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【创新设计】(浙江专用)2022届高考数学总复习 第14篇 第1讲 坐标系限时训练 理

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系列4选讲第1讲 坐标系分层+A级 基础达标演练(时间:40分钟 满分:80分)1.(2022·广州测试)在极坐标系中,若过点(1,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ=4cosθ于A、B两点,求|AB|的长.解 注意到在极坐标系中,过点(1,0)且与极轴垂直的直线的直角坐标方程是x=1,曲线ρ=4cosθ的直角坐标方程是x2+y2=4x,即(x-2)2+y2=4,圆心(2,0)到直线x=1的距离等于1,因此|AB|=2=2.2.(2022·安徽)在极坐标系中,求点到圆ρ=2cosθ的圆心的距离.解 点点(1,),ρ=2cosθx2+y2-2x=0,圆x2+y2-2x=0的圆心坐标为(1,0),由两点间的距离公式得,所求两点距离为=.3.在极坐标系中,求过圆ρ=6cosθ-2sinθ的圆心且与极轴垂直的直线的极坐标方程.解 由ρ=6cosθ-2sinθ⇒ρ2=6ρcosθ-2ρsinθ,所以圆的直角坐标方程为x2+y2-6x+2y=0,将其化为标准形式为(x-3)2+(y+)2=11,故圆心的坐标为(3,-),所以过圆心且与x轴垂直的直线的方程为x=3,将其化为极坐标方程为ρcosθ=3.4.(2022·广州广雅中学模拟)在极坐标系中,求圆ρ=4上的点到直线ρ(cosθ+sinθ)=8的距离的最大值.解 把ρ=4化为直角坐标方程为x2+y2=16,把ρ(cosθ+sinθ)=8化为直角坐标方程为x+y-8=0,∴圆心(0,0)到直线的距离为d==4.∴直线和圆相切,∴圆上的点到直线的最大距离是8.5.(2022·江西九校联考)在极坐标系中,曲线C1:ρ=2cosθ,曲线C2:θ=,若曲线C1与C2交于A、B两点,求线段AB的长.解 曲线C1与C2均经过极点,因此极点是它们的一个公共点.由得即曲线C1与C2的另一个交点与极点的距离为,因此AB=.5\n6.(2022·深圳调研)在极坐标系中,P,Q是曲线C:ρ=4sinθ上任意两点,求线段PQ长度的最大值.解 由曲线C:ρ=4sinθ,得ρ2=4ρsinθ,x2+y2-4y=0,x2+(y-2)2=4,即曲线C:ρ=4sinθ在直角坐标系下表示的是以点(0,2)为圆心、以2为半径的圆,易知该圆上的任意两点间的距离的最大值即是圆的直径长,因此线段PQ长度的最大值是4.7.如图,在圆心的极坐标为A(4,0),半径为4的圆中,求过极点O的弦的中点的轨迹.解 设M(ρ,θ)是所求轨迹上任意一点.连接OM并延长交圆A于点P(ρ0,θ0),则有θ0=θ,ρ0=2ρ.由圆心为(4,0),半径为4的圆的极坐标方程为ρ=8cosθ,得ρ0=8cosθ0.所以2ρ=8cosθ,即ρ=4cosθ.故所求轨迹方程是ρ=4cosθ.它表示以(2,0)为圆心,2为半径的圆.8.(2022·江西八校联考)若直线3x+4y+m=0与曲线ρ2-2ρcosθ+4ρsinθ+4=0没有公共点,求实数m的取值范围.解 注意到曲线ρ2-2ρcosθ+4ρsinθ+4=0的直角坐标方程是x2+y2-2x+4y+4=0,即(x-1)2+(y+2)2=1.要使直线3x+4y+m=0与该曲线没有公共点,只要圆心(1,-2)到直线3x+4y+m=0的距离大于圆的半径即可,即>1,|m-5|>5,解得,m<0,或m>10.分层B级 创新能力提升1.设过原点O的直线与圆(x-1)2+y2=1的一个交点为P,点M为线段OP的中点,当点P在圆上移动一周时,求点M轨迹的极坐标方程,并说明它是什么曲线.解 圆(x-1)2+y2=1的极坐标方程为ρ=2cosθ,设点P的极坐标为(ρ1,θ1),点M的极坐标为(ρ,θ),∵点M为线段OP的中点,∴ρ1=2ρ,θ1=θ,将ρ1=2ρ,θ1=θ代入圆的极坐标方程,得ρ=cosθ.∴点M轨迹的极坐标方程为ρ=cosθ,它表示圆心在点,半径为的圆.2.(2022·福建)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为ρ=2sinθ.(1)求圆C的直角坐标方程;(2)求圆C与直线l交于点A,B.若点P的坐标为(3,),求|PA|+|PB|.解 法一 (1)由ρ=2sinθ,得x2+y2-2y=0,即x2+(y-)2=5.5\n(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得2+2=5,即t2-3t+4=0.由于Δ=(3)2-4×4=2>0,故可设t1,t2是上述方程的两实根,所以又直线l过点P(3,),故由上式及t的几何意义得,|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3.法二 (1)同法一.(2)因为圆C的圆心为(0,),半径r=,直线l的普通方程为:y=-x+3+.由得x2-3x+2=0.解得:或不妨设A(1,2+),B(2,1+),又点P的坐标为(3,),故|PA|+|PB|=+=3.3.(2022·山西六校模考)以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,已知点P的直角坐标为(1,-5),点M的极坐标为,若直线l过点P,且倾斜角为,圆C以M为圆心、4为半径.(1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程;(2)试判定直线l和圆C的位置关系.解 (1)由题意,直线l的普通方程是y+5=(x-1)tan,此方程可化为=,令==a(a为参数),得直线l的参数方程为(a为参数).如图,设圆上任意一点为P(ρ,θ),则在△POM中,由余弦定理,得PM2=PO2+OM2-2·PO·OMcos∠POM,∴42=ρ2+42-2×4ρcos.化简得ρ=8sinθ,即为圆C的极坐标方程.(2)由(1)可进一步得出圆心M的直角坐标是(0,4),直线l的普通方程是x-y-5-=0,5\n圆心M到直线l的距离d==>4,所以直线l和圆C相离.4.(2022·浙江自选IB)如图,在极坐标系Ox中,已知曲线C1:ρ=4sinθ,C2:ρ=4cosθ,C3:ρ=4.(1)求由曲线C1,C2,C3围成的区域的面积;(2)若M,N(2,0),射线θ=α与曲线C1,C2分别交于A,B(不同于极点O)两点.若线段AB的中点恰好落在直线MN上,求tanα的值.解 (1)由已知,如图弓形OSP的面积=×π×22-×22=π-2,从而,如图阴影部分的面积=×π×22-2(π-2)=4,故所求面积=π×42+×π×22-4=6π-4.(2)设AB的中点为G(ρ,α),∠ONG=φ,5\n由题意,得ρ==2sinα+2cosα,sinφ=,cosφ=.在△OGN中,=,即=.所以sinα+cosα==.化简得sin2α-3sinαcosα=0,又因为sinα≠0,所以tanα=3.5

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发布时间:2022-08-26 00:32:39 页数:5
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文章作者:U-336598

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