【高考讲坛】2023高考数学一轮复习 第8章 第8节 曲线与方程课后限时自测 理 苏教版

【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第8章第8节曲线与方程课后限时自测理苏教版[A级　基础达标练]一、填空题1．(2014·徐州调研)若直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A，B两个不同的点，且AB的中点的横坐标为2，则k＝________.[解析]　由消y得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，由题意得Δ＝[－4(k＋2)]2－4k2×4＝64(1＋k)>0解得k>－1，且x1＋x2＝＝4解得k＝－1或k＝2，故k＝2.[答案]　22．点P是圆(x－4)2＋(y－1)2＝4上的动点，O是坐标原点，则线段OP的中点Q的轨迹方程是________．[解析]　设P(x0，y0)，Q(x，y)，则x＝，y＝，∴x0＝2x，y0＝2y，∵(x0，y0)是圆上的动点，∴(x0－4)2＋(y0－1)2＝4.∴(2x－4)2＋(2y－1)2＝4.即(x－2)2＋2＝1.[答案]　(x－2)2＋2＝13．(2014·宿迁质检)设抛物线的顶点在原点，其焦点F在x轴上，抛物线上的点P(2，k)与点F的距离为3，则抛物线方程为________．[解析]　∵xP＝2>0，∴设抛物线方程为y2＝2px，则|PF|＝2＋＝3，∴＝1，∴p＝2.[答案]　y2＝4x4．动点P到两坐标轴的距离之和等于2，则点P的轨迹所围成的图形面积是________．[解析]　设P(x，y)，则|x|＋|y|＝2.它的图形是一个以2为边长的正方形，故S＝(2)2＝8.[答案]　85．已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.则求动圆圆心的轨迹C6\n的方程为________．[解析]　如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，|O1A|＝|O1M|，当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点．∴|O1M|＝，又|O1A|＝，∴＝，化简得y2＝8x(x≠0)．当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y2＝8x，∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.[答案]　y2＝8x6．(2014·盐城调研)如图883所示，已知C为圆(x＋)2＋y2＝4的圆心，点A(，0)，P是圆上的动点，点Q在直线CP上，且·＝0，＝2.当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹方程为________．图883[解析]　圆(x＋)2＋y2＝4的圆心为C(－，0)，半径r＝2，∵·＝0，＝2，∴MQ⊥AP，点M是线段AP的中点，即MQ是AP的中垂线，连接AQ，则|AQ|＝|QP|，∴||QC|－|QA||＝||QC|－|QP||＝|CP|＝r＝2，又|AC|＝2>2，根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以C(－，0)，A(，0)为焦点，实轴长为2的双曲线，由c＝，a＝1，得b2＝1，因此点Q的轨迹方程为x2－y2＝1.[答案]　x2－y2＝17．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，经过点F的直线l交抛物线于A、B两点，过A、B两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M.则点M的轨迹方程为________．6\n[解析]　设M(x，y)，A，B，显然x1≠x2，由x2＝4y，得y＝x2，∴y′＝x，于是过A、B两点的切线方程分别为y－＝(x－x1)，即y＝x－　①，y－＝(x－x2)，即y＝x－　②，由①②解得　③，设直线l的方程为y＝kx＋1，由，得x2－4kx－4＝0，∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4　④，④代入③得，即M(2k，－1)，故点M的轨迹方程是y＝－1.[答案]　y＝－18．(2014·江苏泰州中学期末)若椭圆C1：＋＝1(a1>b1>0)和C2：＋＝1(a2>b2>0)是焦点相同且a1>a2的两个椭圆，有以下几个命题：①C1，C2一定没有公共点；②>；③a－a＝b－b；④a1－a2<b1－b2，其中所有真命题的序号为________．[解析]　由题意得a－b＝a－b.因为a1>a2，所以b1>b2，C1，C2一定没有公共点；因为a1>a2，b1>b2，所以>不一定成立；由a－b＝a－b得a－a＝b－b；由a－a＝b－b得(a1－a2)(a1＋a2)＝(b1－b2)(b1＋b2)，因为a1＋a2>b1＋b2，所以a1－a2<b1－b2.[答案]　①③④二、解答题9．