【高考讲坛】2023高考数学一轮复习 第8章 第3节 圆的方程课后限时自测 理 苏教版

【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第8章第3节圆的方程课后限时自测理苏教版[A级　基础达标练]一、填空题1．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________．[解析]　设圆心C(a，b)(a>0，b>0)，由题意得b＝1.又圆心C到直线4x－3y＝0的距离d＝＝1，解得a＝2或a＝－(舍)．所以该圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.[答案]　(x－2)2＋(y－1)2＝12．(2014·南京质检)已知点P(2,1)在圆C：x2＋y2＋ax－2y＋b＝0上，点P关于直线x＋y－1＝0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为________．[解析]　因为点P关于直线x＋y－1＝0的对称点也在圆上，∴该直线过圆心，即圆心满足方程x＋y－1＝0，因此－＋1－1＝0，解得a＝0，所以圆心坐标为(0,1)．[答案]　(0,1)3．已知圆心在直线y＝－4x上，且圆与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，则该圆的方程是________．[解析]　过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)．∴半径r＝2，∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.[答案]　(x－1)2＋(y＋4)2＝84．(2014·江苏常州模拟)已知实数x，y满足x2＋y2－4x＋6y＋12＝0，则|2x－y|的最小值为________．[解析]　x2＋y2－4x＋6y＋12＝0配方得(x－2)2＋(y＋3)2＝1，令x＝2＋cosα，y＝－3＋sinα，则|2x－y|＝|4＋2cosα＋3－sinα|＝|7－sin(α－φ)|≥7－(tanφ＝2)．5\n[答案]　7－5．已知圆x2＋y2＋4x－8y＋1＝0关于直线2ax－by＋8＝0(a>0，b>0)对称，则＋的最小值是________．[解析]　由圆的对称性可得，直线2ax－by＋8＝0必过圆心(－2,4)，所以a＋b＝2.所以＋＝＋＝＋＋5≥2＋5＝9，由＝，则a2＝4b2，又由a＋b＝2，故当且仅当a＝，b＝时取等号．[答案]　96．(2014·南京市、盐城市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，若圆x2＋(y－1)2＝4上存在A，B两点关于点P(1，2)成中心对称，则直线AB的方程为________．[解析]　由题意得圆心与P点连线垂直于AB，所以kOP＝＝1，kAB＝－1，而直线AB过P点，所以直线AB的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.[答案]　x＋y－3＝07．(2014·泰州质检)若a∈，且方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a＝________.[解析]　要使方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，解得－2<a<.∴符合条件的a只有一个，a＝0.[答案]　08．(2014·南京模拟)直线x－2y－2k＝0与2x－3y－k＝0的交点在圆x2＋y2＝9的外部，则k的取值范围是________．[解析]　由得∴(－4k)2＋(－3k)2＞9，即25k2＞9，解得k＞或k＜－.[答案]　∪二、解答题9．(2014·连云港调研)已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)关于直线x＋y＋2＝0对称．(1)求圆C的方程；5\n(2)设Q为圆C上的一个动点，求·的最小值．[解]　　(1)设圆心C(a，b)，由题意得解得则圆C的方程为x2＋y2＝r2，将点P的坐标代入得r2＝2，故圆C的方程为x2＋y2＝2.(2)设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，·＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2.令x＝cosθ，y＝sinθ，∴·＝x＋y－2＝(sinθ＋cosθ)－2＝2sin－2，所以·的最小值为－4.10．已知圆的圆心为坐标原点，且经过点(－1，)．(1)求圆的方程；(2)若直线l1：x－y＋b＝0与此圆有且只有一个公共点，求b的值；(3)求直线l2：x－y＋2＝0被此圆截得的弦长．[解]　　(1)已知圆心为(0,0)，半径r＝＝2，所以圆的方程为x2＋y2＝4.(2)由已知得l1与圆相切，则圆心(0,0)到l1的距离等于半径2，即＝2，解得b＝±4.(3)l2与圆x2＋y2＝4相交，圆心(0,0)到l2的距离d＝＝，所截弦长l＝2＝2＝2.[B级　能力提升练]一、填空题1．(2014·南通模拟)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．[解析]　圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10，则圆心(1,3)，半径r＝，5\n由题意知AC⊥BD，且|AC|＝2，|BD|＝2＝2，所以四边形ABCD的面积为S＝|AC|·|BD|＝×2×2＝10.[答案]　102．(2014·江苏省连云港市高三第二次调研考试数学试题)在平面直角坐标系xOy中，已知点P(3,0)在圆C：x2＋y2－2mx－4y＋m2－28＝0内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若△ABC的面积的最大值为16，则实数m的取值范围为________．[解析]　圆C的标准方程为(x－m)2＋(y－2)2＝32，首先由点P在圆内，则(3－m)2＋(0－2)2<32，解得3－2<m<3＋2，又S△ABC＝r2sin∠ACB＝16sin∠ACB≤16，由题意存在∠ACB＝90°，此时圆心C到直线AB的距离d＝4，因此总是等价于过P点的直线中有一条与圆心C的距离d为4，显然d≤|CP|，所以≥4，解得m≥3＋2或m≤3－2，因此m的取值范围是3－2<m≤3－2或3＋2≤m≤3＋2.[答案]　[3＋2，3＋2)∪(3－2，3－2]二、解答题3．(2014·苏州模拟)已知以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为坐标原点．(1)求证：△AOB的面积为定值；(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若OM＝ON，求圆C的方程．[解]　　(1)∵圆C过原点O，∴OC2＝t2＋.∴设圆C的方程是(x－t)2＋2＝t2＋.令x＝0，得y1＝0，y2＝；令y＝0，得x1＝0，x2＝2t.所以S△AOB＝×OA×OB＝×|2t|×＝4，即△AOB的面积为定值．(2)法一：∵OM＝ON，CM＝CN，∴OC垂直平分线段MN.∵kMN＝－2，∴kOC＝，∴直线OC的方程是y＝x.∴＝t，解得t＝2或t＝－2.当t＝2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC＝，此时圆心C到直线y＝－2x＋4的距离d5\n＝<，圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点；当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，OC＝，此时圆心C到直线y＝－2x＋4的距离d＝>，圆C与直线y＝－2x＋4不相交，所以t＝－2不符合题意，舍去．故圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.5