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【创新设计】(浙江专用)2022届高考数学总复习 第8篇 第5讲 直线、平面垂直的判定及其性质限时训练 理
【创新设计】(浙江专用)2022届高考数学总复习 第8篇 第5讲 直线、平面垂直的判定及其性质限时训练 理
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第5讲 直线、平面垂直的判定及其性质分层A级 基础达标演练(时间:30分钟 满分:55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知平面α与平面β相交,直线m⊥α,则( ).A.β内必存在直线与m平行,且存在直线与m垂直B.β内不一定存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直C.β内不一定存在直线与m平行,但必存在直线与m垂直D.β内必存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直解析 如图,在平面β内的直线若与α,β的交线a平行,则有m与之垂直.但却不一定在β内有与m平行的直线,只有当α⊥β时才存在.答案 C2.已知直线l垂直于直线AB和AC,直线m垂直于直线BC和AC,则直线l,m的位置关系是( ).A.平行B.异面C.相交D.垂直解析 因为直线l垂直于直线AB和AC,所以l垂直于平面ABC,同理,直线m垂直于平面ABC,根据线面垂直的性质定理得l∥m.答案 A3.已知P为△ABC所在平面外的一点,则点P在此三角形所在平面上的射影是△ABC垂心的充分必要条件是( ).A.PA=PB=PCB.PA⊥BC,PB⊥ACC.点P到△ABC三边所在直线的距离相等D.平面PAB、平面PBC、平面PAC与△ABC所在的平面所成的角相等解析 条件A为外心的充分必要条件,条件C、D为内心的必要条件,故选B.答案 B4.设x、y、z是空间不同的直线或平面,对下列四种情形:①x、y、z均为直线;②x、y是直线,z是平面;③z是直线,x、y是平面;④x、y、z均为平面.其中使“x⊥z且y⊥z⇒x∥y”为真命题的是( ).8\nA.③④B.①③C.②③D.①②解析 由正方体模型可知①④为假命题;由线面垂直的性质定理可知②③为真命题.答案 C二、填空题(每小题5分,共10分)5.如图,拿一张矩形的纸对折后略微展开,竖立在桌面上,折痕与桌面的位置关系是________.解析 折痕与矩形在桌面内的两条相交直线垂直,因此折痕与桌面垂直.答案 垂直6.(2022·石家庄一模)已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β.给出下列命题:①α∥β⇒l⊥m;②α⊥β⇒l∥m;③l∥m⇒α⊥β;④l⊥m⇒α∥β.其中正确命题的序号是________.解析 由面面平行的性质和线面垂直的定义可知①正确;因为l⊥α,α⊥β⇒l∥β或l⊂β,所以l,m平行、相交、异面都有可能,故②错误;由线面垂直的定义和面面垂直的判定定理可知③正确;因为l⊥α,l⊥m⇒m⊂α或m∥α,又m⊂β,所以α,β可能平行或相交,故④错误.答案 ①③三、解答题(共25分)7.(12分)如图,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M,N分别是AB,PC的中点.(1)求证:MN⊥CD;(2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD.证明 (1)如图,连接AC,AN,BN,∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AC,在Rt△PAC中,N为PC中点,∴AN=PC.∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC,又BC⊥AB,PA∩AB=A,8\n∴BC⊥平面PAB,∴BC⊥PB,从而在Rt△PBC中,BN为斜边PC上的中线,∴BN=PC.∴AN=BN,∴△ABN为等腰三角形,又M为底边的中点,∴MN⊥AB,又∵AB∥CD,∴MN⊥CD.(2)连接PM、MC,∵∠PDA=45°,PA⊥AD,∴AP=AD.∵四边形ABCD为矩形,∴AD=BC,∴PA=BC.又∵M为AB的中点,∴AM=BM.而∠PAM=∠CBM=90°,∴PM=CM.又N为PC的中点,∴MN⊥PC.由(1)知,MN⊥CD,PC∩CD=C,∴MN⊥平面PCD.8.(13分)(2022·山东)在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,∠ACB=90°,EA⊥平面ABCD,EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,AB=2EF.(1)若M是线段AD的中点,求证:GM∥平面ABFE;(2)若AC=BC=2AE,求二面角ABFC的大小.解 (1)法一 因为EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,∠ACB=90°,所以∠EGF=90°,△ABC∽△EFG.由于AB=2EF,因此BC=2FG.连接AF,由于FG∥BC,FG=BC,在▱ABCD中,M是线段AD的中点,则AM∥BC,且AM=BC,因此FG∥AM且FG=AM,8\n所以四边形AFGM为平行四边形,因此GM∥FA.又FA⊂平面ABFE,GM⊄平面ABFE,所以GM∥平面ABFE.法二 因为EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,∠ACB=90°,所以∠EGF=90°,△ABC∽△EFG,由于AB=2EF,所以BC=2FG.取BC的中点N,连接GN,因此四边形BNGF为平行四边形,所以GN∥FB.