(2012·辽宁高考)如图884，动圆C1：x2＋y2＝t2,1<t<3，与椭圆C2：＋y2＝1相交于A，B，C，D四点，点A1，A2分别为C2的左，右顶点．图884(1)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积．(2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．[解]　　(1)设A(x0，y0)，则矩形ABCD的面积S＝4|x0|·|y0|.由＋y＝1得y＝1－，从而xy＝x(1－)＝－(x－)2＋.6\n当x＝，y＝时，Smax＝6.从而t＝时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为6.(2)由A(x0，y0)，B(x0，－y0)，A1(－3,0)，A2(3,0)知直线AA1的方程为y＝(x＋3)．①直线A2B的方程为y＝(x－3)．②由①②得y2＝(x2－9)．③又点A(x0，y0)在椭圆C上，故y＝1－.④将④代入③得－y2＝1(x<－3，y<0)．因此直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程为－y2＝1(x<－3，y<0)．10．(2014·南通模拟)在平面直角坐标系xOy中，设曲线C1：＋(a>b>0)所围成的封闭图形的面积为4，曲线C1上的点到原点O的最短距离为.以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C2.(1)求椭圆C2的标准方程；(2)设AB是过椭圆C2中心O的任意弦，l是线段AB的垂直平分线M是l上的点(与O不重合)．①若|MO|＝2|OA|，当点A在椭圆C2上运动时，求点M的轨迹方程；②若M是l与椭圆C2的交点，求△AMB面积的最小值．[解]　　(1)由题意得又a>b>0，解得a2＝8，b2＝1，因此所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)①设M(x，y)，A(m，n)，则由题设知||＝2||，·＝0，即解得因为点A(m，n)在椭圆C2上，所以＋n2＝1.即＋x2＝1，亦即＋＝1，6\n所以点M的轨迹方程为＋＝1.②设M(x，y)，则A(λy，－λx)(λ∈R，λ≠0)，因为点A在椭圆C2上，所以λ2(y2＋8x2)＝8，即y2＋8x2＝，(ⅰ)又x2＋8y2＝8，(ⅱ)(ⅰ)＋(ⅱ)得x2＋y2＝，所以S△AMB＝OM·OA＝|λ|(x2＋y2)＝·≥.当且仅当λ＝±1时，(S△AMB)min＝.[B级　能力提升练]一、填空题1.(2014·苏州模拟)如图885，已知F1、F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2＋y2＝b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为________．图885[解析]　由题意得OQ＝b＝PF1，则PF2＝2a－PF1＝2a－2b，QF2＝a－b，所以(a－b)2＋b2＝c2，解得2a＝3b，则4a2＝9b2＝9a2－9c2，得e＝.[答案]　2．(2014·南师附中调研)已知抛物线y2＝4x，点A(5,0)．点O为坐标原点，倾斜角为的直线l与线段OA相交但不过O，A两点，且交抛物线于M，N两点，则△AMN的面积的最大值为________．[解析]　设直线l的方程为y＝x＋b(－5<b<0)，联立方程消去x，得y2－4y＋4b6\n＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则，设直线l与OA的交点为P，则P(－b,0)，S△AMN＝|PA||y1－y2|＝(5＋b)·＝2(5＋b).设＝t(t≥0)．则b＝1－t2，所以S△AMN＝f(t)＝2(6－t2)t＝12t－2t3，则f′(t)＝12－6t2，令f′(t)＝0，则t＝(－舍去)，此时S△AMN＝12×－2×()3＝8，b＝1－()2＝－1，即b＝－1时，直线l：y＝x－1.故△AMN的面积的最大值为8.[答案]　8二、解答题3．在平面直角坐标系中，已知点A，向量e＝(0,1)，点B为直线x＝－上的动点，点C满足2＝＋，点M满足·e＝0，·＝0.(1)试求动点M的轨迹E的方程；(2)设点P是轨迹E上的动点，点R，N在y轴上，圆(x－1)2＋y2＝1内切于△PRN，求△PRN面积的最小值．[解]　　(1)设B，C(x1，y1)，M(x，y)，由2＝＋，得C.∴⇒消去m得轨迹E的方程为y2＝2x.(2)设P(x0，y0)，R(0，b)，N(0，c)，且b>c，∴直线PR的方程为(y0－b)x－x0y＋x0b＝0.圆(x－1)2＋y2＝1内切于△PRN，则圆心(1,0)到直线PR的距离为1.∴＝1，注意到x0>2，上式化简得(x0－2)b2＋2y0b－x0＝0，同理可得(x0－2)c2＋2y0c－x0＝0.∴b，c为方程(x0－2)x2＋2y0x－x0＝0的两根．∴b＋c＝，bc＝，(b－c)2＝.又y＝2x0，∴b－c＝，∴S△PRN＝(b－c)x0＝＝(x0－2)＋＋4≥8，当且仅当x0＝4时取等号，∴△PRN面积的最小值为8.6