【创新设计】（浙江专用）2022届高考数学总复习 第8篇 第5讲 直线、平面垂直的判定及其性质限时训练 理

第5讲　直线、平面垂直的判定及其性质分层A级　基础达标演练(时间：30分钟　满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则(　　)．A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直解析　如图，在平面β内的直线若与α，β的交线a平行，则有m与之垂直．但却不一定在β内有与m平行的直线，只有当α⊥β时才存在．答案　C2．已知直线l垂直于直线AB和AC，直线m垂直于直线BC和AC，则直线l，m的位置关系是(　　)．A．平行B．异面C．相交D．垂直解析　因为直线l垂直于直线AB和AC，所以l垂直于平面ABC，同理，直线m垂直于平面ABC，根据线面垂直的性质定理得l∥m.答案　A3．已知P为△ABC所在平面外的一点，则点P在此三角形所在平面上的射影是△ABC垂心的充分必要条件是(　　)．A．PA＝PB＝PCB．PA⊥BC，PB⊥ACC．点P到△ABC三边所在直线的距离相等D．平面PAB、平面PBC、平面PAC与△ABC所在的平面所成的角相等解析　条件A为外心的充分必要条件，条件C、D为内心的必要条件，故选B.答案　B4．设x、y、z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③z是直线，x、y是平面；④x、y、z均为平面．其中使“x⊥z且y⊥z⇒x∥y”为真命题的是(　　)．8\nA．③④B．①③C．②③D．①②解析　由正方体模型可知①④为假命题；由线面垂直的性质定理可知②③为真命题．答案　C二、填空题(每小题5分，共10分)5.如图，拿一张矩形的纸对折后略微展开，竖立在桌面上，折痕与桌面的位置关系是________．解析　折痕与矩形在桌面内的两条相交直线垂直，因此折痕与桌面垂直．答案　垂直6．(2022·石家庄一模)已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β.给出下列命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中正确命题的序号是________．解析　由面面平行的性质和线面垂直的定义可知①正确；因为l⊥α，α⊥β⇒l∥β或l⊂β，所以l，m平行、相交、异面都有可能，故②错误；由线面垂直的定义和面面垂直的判定定理可知③正确；因为l⊥α，l⊥m⇒m⊂α或m∥α，又m⊂β，所以α，β可能平行或相交，故④错误．答案　①③三、解答题(共25分)7．(12分)如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.证明　(1)如图，连接AC，AN，BN，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，在Rt△PAC中，N为PC中点，∴AN＝PC.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB＝A，8\n∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线，∴BN＝PC.∴AN＝BN，∴△ABN为等腰三角形，又M为底边的中点，∴MN⊥AB，又∵AB∥CD，∴MN⊥CD.(2)连接PM、MC，∵∠PDA＝45°，PA⊥AD，∴AP＝AD.∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，∴PA＝BC.又∵M为AB的中点，∴AM＝BM.而∠PAM＝∠CBM＝90°，∴PM＝CM.又N为PC的中点，∴MN⊥PC.由(1)知，MN⊥CD，PC∩CD＝C，∴MN⊥平面PCD.8．(13分)(2022·山东)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB＝90°，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF.(1)若M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE；(2)若AC＝BC＝2AE，求二面角ABFC的大小．解　(1)法一　因为EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，∠ACB＝90°，所以∠EGF＝90°，△ABC∽△EFG.由于AB＝2EF，因此BC＝2FG.连接AF，由于FG∥BC，FG＝BC，在▱ABCD中，M是线段AD的中点，则AM∥BC，且AM＝BC，因此FG∥AM且FG＝AM，8\n所以四边形AFGM为平行四边形，因此GM∥FA.又FA⊂平面ABFE，GM⊄平面ABFE，所以GM∥平面ABFE.法二　因为EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，∠ACB＝90°，所以∠EGF＝90°，△ABC∽△EFG，由于AB＝2EF，所以BC＝2FG.取BC的中点N，连接GN，因此四边形BNGF为平行四边形，所以GN∥FB.在▱ABCD中，M是线段AD的中点，连接MN，则MN∥AB.因为MN∩GN＝N，AB∩FB＝B，所以平面GMN∥平面ABFE.又GM⊂平面GMN，所以GM∥平面ABFE.(2)由题意知，平面ABFE⊥平面ABCD，取AB的中点H，连接CH，因为AC＝BC，所以CH⊥AB，则CH⊥平面ABFE.过H向BF引垂线交BF于R，连接CR，则CR⊥BF，所以∠HRC为二面角ABFC的平面角．由题意，不妨设AC＝BC＝2AE＝2.在直角梯形ABFE中，连接FH，则FH⊥AB，又AB＝2，所以HF＝AE＝1，BH＝，因此在Rt△BHF中，HR＝.由于CH＝AB＝，所以在Rt△CHR中，tan∠HRC＝＝，因此二面角ABFC的大小为60°.分层B级　创新能力提升1．如图(a)，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为8\nH，如图(b)所示，那么，在四面体AEFH中必有(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．AH⊥△EFH所在平面B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．HG⊥△AEF所在平面解析　折成的四面体有AH⊥EH，AH⊥FH，∴AH⊥面HEF.答案　A2.如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在(　　)．A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析　由BC1⊥AC，又BA⊥AC，则AC⊥平面ABC1，因此平面ABC⊥平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上．答案　A3．如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足____________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)解析　∵PC在底面ABCD上的射影为AC，且AC⊥BD，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC8\n)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案　DM⊥PC(或BM⊥PC)4.如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．解析　由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.∴PB⊥EF.故①②③正确．答案　①②③5．(2022·汕头模拟)如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．(1)若N是BC的中点，证明：AN∥平面CME；(2)证明：平面BDE⊥平面BCD.(3)求三棱锥DBCE的体积．(1)证明　连接MN，则MN∥CD，AE∥CD，又MN＝AE＝CD，∴四边形ANME为平行四边形，8\n∴AN∥EM.∵AN⊄平面CME，EM⊂平面CME，∴AN∥平面CME.(2)证明　∵AC＝AB，N是BC的中点，AN⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，∴AN⊥平面BCD.由(1)，知AN∥EM，∴EM⊥平面BCD.又EM⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCD.(3)解　VDBCE＝VEBCD＝S△BCD·|EM|＝××＝.6．(2022·合肥模拟)如图，在多面体ABCA1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1綉BB1，AB＝AC＝AA1＝BC，B1C1綉BC.(1)求证：A1B1⊥平面AA1C；(2)若D是BC的中点，求证：B1D∥平面A1C1C.(3)若BC＝2，求几何体ABCA1B1C1的体积．(1)证明　∵AB＝AC＝BC，AB2＋AC2＝BC2，∴AB⊥AC，又AA1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AA1⊥AB，AA1∩AC＝A，∴AB⊥平面AA1C，又∵AA1綉BB1，∴四边形ABB1A1为平行四边形．∴A1B1∥AB，∴A1B1⊥平面AA1C.(2)证明　∵B1C1綉BC，且D是BC的中点，∴CD綉C1B1，∴四边形C1CDB1为平行四边形，∴B1D∥C1C，B1D⊄平面A1C1C且C1C⊂平面A1C1C，∴B1D∥平面A1C1C.(3)解　连接AD，DC1，8\nV＝V三棱柱A1B1C1ABD＋V四棱锥CAA1C1D＝×1×1×＋×(×1)×1＝.8