【高考讲坛】2023高考数学一轮复习 第1节 坐标系与曲线的极坐标方程课后限时自测 理 苏教版选修4-4

【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第1节坐标系与曲线的极坐标方程课后限时自测理苏教版选修4-4[A级　基础达标练]一、填空题1．在极坐标系中，圆ρ＝4sinθ的圆心到直线θ＝(ρ∈R)的距离是________．[解析]　圆C：x2＋(y－2)2＝4，圆心C(0,2)．直线l：x－y＝0.故圆心C到直线l的距离d＝＝.[答案]　2．在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是________．[解析]　圆的方程可化为ρ2＝－2ρsinθ，由得x2＋y2＝－2y，即x2＋(y＋1)2＝1，圆心(0，－1)，化为极坐标为.[答案]　3．(2014·广东高考)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cosθ和ρsinθ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为________．[解析]　由ρsin2θ＝cosθ得其直角坐标方程为y2＝x，由ρsinθ＝1得直角坐标方程为y＝1，由得C1和C2的交点为(1,1)．[答案]　(1,1)4．(2013·北京高考)在极坐标系中，点到直线ρsinθ＝2的距离等于________．[解析]　点对应的直角坐标为(，1)，直线ρsinθ＝2对应的直角坐标方程为y＝2，所以点到直线的距离为1.[答案]　15．(2014·福州质检)在极坐标系中，曲线C1：ρ＝2cosθ，曲线C2：θ＝，若曲线4\nC1与C2交于A、B两点，则线段AB的长是________．[解析]　由于曲线C1与曲线C2均过极点，∴极点是曲线C1与C2的一个交点，将θ＝，代入ρ＝2cosθ，得ρ＝，∴点是曲线C1与C2的另一交点，该点与极点的距离为，因此AB的长度为.[答案]　6．(2014·镇江调研一)经过极坐标为(0,0)，，三点的圆的直角坐标方程为________．[解析]　点(0,0)，，的直角坐标分别为(0,0)，(0,6)，(6,6)，∴△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形．∴经过O，A，B三点的圆的圆心为(3,3)，半径为3∴圆的直角坐标方程为(x－3)2＋(y－3)2＝18.[答案]　(x－3)2＋(y－3)2＝187．(2014·常州调研)在极坐标系中，已知点P，直线l：ρcos＝2，则点P到直线l的距离为________．[解析]　点P的直角坐标为(3，)，直线l的直角坐标方程为x－y－4＝0，从而点P到直线l的距离为＝.[答案]　8．在极坐标系中，圆C：ρ＝10cosθ和直线l：3ρcosθ－4ρsinθ－30＝0相交于A，B两点，则线段AB的长是________．[解析]　分别将圆C和直线l的极坐标方程化为直角坐标方程：圆C：x2＋y2＝10x，即(x－5)2＋y2＝25，圆心C(5,0)．直线l：3x－4y－30＝0.因为圆心C到直线l的距离d＝＝3.所以|AB|＝2＝8.[答案]　84\n二、解答题9．(常州市2013届高三教学期末调研测试)已知曲线C1的极坐标方程为ρcos＝－1，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cos，判断两曲线的位置关系．[解]　将曲线C1∶C2化为直角坐标方程得：C1：x＋y＋2＝0，C2：x2＋y2－2x－2y＝0，即C2：(x－1)2＋(y－1)2＝2，圆心到直线的距离d＝＝>，∴曲线C1与C2相离．10．(2014·南京盐城高三数学二模数学试卷)在极坐标系中，求曲线ρ＝2cosθ关于直线θ＝(ρ∈R)对称的曲线的极坐标方程．[解]　法一：以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系，则曲线ρ＝2cosθ的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，且圆心C为(1,0)．直线θ＝的直角坐标方程为y＝x，因为圆心C(1,0)关于y＝x的对称点为(0,1)，所以圆C关于y＝x的对称曲线为x2＋(y－1)2＝1.所以曲线ρ＝2cosθ关于直线θ＝(ρ∈R)对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ.法二：设曲线ρ＝2cosθ上任意一点为(ρ′，θ′)，其关于直线θ＝对称点为(ρ，θ)，则将(ρ′，θ′)代入ρ＝2cosθ，得ρ＝2cos即ρ＝2sinθ.所以曲线ρ＝2cosθ关于直线θ＝(ρ∈R)对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ.[B级　能力提升练]一、填空题4\n1．(2014·天津高考)在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sinθ和直线ρsinθ＝a相交于A，B两点．若△AOB是等边三角形，则a的值为________．[解析]　圆的直角坐标方程为x2＋y2＝4y，直线的直角坐标方程为y＝a，因为△AOB为等边三角形，则A，代入圆的方程得＋a2＝4a，故a＝3.[答案]　32．(苏州市2014届高三调研测试)在极坐标系中，点M关于直线θ＝的对称点为N，则MN的长为________．[解析]　M关于直线θ＝的对称点为N.则MN＝20Msin＝4×＝－.[答案]　－二、解答题3．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsin＝，(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．[解]　(1)由ρ＝cosθ＋sinθ，可得ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，又代入得⊙O：x2＋y2－x－y＝0.由l：ρsin＝，得：ρcosθ－ρsinθ＝－，ρcosθ－ρsinθ＝－1，又代入得：x－y＋1＝0.(2)由解得又得又因为θ∈(0，π)，则θ＝，故为.4