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【创新设计】(浙江专用)2022届高考数学总复习 第3篇 第1讲 导数及导数的计算限时训练 理

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导数及其应用第1讲 导数及导数的计算分层A级 基础达标演练(时间:30分钟 满分:55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.曲线y=ex在点A(0,1)处的切线斜率为(  ).A.1B.2C.eD.解析 由题意知y′=ex,故所求切线斜率k=ex|x=0=1.答案 A2.(2022·合肥模拟)函数y=x2cosx在x=1处的导数是(  ).A.0B.2cos1-sin1C.cos1-sin1D.1解析 y′=2xcosx-x2sinx,当x=1时,y′=2cos1-sin1.答案 B3.(2022·青岛一模)设曲线y=在点处的切线与直线x-ay+1=0平行,则实数a等于(  ).A.-1B.C.-2D.2解析 ∵y′==,∴y′|x==-1,由条件知=-1,∴a=-1,故选A.答案 A4.(2022·广州模拟)已知曲线C:f(x)=x3-ax+a,若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线,它们的倾斜角互补,则a的值为(  ).A.B.-2C.2D.-解析 设切点坐标为(t,t3-at+a).由题意知,f′(x)=3x2-a,5\n切线的斜率为k=y′|x=t=3t2-a,①所以切线方程为y-(t3-at+a)=(3t2-a)(x-t).②将点(1,0)代入②式得-(t3-at+a)=(3t2-a)(1-t),解之得:t=0或t=.分别将t=0和t=代入①式,得k=-a和k=-a,由题意得它们互为相反数得a=.答案 A二、填空题(每小题5分,共10分)5.设直线y=x+b是曲线y=lnx(x>0)的一条切线,则实数b的值为________.解析 由已知条件可得直线的斜率k=,y′=(lnx)′==,得切点的横坐标为x=2,切点坐标为(2,ln2).由点(2,ln2)在切线y=x+b上可得b=ln2-×2=ln2-1.答案 ln2-16.(2022·金华十校联考)在平面直角坐标系xOy中,点P在曲线C:y=x3-10x+3上,且在第二象限内.已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为________.解析 由y=x3-10x+3,得y′=3x2-10.曲线C在点P处的切线的斜率为2,令y′=3x2-10=2,得x2=4,因为点P在第二象限,∴x=-2,又点P在曲线C上,∴y=-8+20+3=15,则点P的坐标为(-2,15).答案 (-2,15)三、解答题(共25分)7.(12分)如图所示,已知A(-1,2)为抛物线C:y=2x2上的点,直线l1过点A,且与抛物线C相切,直线l2:x=a(a<-1)交抛物线C于点B,交直线l1于点D.(1)求直线l1的方程;(2)求△ABD的面积S.解 (1)由条件知点A(-1,2)为直线l1与抛物线C的切点,∵y′=4x,∴直线l1的斜率k=-4,所以直线l1的方程为y-2=-4(x+1),即4x+y+2=0.5\n(2)点A的坐标为(-1,2),由条件可求得点B的坐标为(a,2a2),点D的坐标为(a,-4a-2),∴△ABD的面积为S=×|2a2-(-4a-2)|×|-1-a|=|(a+1)3|=-(a+1)3.8.(13分)已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程;(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;(3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.解 (1)可判定点(2,-6)在曲线y=f(x)上.∵f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1.∴f′(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f′(2)=13.∴切线的方程为y-(-6)=13(x-2),即13x-y-32=0.(2)设切点为(x0,y0),则直线l的斜率为f′(x0)=3x+1,∴直线l的方程为y=(3x+1)(x-x0)+x+x0-16.又∵直线l过点(0,0),∴0=(3x+1)(-x0)+x+x0-16,整理得x=-8,∴x0=-2,∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26,k=3×(-2)2+1=13.∴直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).(3)∵切线与直线y=-+3垂直,∴切线的斜率k=4.设切点的坐标为(x0,y0),则f′(x0)=3x+1=4,∴x0=±1,∴或所以切线方程为y-(-14)=4(x-1)或y-(-18)=4(x+1).即4x-y-18=0或4x-y-14=0.分层B级 创新能力提升1.设f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn(x)=f′n-1(x),n∈N*,则f2013(x)等于(  ).A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx解析 f1(x)=f0′(x)=cosx,f2(x)=f1′(x)=-sinx,f3(x)=f2′(x)=-cosx,f4(x)=f3′(x)=sinx,…,由规律知,这一系列函数式值的周期为4,故f2013(x)=cosx.5\n答案 C2.(2022·豫东、豫北十所名校测试)在函数y=x3-9x的图象上,满足在该点处的切线的倾斜角小于,且横、纵坐标都为整数的点的个数是(  ).A.0B.1C.2D.3解析 依题意得,y′=3x2-9,令0≤y′<1,得3≤x2<,显然满足该不等式的整数x不存在,因此在函数y=x3-9x的图象上,满足在该点处的切线的倾斜角小于,且横、纵坐标都为整数的点的个数是0,选A.答案 A3.设函数f(x)=x3+x2+tanθ,其中θ∈,则导数f′(1)的取值范围是________.解析 ∵f′(x)=sinθ·x2+cosθ·x,∴f′(1)=sinθ+cosθ=2sin,∵θ∈,∴θ+∈,∴sin∈,∴f′(1)∈[,2].答案 [,2]4.(2022·湖南十二校联考)设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,则x1·x2·x3·…·x2013的值为________.解析 ∵y′=(n+1)xn,∴曲线在点(1,1)处的切线斜率k=n+1,切线方程为y-1=(n+1)(x-1),即y=(n+1)x-n,令y=0,得xn=,∴x1·x2·x3·…·x2013=×××…×=.答案 5.(2022·佛山调研)已知函数f(x)=x3-ax2+10.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)在区间[1,2]内至少存在一个实数x,使得f(x)<0成立,求实数a的取值范围.解 (1)当a=1时,f′(x)=3x2-2x,f(2)=14,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率k=f′(2)=8,5\n∴曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-14=8(x-2),即8x-y-2=0.(2)由已知得a>=x+,设g(x)=x+(1≤x≤2),g′(x)=1-,∵1≤x≤2,∴g′(x)<0,∴g(x)在[1,2]上是减函数.g(x)min=g(2)=,∴a>,即实数a的取值范围是.6.设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值.(1)解 方程7x-4y-12=0可化为y=x-3,当x=2时,y=.又f′(x)=a+,于是解得故f(x)=x-.(2)证明 设P(x0,y0)为曲线上任一点,由f′(x)=1+知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x-x0),即y-(x0-)=(x-x0).令x=0,得y=-,从而得切线与直线x=0交点坐标为.令y=x,得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为|2x0|=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,此定值为6.5

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发布时间:2022-08-26 00:32:34 页数:5
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文章作者:U-336598

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