【高考讲坛】2023高考数学一轮复习 第5章 第3节 等比数列课后限时自测 理 苏教版

【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第5章第3节等比数列课后限时自测理苏教版[A级　基础达标练]一、填空题1．(2014·盐城期中检测)在等比数列{an}中，a2＝2，a5＝16，则a10＝________.[解析]　由＝q3得q3＝8即q＝2，a10＝a5·q5＝16×32＝512.[答案]　5122．已知等比数列{an}的前三项依次为：a－1，a＋1，a＋4，则an＝________.[解析]　由题意知(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，解得a＝5，∴＝＝，又a－1＝4.∴数列{an}是公比为，首项为4的等比数列，∴an＝4·n－1.[答案]　4·n－13．(2014·金陵中学检测)在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝2，a3＋a4＋a5＝8，则a4＋a5＋a6＝________.[解析]　设此数列公比为q，由a3＋a4＋a5＝8，得a1q2＋a2q2＋a3q2＝8，而a1＋a2＋a3＝2，∴q2＝4，q＝2，∴a4＋a5＋a6＝q(a3＋a4＋a5)＝2×8＝16.[答案]　164．(2014·连云港调研)若等比数列{an}满足a2a4＝，则a1aa5＝________.[解析]　∵数列{an}为等比数列，∴a2·a4＝a＝，a1·a5＝a.∴a1aa5＝a＝.[答案]　5．(2014·镇江期末测试)在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，已知a5＝2S4＋3，a65\n＝2S5＋3，则此数列的公比q为________．[解析]　由a5＝2S4＋3，与a6＝2S5＋3相减，得a5－a6＝2(S4－S5)，3a5＝a6，∴公比q＝3.[答案]　36．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝3n＋1＋a，n∈N*，则实数a的＝________.[解析]　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋1－3n＝2·3n，当n＝1时，a1＝S1＝9＋a，因为{an}是等比数列，所以有9＋a＝2×3，解得a＝－3.[答案]　－37．等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a2＋a3＋a4＝1，a5＋a6＋a7＋a8＝2，Sn＝15，则项数n＝________.[解析]　a5＋a6＋a7＋a8＝(a1＋a2＋a3＋a4)q4，∴q4＝2.a1＋a2＋a3＋a4＝＝＝1，∴＝－1.又Sn＝15，即＝15，则qn＝16.∴又q4＝2，从而n＝16.[答案]　168．(2014·苏州模拟)在等比数列{an}中，a1＝，a4＝－4，则公比q＝________；Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝________.[解析]　在等比数列中，a4＝a1q3＝q3＝－4，所以q3＝－8，即q＝－2.所以|an|＝＝2n－2，即数{|an|}是一个公比为2的等比数列，所以Tn＝＝2n－1－.[答案]　－2　2n－1－二、解答题9．已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝a(a＞0)，数列{bn}满足bn＝anan＋1(n∈N*)．(1)若{an}是等比数列，求{bn}的前n项和；(2)当{bn}是公比为a－1的等比数列时，{an}能否为等比数列？若能，求出a5\n的值；若不能，请说明理由．[解]　(1)∵{an}是等比数列，a1＝1，a2＝a(a＞0)，∴q＝a，从而an＝an－1，所以bn＝an·an＋1＝a2n－1，∴{bn}是首项为a，公比为a2的等比数列．当a＝1时，Sn＝n，当a≠1时，Sn＝＝.(2)数列{an}不能是等比数列．∵bn＝anan＋1，∴＝，依题设＝a－1，则a3＝a1(a－1)＝a－1.假设{an}是等比数列，则a＝a1a3，∴a2＝1×(a－1)，但方程无实根．从而数列{an}不能为等比数列．10．(2014·南通调研)设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式．[解]　(1)当n＝1时，T1＝2S1－12.因为T1＝S1＝a1，所以a1＝2a1－1，解得a1＝1.(2)当n≥2时，Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2Sn－2Sn－1－2n＋1，所以Sn＝2Sn－1＋2n－1，①所以Sn＋1＝2Sn＋2n＋1，②②－①得an＋1＝2an＋2.所以an＋1＋2＝2(an＋2)，即＝2(n≥2)．当n＝1时，a1＋2＝3，a2＋2＝6，则＝2，所以当n＝1时也满足上式．所以{an＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列，因此an＋2＝3·2n－1，所以an＝3·2n－1－2.5\n[B级　能力提升练]一、填空题1．(2014·无锡质检)已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)＝________.[解析]　由log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，得log3an＋1－log3an＝1，解得＝3，所以数列{an}是公比为3的等比数列．则a5＋a7＋a9＝(a2＋a4＋a6)q3＝9×33＝35.所以log(a5＋a7＋a9)＝log35＝－log335＝－5.[答案]　－52．已知an＝n，把数列{an}的各项排列成如下的三角形状，a1a2　a3　a4a5　a6　a7　a8　a9…………………………图531记A(m，n)表示第m行的第n个数，则A(10,12)＝________.[解析]　前9行共1＋3＋5＋…＋17＝＝81项，所以A(10,12)为数列中的第81＋12＝93项，所以a93＝93.[答案]　93二、解答题3．(2011·湖北高考)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{bn}中的b3，b4，b5.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列是等比数列．[解]　(1)设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d，依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，5\n解得a＝5.所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)，故{bn}的第3项为5，公比为2，由b3＝b1·22，即5＝b1·22，解得b1＝.所以{bn}是以为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为bn＝·2n－1＝5·2n－3.(2)证明：数列{bn}的前n项和Sn＝＝5·2n－2－，即Sn＋＝5·2n－2.所以S1＋＝，＝＝2.因此是以为首项，公比为2的等比数列．5