【高考讲坛】2023高考数学一轮复习 第5章 第4节 数列求和课后限时自测 理 苏教版

【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第5章第4节数列求和课后限时自测理苏教版[A级　基础达标练]一、填空题1．(2014·常州调研)数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，且a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，则S21＝________.[解析]　由an＋an＋1＝＝an＋1＋an＋2，∴an＋2＝an，∴S21＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a20＋a21)＝1＋10×＝6.[答案]　62．(2013·大纲全国卷改编)已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和等于________．[解析]　由3an＋1＋an＝0，得＝－，故数列{an}是公比q＝－的等比数列．又a2＝－，可得a1＝4.所以S10＝＝3－.[答案]　3－3．(2014·南通模拟)已知函数f(n)＝n2cos(nπ)，且an＝f(n)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝________.[解析]　因为f(n)＝n2cos(nπ)，所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝－12＋22－32＋42－…－992＋10026\n＝(22－12)＋(42－32)＋…＋(1002－992)＝3＋7＋…＋199＝＝5050.[答案]　50504．已知{an}是公差为－2的等差数列，a1＝12，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a20|＝________.[解析]　由题意知，an＝12＋(n－1)×(－2)＝－2n＋14，令－2n＋14≥0，得n≤7，∴当n≤7时，an≥0，当n＞7时，an＜0，∴|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a20|＝(a1＋a2＋…＋a7)－(a8＋a9＋…＋a20)＝2S7－S20＝2－20×12＋×(－2)＝224.[答案]　2245．已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列的前n项和Sn＝________.[解析]　设数列{an}的公比为q，则＝q3＝27，得q＝3.所以an＝a1qn－1＝3×3n－1＝3n，故bn＝log3an＝n，所以＝＝－.则数列的前n项和为1－＋－＋…＋－＝1－＝.[答案]　6．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.[解析]　∵an＋1－an＝2n，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n.∴Sn＝＝2n＋1－2.6\n[答案]　2n＋1－27．(2014·徐州质检)已知数列{an}满足an＋1＝＋，且a1＝，则该数列的前2014项的和等于________．[解析]　因为a1＝，又an＋1＝＋，所以a2＝1，从而a3＝，a4＝1，…，即得an＝(k∈N*)．故S2014＝1007×＋1007×1＝.[答案]　8．设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则数列(n∈N*)的前n项和是________．[解析]　f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1，∴a＝1，m＝2.∴f(x)＝x(x＋1)，因此＝＝－，用裂项法求和得Sn＝.[答案]　二、解答题9．(2014·重庆高考)已知{an}是首项为1，公差为2的等差数列，Sn表示{an}的前n项和．(1)求an及Sn；(2)设{bn}是首项为2的等比数列，公比q满足q2－(a4＋1)q＋S4＝0，求{bn}的通项公式及其前n项和Tn.[解]　(1)因为{an}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.故Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＝＝＝n2.(2)由(1)得a4＝7，S4＝16.因为q2－(a4＋1)q＋S4＝0，即q2－8q＋16＝0，所以(q－4)2＝0，从而q＝4.6\n又因为b1＝2，{bn}是公比q＝4的等比数列，所以bn＝b1qn－1＝2·4n－1＝22n－1.从而{bn}的前n项和Tn＝＝(4n－1)．10．(2013·湖南高考)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0,2an－a1＝S1·Sn，n∈N*.(1)求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；(2)求数列{nan}的前n项和．[解]　(1)令n＝1，得2a1－a1＝a，即a1＝a.因为a1≠0，所以a1＝1.令n＝2，得2a2－1＝S2＝1＋a2，解得a2＝2.当n≥2时，由2an－1＝Sn,2an－1－1＝Sn－1两式相减，得2an－2an－1＝an，即an＝2an－1.于是数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．因此，an＝2n－1.所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1(n∈N*)．(2)由(1)知，nan＝n·2n－1.记数列{n·2n－1}的前n项和为Bn，于是Bn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1，①2Bn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.②①－②，得－Bn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n.从而Bn＝1＋(n－1)·2n(n∈N*)．[B级　能力提升练]一、填空题1．(2014·无锡质检)已知数列{an}满足a1＝，2－an＋1＝(n∈N*)，则＝________.[解析]　由2－an＋1＝，得an＋1＝，∴＝＋，即＋＝3.故数列是首项为1，公比为3的等比数列．∴＋＝1×3n－1，从而＝3n－1－，6\n故＝－＝.[答案]　2．若数列{an}是正项数列，且＋＋…＋＝n2＋3n(n∈N*)，则＋＋…＋＝________.[解析]　令n＝1得＝4，即a1＝16.当n≥2时，＝(n2＋3n)－[(n－1)2＋3(n－1)]＝2n＋2.所以an＝4(n＋1)2.当n＝1时，也适合上式，所以an＝4(n＋1)2(n∈N*)．于是＝4(n＋1)，数列是首项为8，公差为4的等差数列．故＋＋…＋＝2n2＋6n.[答案]　2n2＋6n二、解答题3．(2014·江苏扬州月考)已知函数f(x)＝x2－1，设曲线y＝f(x)在点(xn，yn)处的切线与x轴的交点为(xn＋1,0)，其中x1为正实数．(1)用xn表示xn＋1；(2)x1＝2，若an＝lg，试证明：数列{an}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；(3)若数列{bn}的前n项和Sn＝，记数列{an·bn}的前n项和Tn，求Tn.[解]　(1)由题可得f′(x)＝2x，所以在曲线上点(xn，f(xn))处的切线方程为y－f(xn)＝f′(xn)(x－xn)，即y－(x－1)＝2xn(x－xn)令y＝0，得－(x－1)＝2xn(xn＋1－xn)，即x＋1＝2xnxn＋1，由题意得xn≠0，所以xn＋1＝.(2)因为xn＋1＝，所以an＋1＝lg＝lg＝lg＝lg＝2lg＝2an6\n，即an＋1＝2an，所以数列{an}为等比数列，故an＝a12n－1＝lg·2n－1＝2n－1lg3.(3)当n＝1时，b1＝S1＝1，当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝－＝n，所以数列{bn}的通项公式为bn＝n，故数列{an·bn}的通项公式为an·bn＝n·2n－1lg3，∴Tn＝(1＋2×2＋3×22＋…＋n·2n－1)lg3，①①×2得2Tn＝(1×2＋2×22＋…＋n·2n)lg3，②①－②得－Tn＝(1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n)lg3，故Tn＝(n·2n－2n＋1)lg3.6