【高考讲坛】2023高考数学一轮复习 第6章 第5节 直接证明与间接证明课后限时自测 理 苏教版

【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第6章第5节直接证明与间接证明课后限时自测理苏教版[A级　基础达标练]一、填空题1．(2014·泰州调研)设函数f(x)＝(x－a)|x－a|＋b(a，b都是实数)．则下列叙述中，正确的序号是________．(请把所有叙述正确的序号都填上)①对任意实数a，b，函数y＝f(x)在R上是单调函数；②存在实数a，b，使得函数y＝f(x)在R上不是单调函数；③对任意实数a，b，函数y＝f(x)的图象都是中心对称图形；④存在实数a，b，使得函数y＝f(x)的图象不是中心对称图形．[解析]　f(x)＝(x－a)|x－a|＋b＝f(x)的图象如图所示：可知f(x)在R上为增函数，其对称中心为(a，b)，①和③正确．[答案]　①③2．(2014·南京师大附中模拟)用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为________．[解析]　“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定为“a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数”．[答案]　a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数3．若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a>b与a<b及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的是________．(填序号)[解析]　由于a，b，c不全相等，则a－b，b－c，c－a中至少有一个不为0，故①正确；②显然成立；令a＝2，b＝3，c＝5，满足a≠c，b≠c，a≠b，故③错．[答案]　①②4．(2014·扬州中学期中检测)对于在区间[a，b]上有意义的两个函数m(x)与n(x5\n)，如果对于区间[a，b]中的任意x均有|m(x)－n(x)|≤1，则称m(x)与n(x)在[a，b]上是“密切函数”，[a，b]称为“密切区间”，若函数m(x)＝x2－3x＋4与n(x)＝2x－3在区间[a，b]上是“密切函数”，则b－a的最大值为________．[解析]　由|m(x)－n(x)|＝|x2－5x＋7|≤1得，－1≤x2－5x＋7≤1，这个不等式的解集为[2,3]，由题意得[a，b]⊆[2,3]，∴b－a的最大值为3－2＝1.[答案]　15．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明________(填序号)．①2ab－1－a2b2≤0；②a2＋b2－1－≤0；③－1－a2b2≤0；④(a2－1)(b2－1)≥0.[解析]　a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0.[答案]　④6．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设为________．[解析]　“x≠a且x≠b”的否定是“x＝a或x＝b”，因此应假设为x＝a或x＝b.[答案]　x＝a或x＝b7．(2014·南通期末检测)给出以下三个关于x的不等式：①x2－4x＋3<0，②>1，③2x2＋m2x＋m<0.若③的解集非空，且满足③的x至少满足①和②中的一个，则m的取值范围是________．[解析]　由①得1<x<3.由②得(x－2)(x＋1)<0，∴－1<x<2.从而①②解集的并集为{x|－1<x<3}．若③的解集非空，则③的解集为(－1,3)的子集．令f(x)＝2x2＋m2x＋m.则从而综上可有－1≤m<0.[答案]　[－1,0)8．(2014·无锡调研)设函数f(x)＝g(x)＝asin－a＋2(a>0)，若存在x1，x2∈[0,1]，使f(x1)＝g(x2)成立，则实数a的取值范围为________．[解析]　f(x)＝其值域为[0,1]．5\n又a>0，g(x)＝asin－a＋2，x∈[0,1]，则g(x)∈，要使f(x1)＝g(x2)成立，则解得1≤a≤4.[答案]　[1,4]二、解答题9．已知m＞0，a，b∈R，求证：2≤.[证明]　由m＞0，得1＋m>0.所以要证原不等式成立，只需证明，(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，只需证m(a2－2ab＋b2)≥0，即证(a－b)2≥0，又(a－b)2≥0显然成立，故原不等式得证．10．(2014·镇江质检)设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.(1)证明：l1与l2相交；(2)证明：l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上．[证明]　(1)假设l1与l2不相交，则l1与l2平行或重合，有k1＝k2，代入k1k2＋2＝0，得k＋2＝0.这与k1为实数的事实相矛盾．从而k1≠k2，即l1与l2相交．(2)由方程组解得交点P的坐标(x，y)为从而2x2＋y2＝22＋2＝＝＝1，此即表明交点P(x，y)在椭圆2x2＋y2＝1上．[B级　能力提升练]一、填空题1．(2014·扬州调研)对于平面α和共面的直线m、n5\n，下列命题中真命题是________(填序号)．①若m⊥α，m⊥n，则n∥α②若m∥α，n∥α，则m∥n③若m⊂α，n∥α，则m∥n④若m、n与α所成的角相等，则m∥n[解析]　对于平面α和共面直线m、n.设m，n确定的平面为β，对于③，若m⊂α，则m＝α∩β，又n∥α可得m∥n，因此③正确易知①②④不正确．[答案]　③2．(2014·金陵中学期中检测)已知函数f(x)＝，若对任意的实数x1，x2，x3，不等式f(x1)＋f(x2)>f(x3)恒成立，则实数k的取值范围是________．[解析]　f(x)＝＝，令2x＋2－x＝t，则f(t)＝＝1＋(t≥2)．原题等价为：对于t≥2，[2f(t)]min≥[f(t)]max恒成立，求实数k的取值范围．当k＝1时，显然成立；当k<1时，≤f(t)<1，由2≥1，得－≤k<1；当k>1时，1<f(t)≤，由2×1≥，得1<k≤4.综上，实数k的取值范围为.[答案]　二、解答题3．(2014·广东高考)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足S－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.[解]　(1)令n＝1代入得a1＝2(负值舍去)．(2)由S－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*得[Sn－(n2＋n)](Sn＋3)＝0.5\n又已知各项均为正数，故Sn＝n2＋n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，当n＝1时，a1＝2也满足上式，所以an＝2n，n∈N*.(3)证明：k∈N*,4k2＋2k－(3k2＋3k)＝k2－k＝k(k－1)≥0，∴4k2＋2k≥3k2＋3k，∴＝＝≤＝.∴＋＋…＋≤＝<.∴不等式成立．5