在▱ABCD中,M是线段AD的中点,连接MN,则MN∥AB.因为MN∩GN=N,AB∩FB=B,所以平面GMN∥平面ABFE.又GM⊂平面GMN,所以GM∥平面ABFE.(2)由题意知,平面ABFE⊥平面ABCD,取AB的中点H,连接CH,因为AC=BC,所以CH⊥AB,则CH⊥平面ABFE.过H向BF引垂线交BF于R,连接CR,则CR⊥BF,所以∠HRC为二面角ABFC的平面角.由题意,不妨设AC=BC=2AE=2.在直角梯形ABFE中,连接FH,则FH⊥AB,又AB=2,所以HF=AE=1,BH=,因此在Rt△BHF中,HR=.由于CH=AB=,所以在Rt△CHR中,tan∠HRC==,因此二面角ABFC的大小为60°.分层B级 创新能力提升1.如图(a),在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD的中点,G是EF的中点,现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个四面体,使B、C、D三点重合,重合后的点记为8\nH,如图(b)所示,那么,在四面体AEFH中必有( ). A.AH⊥△EFH所在平面B.AG⊥△EFH所在平面C.HF⊥△AEF所在平面D.HG⊥△AEF所在平面解析 折成的四面体有AH⊥EH,AH⊥FH,∴AH⊥面HEF.答案 A2.如图,在斜三棱柱ABCA1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在( ).A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC内部解析 由BC1⊥AC,又BA⊥AC,则AC⊥平面ABC1,因此平面ABC⊥平面ABC1,因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上.答案 A3.如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足____________时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)解析 ∵PC在底面ABCD上的射影为AC,且AC⊥BD,∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC8\n)时,即有PC⊥平面MBD,而PC⊂平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.答案 DM⊥PC(或BM⊥PC)4.如图,PA⊥圆O所在的平面,AB是圆O的直径,C是圆O上的一点,E、F分别是点A在PB、PC上的正投影,给出下列结论:①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________.解析 由题意知PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC.又AC⊥BC,PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.∴BC⊥AF.∵AF⊥PC,BC∩PC=C,∴AF⊥平面PBC,∴AF⊥PB,AF⊥BC.又AE⊥PB,AE∩AF=A,∴PB⊥平面AEF.∴PB⊥EF.故①②③正确.答案 ①②③5.(2022·汕头模拟)如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图,在直观图中,M是BD的中点,侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示.(1)若N是BC的中点,证明:AN∥平面CME;(2)证明:平面BDE⊥平面BCD.(3)求三棱锥DBCE的体积.(1)证明 连接MN,则MN∥CD,AE∥CD,又MN=AE=CD,∴四边形ANME为平行四边形,8\n∴AN∥EM.∵AN⊄平面CME,EM⊂平面CME,∴AN∥平面CME.(2)证明 ∵AC=AB,N是BC的中点,AN⊥BC,又平面ABC⊥平面BCD,∴AN⊥平面BCD.由(1),知AN∥EM,∴EM⊥平面BCD.又EM⊂平面BDE,∴平面BDE⊥平面BCD.(3)解 VDBCE=VEBCD=S△BCD·|EM|=××=.6.(2022·合肥模拟)如图,在多面体ABCA1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AA1綉BB1,AB=AC=AA1=BC,B1C1綉BC.(1)求证:A1B1⊥平面AA1C;(2)若D是BC的中点,求证:B1D∥平面A1C1C.(3)若BC=2,求几何体ABCA1B1C1的体积.(1)证明 ∵AB=AC=BC,AB2+AC2=BC2,∴AB⊥AC,又AA1⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,∴AA1⊥AB,AA1∩AC=A,∴AB⊥平面AA1C,又∵AA1綉BB1,∴四边形ABB1A1为平行四边形.∴A1B1∥AB,∴A1B1⊥平面AA1C.(2)证明 ∵B1C1綉BC,且D是BC的中点,∴CD綉C1B1,∴四边形C1CDB1为平行四边形,∴B1D∥C1C,B1D⊄平面A1C1C且C1C⊂平面A1C1C,∴B1D∥平面A1C1C.(3)解 连接AD,DC1,8\nV=V三棱柱A1B1C1ABD+V四棱锥CAA1C1D=×1×1×+×(×1)×1=.8
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:32:23
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文章作者:U-336598
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