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【高考讲坛】2023高考数学一轮复习 第8章 第5节 椭圆课后限时自测 理 苏教版
【高考讲坛】2023高考数学一轮复习 第8章 第5节 椭圆课后限时自测 理 苏教版
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【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第8章第5节椭圆课后限时自测理苏教版[A级 基础达标练]一、填空题1.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为.过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么椭圆C的方程为________.[解析] 设椭圆方程为+=1(a>b>0),由e=知=,故=.由于△ABF2的周长为|AB|+|BF2|+|AF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=4a=16,故a=4.∴b2=8.∴椭圆C的方程为+=1.[答案] +=12.(2013·四川高考改编)从椭圆+=1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是________.[解析] 设P(-c,y0)代入椭圆方程求得y0,从而求得kOP,由kOP=kAB及e=可得离心率e.由题意设P(-c,y0),将P(-c,y0)代入+=1,得+=1,则y=b2=b2·=.8\n∴y0=或y0=-(舍去),∴P,∴kOP=-.∵A(a,0),B(0,b),∴kAB==-.又∵AB∥OP,∴kAB=kOP,∴-=-,∴b=c.∴e====.[答案] 3.(2014·辽宁高考)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合,若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=________.[解析] 椭圆+=1中,a=3.如图,设MN的中点为D,则|DF1|+|DF2|=2a=6.∵D,F1,F2分别为MN,AM,BM的中点,∴|BN|=2|DF2|,|AN|=2|DF1|,∴|AN|+|BN|=2(|DF1|+|DF2|)=12.[答案] 124.(2014·南京调研)图853如图853,已知过椭圆+=1(a>b>0)的左顶点A(-a,0)作直线l交y轴于点P8\n,交椭圆于点Q,若△AOP是等腰三角形,且=2,则椭圆的离心率为________.[解析] ∵△AOP为等腰三角形,∴OA=OP,故A(-a,0),P(0,a),又=2,∴Q,由Q在椭圆上得+=1,解得=.∴e===.[答案] 5.(2014·南京质检)已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为,且它的长轴长等于圆C:x2+y2-2x-15=0的半径,则椭圆的标准方程是________.[解析] 由x2+y2-2x-15=0,知r=4=2a⇒a=2.又e==,c=1,则b2=a2-c2=3.因此椭圆的标准方程为+=1.[答案] +=16.(2013·辽宁高考改编)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,椭圆C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,则椭圆C的离心率为__________.[解析] 在△ABF中,由余弦定理得|AF|2=|AB|2+|BF|2-2|AB|·|BF|cos∠ABF,∴|AF|2=100+64-128=36,∴|AF|=6,从而|AB|2=|AF|2+|BF|2,则AF⊥BF.∴c=|OF|=|AB|=5,利用椭圆的对称性,设F′为右焦点,则|BF′|=|AF|=6,∴2a=|BF|+|BF′|=14,a=7.因此椭圆的离心率e==.8\n[答案] 7.已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且⊥.若△PF1F2的面积为9,则b=________.[解析] 由定义,|PF1|+|PF2|=2a,且⊥,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,∴(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|=4c2,∴2|PF1||PF2|=4a2-4c2=4b2,∴|PF1||PF2|=2b2.∴S△PF1F2=|PF1||PF2|=×2b2=9,因此b=3.[答案] 38.(2013·大纲全国卷改编)已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交C于A,B两点,且|AB|=3,则C的方程为________.[解析] 依题意,设椭圆C:+=1(a>b>0).过点F2(1,0)且垂直于x轴的直线被曲线C截得弦长|AB|=3,∴点A必在椭圆上,∴+=1.①又由c=1,得1+b2=a2.②由①②联立,得b2=3,a2=4.故所求椭圆C的方程为+=1.[答案] +=1二、解答题9.(2014·镇江质检)已知椭圆C1:+y2=1,椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率.(1)求椭圆C2的方程;(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C1和C2上,=2,求直线AB的方程.8\n[解] (1)设椭圆C2的方程为+=1(a>2),其离心率为,故=,解得a=4.故椭圆C2的方程为+=1.(2)法一:A,B两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),由=2及(1)知,O、A、B三点共线且点A、B不在y轴上,因此可设直线AB的方程为y=kx.将y=kx代入+y2=1中,得(1+4k2)x2=4,所以x=.将y=kx代入+=1中,得(4+k2)x2=16,所以x=.又由=2,得x=4x,即=,解得k=±1.故直线AB的方程为y=x或y=-x.法二:A,B两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),由=2及(1)知,O、A、B三点共线且点A、B不在y轴上,因此可设直线AB的方程为y=kx.将y=kx代入+y2=1中,得(1+4k2)x2=4,所以x=.由=2,得x=,y=.将x,y代入+=1中,得=1,即4+k2=1+4k2,解得k=±1.8\n故直线AB的方程为y=x或y=-x.10.(2014·安徽高考)设F1,F2分别是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,|AF1|=3|F1B|.(1)若|AB|=4,△ABF2的周长为16,求|AF2|;(2)若cos∠AF2B=,求椭圆E的离心率.[解] (1)由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4,得|AF1|=3,|F1B|=1.因为△ABF2的周长为16,所以由椭圆定义可得4a=16,|AF1|+|AF2|=2a=8.故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5.(2)设|F1B|=k,则k>0且|AF1|=3k,|AB|=4k.由椭圆定义可得|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k.在△ABF2中,由余弦定理可得|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B,即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-(2a-3k)·(2a-k),化简可得(a+k)(a-3k)=0.而a+k>0,故a=3k.于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k.因此|BF2|2=|F2A|2+|AB|2,可得F1A⊥F2A,故△AF1F2为等腰直角三角形.从而c=a,所以椭圆E的离心率e==.[B级 能力提升练]一、填空题1.(2014·安徽高考)设F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(0<b<1)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x轴,则椭圆E的方程为________.[解析] 设点B的坐标为(x0,y0).∵x2+=1,∴F1(-,0),F2(,0).∴AF2⊥x轴,∴A(,b2).8\n∵|AF1|=3|F1B|,∴=3,∴(-2,-b2)=3(x0+,y0).∴x0=-,y0=-.∴点B的坐标为.将B代入x2+=1,得b2=.∴椭圆E的方程为x2+y2=1.[答案] x2+y2=12.(2013·课标全国卷Ⅰ)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为________________.[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),则①-②得=-.∴=-.∵x1+x2=2,y1+y2=-2,∴kAB=.而kAB==,∴=,∴a2=2b2,∴c2=a2-b2=b2=9,∴b=c=3,a=3,∴E的方程为+=1.[答案] +=1二、解答题3.(2014·课标全国卷Ⅱ)设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;8\n(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.[解](1)根据c=及题设知M,=,2b2=3ac.将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得=,=-2(舍去).故C的离心率为.(2)由题意,原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,故=4,即b2=4a.①由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.设N(x1,y1),由题意知y1<0,则即代入C的方程,得+=1.②将①及c=代入②得+=1.解得a=7,b2=4a=28,故a=7,b=2.8
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高考 - 一轮复习
发布时间:2022-08-25 17:50:48
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文章作者:U-336598
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