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【高考讲坛】2023高考数学一轮复习 第5章 第1节 数列的概念与简单表示课后限时自测 理 苏教版

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【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第5章第1节数列的概念与简单表示课后限时自测理苏教版[A级 基础达标练]一、填空题1.把1,3,6,10,15,21,…这些数叫做三角形数,这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图).图一则第7个三角形数是________.[解析] 由题图可知,第7个三角形数是1+2+3+4+5+6+7=28.[答案] 282.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn+Sm=Sn+m,且a1=1,那么a10=________.[解析] a10=S10-S9=(S9+S1)-S9=S1=a1=1.[答案] 13.(2014·苏州中学检测)已知数列{an}中,an∈N*,对于任意n∈N*,an≤an+1,若对于任意正整数k,在数列中恰有k个k出现,求a50=________.[解析] 从定义可知数列{an}不是递减数列,小的数一定在前面,故数列各项依次为1个1,2个2,3个3,4个4,…,k个k,由于1+2+3+…+9=45,说明a45=9,a46=10,又1+2+3+…+9+10=55,故a50=10.[答案] 104.(2014·南京模拟)已知数列{an}中,an=n2+λn(λ是与n无关的实数常数),且满足a1<a2<a3<…<an<an+1<…,则实数λ的取值范围是________.[解析] 由已知a1<a2<a3<…<an,可知数列是递增的.又an=n2+λn是关于n的二次函数,其对称轴为n=-,∴-<,得λ>-3.5\n[答案] (-3,+∞)5.已知a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N*),则数列{an}的通项公式an=________.[解析] ∵an=n(an+1-an),∴=,∴an=×××…×××a1=×××…×××1=n.[答案] n6.已知a1=2,an+1-an=2n+1(n∈N*),则an=________.[解析] 由an+1-an=2n+1得an-an-1=2n-1,an-1-an-2=2n-3,…,a3-a2=5,a2-a1=3,则an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=2+3+5+7+…+(2n-3)+(2n-1)=2+=n2+1.[答案] n2+17.(2014·广州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2,则a2等于________.[解析] ∵Sn=2an-2,∴a1=S1=2a1-2,∴a1=2,∴S2=2a2-2=a1+a2,即a2=a1+2=4.[答案] 48.数列{an}中,a1=1,对于所有的n≥2,n∈N*,都有a1·a2·a3·…·an=n2,则a3+a5=________.[解析] 由题意知:a1·a2·a3…an-1=(n-1)2,∴an=2(n≥2),∴a3+a5=2+2=.[答案] 二、解答题9.数列{an}的通项公式是an=n2-7n+6(n∈N*).(1)这个数列的第4项是多少?(2)150是不是这个数列的项?若是这个数列的项,它是第几项?(3)该数列从第几项开始各项都是正数?[解] (1)当n=4时,a4=42-4×7+6=-6.5\n(2)令an=150,即n2-7n+6=150,解得n=16或n=-9(舍去),即150是这个数列的第16项.(3)令an=n2-7n+6>0,解得n>6或n<1(舍).∵n∈N*,∴数列从第7项起各项都是正数.10.(1)已知数列{an}满足:a1=1,an=an-1+3n-1(n≥2,n∈N*),求数列{an}的通项公式an;(2)设{an}是首项为1的正数数列,且(n+1)a-na+an+1an=0(n=1,2,3,…),求其通项公式an.[解] (1)∵a1=1,an-an-1=3n-1,∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-1-an-2)+(an-an-1)=1+3+32+…+3n-1==.即an=.(2)由已知递推关系式分解因式可得:(an+1+an)[(n+1)an+1-nan]=0.又an>0,∴an+1+an≠0,∴(n+1)an+1-nan=0,∴=,∴an=a1···…·=1····…··=.即an=.[B级 能力提升练]一、填空题1.已知数列{an}对于任意p,q∈N*,有ap+aq=ap+q,若a1=,则a36=________.[解析] ∵ap+q=ap+aq,∴a36=a32+a4=2a16+a4=4a8+a4=8a4+a4=18a2=36a1=4.[答案] 42.(2014·扬州中学检测)设f1(x)=,fn+1(x)=f1[fn(x)],且an=5\n,则a2014=________.[解析] f1(0)=2,f2(0)==,f3(0)=,f4(0)=,…,a1==,a2=-,a3=,a4=-,…,可猜测a2014=2015.实际上,an+1====-an,即数列{an}是公比为-的等比数列,a2014=×2013=2015.[答案] 2015二、解答题3.已知数列{an}中,a1=1,前n项和Sn=an.(1)求a2,a3;(2)求数列{an}的通项公式.[解] (1)∵Sn=an,且a1=1,∴S2=a2,即a1+a2=a2,得a2=3.由S3=a3,得3(a1+a2+a3)=5a3,得a3=6.(2)由题设知a1=1.当n≥2时,有an=Sn-Sn-1=an-an-1,整理得an=an-1,即=,于是=3,=,=,…,=,以上n-1个式子的两端分别相乘,得=,∴an=,n≥2.又a1=1适合上式,5\n故an=,n∈N*.5

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发布时间:2022-08-25 17:50:40 页数:5
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文章作者:U-336598

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