋a2＝x无实数根，即方程x2＋(2a－1)x＋a2＝0无实数根，所以Δ＝(2a－1)2－4a2<0，解得a>.答案　4．(2022·潍坊模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)＋1，且x∈[0,1]时，f(x)＝4x，x∈(1,2)时，f(x)＝，则函数f(x)的零点个数为________．解析　由题意可以画出函数在[0,2)上的图象，又因为f(x＋2)＝f(x)＋1，即当自变量每增加2，其函数值增加1，由此规律可以把函数在[－8,0)内的图象画出来，进行观察，可知零点有5个．答案　55．设函数f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c(a>0，a，c∈R)．(1)设a>c>0.若f(x)>c2－2c＋a对x∈[1，＋∞)恒成立，求c的取值范围；(2)函数f(x)在区间(0,1)内是否有零点，有几个零点？为什么？解　(1)因为二次函数f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c的图象的对称轴为x＝，由条件a>c>0，得2a>a＋c，故<＝<1，即二次函数f(x)的对称轴在区间[1，＋∞)的左边，且抛物线开口向上，故f(x)在[1，＋∞)内是增函数．若f(x)>c2－2c＋a对x∈[1，＋∞)恒成立，则f(x)min＝f(1)>c2－2c＋a，即a－c>c2－2c＋a，得c2－c<0，所以0<c<1.(2)①若f(0)·f(1)＝c·(a－c)<0，5\n则c<0，或a<c，二次函数f(x)在(0,1)内只有一个零点．②若f(0)＝c>0，f(1)＝a－c>0，则a>c>0.因为二次函数f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c的图象的对称轴是x＝.而f＝<0，所以函数f(x)在区间和内各有一个零点，故函数f(x)在区间(0,1)内有两个零点．6．(2022·深圳调研)已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝－4lnx的零点个数．解　(1)∵f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，∴f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0.∴f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1.故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.(2)∵g(x)＝－4lnx＝x－－4lnx－2(x>0)，∴g′(x)＝1＋－＝.x，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下：x(0,1)1(1,3)3(3，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)极大值极小值当0<x≤3时，g(x)≤g(1)＝－4<0.又因为f(x)在(3，＋∞)单调递增，因而f(x)在(3，＋∞)上只有1个零点.5