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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第12章 第4节 直接证明与间接证明(含解析)北师大版

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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第12章第4节直接证明与间接证明北师大版一、选择题1.若a,b∈R,则下面四个式子中恒成立的是(  )A.lg(1+a2)>0B.a2+b2≥2(a-b-1)C.a2+3ab>2b2D.<[答案] B[解析] 在B中,∵a2+b2-2(a-b-1)=(a2-2a+1)+(b2+2b+1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,∴a2+b2≥2(a-b-1)恒成立.2.命题“对于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos2θ”的证明:cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos2θ过程应用了(  )A.分析法B.综合法C.综合法、分析法综合应用D.间接证明法[答案] B[解析] 因为证明过程是“从左往右”,即由条件⇒结论.3.分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设a>b>c,且a+b+c=0,求证<a”“索”的“因”应是(  )A.a-b>0B.a-c>0C.(a-b)(a-c)>0D.(a-b)(a-c)<0[答案] C[解析] <a⇔b2-ac<3a2⇔(a+c)2-ac<3a2⇔a2+2ac+c2-ac-3a2<0⇔-2a2+ac+c2<0⇔2a2-ac-c2>0⇔(a-c)(2a+c)>0⇔(a-c)(a-b)>0.4.下列条件:①ab>0,②ab<0,③a>0,b>0,④a<0,b<0,其中能使+≥2成立的条件有(  )A.1个B.2个C.3个D.4个[答案] C[解析] 由均值不等式成立的条件知a,b同号,故①③④都可以.5.用反证法证明:若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根,那么a、b、c中至少有一个是偶数.用反证法证明时,下列假设正确的是(  )A.假设a,b,c都是偶数B.假设a,b,c都不是偶数C.假设a,b,c至多有一个偶数D.假设a,b,c至多有两个偶数-5-\n[答案] B[解析] “至少有一个”的否定是“都不是”.6.若P=+,Q=+(a≥0),则P、Q的大小关系是(  )A.P>QB.P=QC.P<QD.由a的取值确定[答案] C[解析] ∵要证P<Q,只要证P2<Q2,只要证:2a+7+2<2a+7+2,只要证:a2+7a<a2+7a+12,只要证:0<12,∵0<12成立,∴P<Q成立.二、填空题7.已知命题:“在等差数列{an}中,若4a2+a10+a()=24,则S11为定值”为真命题,由于印刷问题,括号处的数模糊不清,可推得括号内的数为________.[答案] 18[解析] S11==11a6,由S11为定值,可知a6=a1+5d为定值.设4a2+a10+an=24,整理得a1+d=4,可知n=18.8.(2022·北京高考)顾客请一位工艺师把A,B两件玉石原料各制成一件工艺品.工艺师带一位徒弟完成这项任务.每件原料先由徒弟完成粗加工,再由工艺师进行精加工完成制作,两件工艺品都完成后交付顾客.两件原料每道工序所需时间(单位:工作日)如下:工序时间原料粗加工精加工原料A915原料B621则最短交货期为________个工作日.[答案] 42[解析] 本题考查了逻辑思维能力.先由徒弟对原料B进行粗加工需6个工作日,此后由工艺师精加工原料B,期间徒弟完成原料A的粗加工,工艺师完成原料B后,再完成原料A的精加工,∴最短共需6+21+15=42个工作日.9.α,β,γ是三个平面,a,b是两条直线,有下列三个条件:①a∥γ,b⊂β;②a∥γ,b∥β;③b∥β,aγ.如果命题“α∩β=a,bγ,且________,则a∥b”为真命题,则可以在横线处填入的条件是________.[答案] ①或③[解析] 若填入①,则由a∥γ,bβ,bγ,b=β∩γ,则a∥B.若填入③,则由aγ,a=α∩β,则a=(α∩β∩γ),又bγ,b∥β,则b∥A.若填入②,不能推出a∥b,可以举出反例,例如使β∥γ,bγ,aβ,则此时能有a∥γ,b∥β,但不一定a∥B.或直接通过反例否定②.三、解答题-5-\n10.已知函数f(x)=ax+(a>1).(1)求证:函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数;(2)求证:方程f(x)=0没有负根.[证明] (1)解法1:任取x1,x2∈(-1,+∞),不妨设x1<x2,则x2-x1>0,ax2-x1>1且ax1>0,∴ax2-ax1=ax1(ax2-x1-1)>0.