【创新设计】（浙江专用）2022届高考数学总复习 第5篇 第1讲 平面向量的概念及其线性运算限时训练 理

第1讲　平面向量的概念及其线性运算分层A级　基础达标演练(时间：30分钟　满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2＋＋＝0，那么(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.＝B.＝2C.＝3D．2＝解析　由2＋＋＝0可知，O是底边BC上的中线AD的中点，故＝.答案　A2．(2022·北京海淀一模)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么＝(　　)．A.＋B．－－C．－＋D.－解析　在△CEF中，有＝＋，因为E为DC的中点，所以＝.因为点F为BC的中点，所以＝.所以＝＋＝＋＝＋＝－.答案　D3．(2022·宁波四所重点中学联考)已知＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则(　　)．A．a－b＋c－d＝0B．a－b－c＋d＝0C．a＋b－c－d＝0D．a＋b＋c＋d＝06\n解析　依题意，得＝，故＋＝0，即－＋－＝0，即有－＋－＝0，则a－b＋c－d＝0.选A.答案　A4．(2022·杭州高三质量检测)已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若＋2＝3，则的值为(　　)．A.B.C.D.解析　由＋2＝3，得－O＝2－2，即B＝2，所以＝.故选A.答案　A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2022·温州模拟)设a，b是两个不共线向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为________．解析　∵＝＋＝2a－b，又A，B，D三点共线，∴存在实数λ，使＝λB.即∴p＝－1.答案　－16.如图，在矩形ABCD中，||＝1，||＝2，设＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|＝________.解析　根据向量的三角形法则有|a＋b＋c|＝|＋＋|＝|＋＋|＝|＋|＝2||＝4.答案　4三、解答题(共25分)7．(12分)如图，在平行四边形OADB中，设＝a，＝b，＝，＝.试用a，b表示，及.6\n解　由题意知，在平行四边形OADB中，＝＝＝(－)＝(a－b)＝a－b，则＝＋＝b＋a－b＝a＋b.＝＝(＋)＝(a＋b)＝a＋b，＝－＝(a＋b)－a－b＝a－b.8．(13分)(1)设两个非零向量e1，e2不共线，如果＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，求证：A，B，D三点共线．(2)设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，求k的值．(1)证明　因为＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，所以＝＋＝10e1＋15e2.又因为＝2e1＋3e2，得＝5，即∥，又因为，有公共点B，所以A，B，D三点共线．(2)解　＝－＝e1＋3e2－2e1＋e2＝4e2－e1，＝2e1＋ke2，若A，B，D共线，则∥，设＝λA，所以⇒k＝－8.分层B级　创新能力提升1．在△ABC中，已知点D为BC边上的中点，点P满足＋＋＝0.＝λ，则实数λ的值为(　　)．A．－1B．－2C．－3D．－解析　如图所示，由＝λ，且＋＋＝0，则P为以AB、AC为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此＝－2，则λ＝－2.答案　B2．在▱ABCD中，点E、F分别是CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则6\nλ＋μ＝(　　)．A．3B.C.D.解析　如图，设＝a，＝b，则＝＋＝a＋b，＝＋＝a＋b，＝＋＝a＋b，所以＋＝(a＋b)＝，即＝＋.所以λ＝μ＝，λ＋μ＝.答案　C3．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为________．解析　＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－，∴|＋|＝|－|.故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．答案　直角三角形4.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．解析　∵O是BC的中点，∴＝(＋)．又∵＝m，＝nA，∴A＝A＋A.∵M，O，N三点共线，∴＋＝1，则m＋n＝2.答案　26\n5.如图所示，在△ABC中，在AC上取一点N，使得AN＝AC，在AB上取一点M，使得AM＝AB，在BN的延长线上取点P，使得NP＝BN，在CM的延长线上取点Q，使得＝λC时，＝，试确定λ的值．解　∵＝－＝(－)＝(＋)＝，＝－＝＋λ，又∵＝，∴＋λM＝，即λM＝M，∴λ＝.6．已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．(1)求＋＋；(2)若PQ过△ABO的重心G，且＝a，＝b，＝ma，＝nb，求证：＋＝3.(1)解　∵＋＝2，又2G＝－，∴＋＋＝－＋＝0.(2)证明　显然＝(a＋b)．因为G是△ABO的重心，所以＝＝(a＋b)．由P，G，Q三点共线，得∥，所以，有且只有一个实数λ，使＝λ.而＝－＝(a＋b)－ma＝a＋b，＝－＝nb－(a＋b)＝－a＋b，所以a＋b＝λ.又因为a，b不共线，所以6\n消去λ，整理得3mn＝m＋n，故＋＝3.6