【高考讲坛】2023高考数学一轮复习 第8章 第6节 双曲线课后限时自测 理 苏教版

【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第8章第6节双曲线课后限时自测理苏教版[A级　基础达标练]一、填空题1．(2014·苏州调研)已知双曲线x2－＝1(m>0)的离心率为2，则m的值为________．[解析]　∵a2＝1，b2＝m，c＝，∴e＝＝＝2，∴m＝3.[答案]　32．(2014·苏锡常镇四市调研)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1的一个焦点为(5,0)，则实数m＝________.[解析]　由题设知a2＝9，b2＝m，∴9＋m＝25，∴m＝16.[答案]　163．(2014·苏州四市期末检测)已知双曲线－＝1的一条渐近线方程为2x－y＝0，则该双曲线的离心率为________．[解析]　由题意得＝2，∴b＝2a，∴c2＝a2＋b2＝a2＋4a2＝5a2，∴c＝a，∴e＝＝.[答案]　4．(2014·南通、扬州、泰州、连云港、淮安五市调研)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的离心率为，且过点(1，)，则曲线C的标准方程为________．[解析]　由离心率>1知曲线C是双曲线．∵双曲线的离心率为，∴该双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为x2－y2＝m，将点(1，)坐标代入，得1－2＝m，∴m＝－1故双曲线方程为y2－x2＝1.[答案]　y2－x2＝15．(2014·徐州市、宿迁市质检)已知点P(1,0)到双曲线C：－＝1(a>0，b5\n>0)的一条渐近线的距离为，则双曲线C的离心率为________．[解析]　渐近线方程为y＝±x即bx±ay＝0，∴＝，整理得＝，故e＝＝＝.[答案]　6．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝2，且它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则双曲线C的方程为________．[解析]　依题意c－a＝1，①又e＝＝2，即c＝2a，②由①②联立，得a＝1，c＝2.∴b2＝c2－a2＝3，故双曲线C为x2－＝1.[答案]　x2－＝17．(2014·泰州期末检测)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P.若∠PF1F2＝30°，则该双曲线的离心率为________．[解析]　因为以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，故∠F1PF2＝90°，又∠PF1F2＝30°，F1F2＝2c，∴PF1＝c，PF2＝c，由双曲线的定义知2a＝PF1－PF2＝(－1)c，∴e＝＝＝＋1.[答案]　＋18．(2014·盐城模拟)若圆x2＋y2＝r2过双曲线－＝1的右焦点F，且圆与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为点A，B，当四边形OAFB为菱形时，双曲线的离心率为________．[解析]　由题意，得OA＝OF＝AF，∴＝tan＝，∴e＝＝2.5\n[答案]　2二、解答题9．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)虚轴长为12，离心率为；(2)焦距为26，且经过点M(0,12)．(3)经过两点P(－3,2)和Q(－6，－7)．(4)右焦点为(，0)且与双曲线－＝1有相同的渐近线．[解]　　(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)．由题意知：2b＝12，e＝＝.∴b＝6，c＝10，a＝8.∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.(2)∵双曲线经过点M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.又2c＝26，∴c＝13.∴b2＝c2－a2＝25.∴双曲线的标准方程为－＝1.(3)设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)．∴解得∴双曲线的标准方程为－＝1(4)∵双曲线C与C′：－＝1有相同的渐近线，∴设双曲线C的方程为－＝λ(λ≠0)．则双曲线C：－＝1，又双曲线C的右焦点为(，0)，∴c＝，则4λ＋16λ＝5，∴λ＝.故所求双曲线C的方程为x2－＝1.5\n10．已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，一条渐近线的倾斜角为，点(－4，－6)在双曲线上，直线l的方程为x－my－4＝0.(1)求双曲线的方程；(2)若l与双曲线的右支相交于A，B两点，试证：以AB为直径的圆M必与双曲线的右准线相交．[解]　　(1)由题意，设双曲线的方程为3x2－y2＝λ，∵点(－4，－6)在双曲线上，∴λ＝3×42－62＝12，故所求双曲线的方程为－＝1.(2)由l的方程为x－my－4＝0，且l过双曲线的右焦点F(4,0)，设AB的中点为M.A，B，M在右准线上的射影分别为A1，B1，M1，则＝＝e＝2，所以＝2，即＝AA1＋BB1，所以圆M的半径R＝2MM1＝2d，所以d＝R<R，故圆M必与右准线相交．[B级　能力提升练]一、填空题1．(2014·无锡模拟)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围是________．[解析]　因为双曲线的渐近线为y＝±x，要使直线y＝x与双曲线无交点，则直线y＝x应在两渐近线之间．所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，∴c2－a2≤3a2，则c2≤4a2，故1<e≤2.[答案]　(1,2]2．设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为____________．[解析]　设PF1的中点为M，由|PF2|＝|F1F2|得F2M⊥PF1，由F2到直线PF15\n的距离等于双曲线的实轴长，知|F2M|＝2a，在Rt△F1F2M中，|F1M|＝＝2b，故|PF1|＝4b.根据双曲线的定义，得4b－2c＝2a即2b－a＝c，∴(2b－a)2＝c2＝a2＋b2，∴3b＝4a，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x即4x±3y＝0[答案]　4x±3y＝0二、解答题3．(2013·课标全国卷Ⅱ)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．[解]　　(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.由题设y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，从而y2＋2＝x2＋3，故P点的轨迹方程为y2－x2＝1.(2)设P(x0，y0)．由已知得＝，又P点在双曲线y2－x2＝1上，从而得由得此时圆P的半径r＝.由得此时圆P的半径r＝.故圆P的方程为x2＋(y＋1)2＝3或x2＋(y－1)2＝3.5