又∵x1+1>0,x2+1>0,∴-==>0,于是f(x2)-f(x1)=ax2-ax1+->0,故函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.解法2:f(x)=ax+1-(a>1),求导数得f′(x)=axlna+,∵a>1,∴当x>-1时,axlna>0,>0,∴f′(x)>0在(-1,+∞)上恒成立,f(x)在(-1,+∞)上为增函数.(2)解法1:设存在x0<0(x0≠-1)满足f(x0)=0,则ax0=-,且0<ax0<1,∴0<-<1,即<x0<2,与假设x0<0矛盾,故方程f(x)=0没有负根.解法2:设存在x0<0(x0≠-1)满足f(x0)=0,①若-1<x0<0,则<-2,ax0<1,∴f(x0)<-1与f(x0)=0矛盾.②若x0<-1,则>1,ax0>0,∴f(x0)>1与f(x0)=0矛盾.故方程f(x)=0没有负根.一、选择题1.(2022·山东高考)用反证法证明命题“设a、b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是(  )-5-\nA.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根[答案] A[解析] 至少有一个实根的否定为:没有实根.2.给出如下三个命题:①四个非零实数a、b、c、d依次成等比数列的充要条件是ad=bc;②设a,b∈R,且ab≠0,若<1,则>1;③若f(x)=log2x,则f(|x|)是偶函数.其中不正确命题的序号是(  )A.①②B.②③C.①③D.①②③[答案] A[解析] ①中,a,b,c,d成等比数列⇒ad=bc,但ad=bc⇒/dc=cb=bA.②中,若<1,则的取值范围是(-∞,0)∪(1,+∞),所以②错误;③中,f(|x|)=log2|x|的定义域是{x|x∈R且x≠0},且f(|x|)=f(|-x|)成立,故f(|x|)是偶函数,③正确,所以答案是A.二、填空题3.已知函数f(x)=ax+2a+1,当x∈[-1,1]时,f(x)有正值也有负值,则实数a的取值范围为____________.[答案] -1<a<-[解析] 由题意得f(x)=ax+2a+1为斜率不为0的直线,由单调性知f(1)·f(-1)<0即可.∴(a+2a+1)·(2a-a+1)<0.∴-1<a<-.4.请阅读下列材料:若两个正实数a1,a2满足a+a=1,那么a1+a2≤.证明:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2=2x2-2(a1+a2)x+1.因为对一切实数x,恒有f(x)≥0,所以Δ≤0,从而得4(a1+a2)2-8≤0,所以a1+a2≤.类比上述结论,若n个正实数满足a+a+…+a=1,你能得到的结论为________.[答案] a1+a2+…+an≤(n∈N*)[解析] 构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-an)2=nx2-2(a1+a2+…+an)x+1,∵f(x)≥0对任意实数x都成立,∴Δ=4(a1+a2+…+an)2-4n≤0,∵a1,a2,…,an都是正数,∴a1+a2+…+an≤.三、解答题5.已知{an}是正数组成的数列,a1=1,且点(,an+1)(n∈N+)在函数y=x2+1的图像上.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足b1=1,bn+1=bn+2an,求证:bn·bn+2<b.[解析] (1)由已知得an+1=an+1,即an+1-an=1,-5-\n又a1=1,所以数列{an}是以1为首项,公差为1的等差数列.故an=1+(n-1)×1=n.(2)由(1)知:an=n从而bn+1-bn=2n,bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1=2n-1+2n-2+…+2+1==2n-1.因为bnbn+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2=22n+2=-2n+2-2n+1-(22n+2-2×2n+1+1)=-5×2n+4×2n-2n<0,所以bnbn+2<b.6.设f(x)=(a≠2).(1)用反证法证明:函数f(x)不可能为偶函数;(2)求证:函数f(x)在(-∞,-1)上单调递减的充要条件是a>2.[解析] (1)假设函数f(x)是偶函数,则f(-2)=f(2),即=,解得a=2,这与a≠2矛盾,所以函数f(x)不可能是偶函数.(2)因为f(x)=,所以f′(x)=.①充分性:当a>2时,f′(x)=<0,所以函数f(x)在(-∞,-1)单调递减;②必要性:当函数f(x)在(-∞,-1)单调递减时,有f′(x)=≤0,即a≥2,又a≠2,所以a>2.综合①②知,原命题成立.-5-

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发布时间:2022-08-26 00:14:13 页数:5
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文章作者:U-336598

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