【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第12章 第1节 几何证明选讲（含解析）新人教B版

【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第12章第1节几何证明选讲新人教B版一、填空题1.(2022·湖北黄冈模拟)已知点C在圆O的直径BE的延长线上，直线CA与圆O相切于A，∠ACB的平分线分别交AB，AE于D，F两点，若∠ACB＝20°，则∠AFD＝________.[答案]　45°[解析]　因为AC为圆的切线，由弦切角定理知∠B＝∠EAC，又因为CD平分∠ACB，则∠ACD＝∠BCD，所以∠B＋∠BCD＝∠EAC＋∠ACD，根据三角形外角定理，∠ADF＝∠AFD，因为BE是圆O的直径，则∠BAE＝90°，所以△ADF是等腰直角三角形，所以∠ADF＝∠AFD＝45°.2．(文)(2022·重庆理)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC依次交圆于B，C，若PA＝6，AC＝8，BC＝9，则AB＝________.[答案]　4[解析]　如图所示：根据切割线定理，得PA2＝PB·PC，又因为PC＝(PB＋BC)，且PA＝6，BC＝9，所以36＝PB·(PB＋9)，解得PB＝3.在△PAC中，根据余弦定理cos∠ACP＝＝＝，在△ACB中，根据余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB＝82＋92－2×8×9×＝16，所以AB＝4.(理)(2022·广东梅州联考)如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA＝5，AB＝7，CD＝11，AC＝2，则BD等于________．[答案]　6[解析]　设PC＝x，则PD＝PC＋CD＝x＋11，由割线定理知PC·PD＝PA·PB，∴x(x＋11)＝5×(5＋7)＝60，∵x>0，∴x＝4.∴PC＝4，PD＝15.∵∠PAC＝∠PDB，∠P为公共角，-9-\n∴△PAC∽△PDB，∴＝，∴BD＝＝＝6.3.(2022·陕西咸阳二模)如图，已知△ABC的∠BAC的平分线与BC相交于点D，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，若EB＝8，EC＝2，则ED＝________.[答案]　4[解析]　根据弦切角定理可得∠ABC＝∠EAC，因为线段AD为∠BAC的角平分线，所以∠BAD＝∠DAC，又∠ADE＝∠ABC＋∠BAD，则可以得到∠EDA＝∠EAD，即△ADE为等腰三角形，则有DE＝AE，在△ACE，△ABE中，因为∠EAC＝∠ABC且∠AEC＝∠AEB，所以△CAE∽△ABE，则有＝⇒AE＝4，即DE＝AE＝4.4．如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E.若PA＝2，∠APB＝30°，则AE＝________.[答案]　[解析]　∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥PA，在直角三角形PAO中，tan30°＝＝.∵PA＝2，∴AO＝PA·＝2，即圆O的半径为r＝2，同理sin30°＝＝，∴PO＝4.∵D是OC的中点，∴OD＝DC＝1，从而BD＝BO＋OD＝2＋1＝3，PD＝PO＋OD＝4＋1＝5，在三角形PAD中，由余弦定理得：AD2＝PA2＋PD2－2PA·PD·cos30°＝(2)2＋52－2×2×5×＝7，∴AD＝，再由相交弦定理得：AD·DE＝BD·DC，即·DE＝3×1＝3，DE＝，∴AE＝AD＋DE＝＋＝.5．(文)(2022·广州综合测试一)如图，PC是圆O的切线，切点为点C，直线PA与圆O交于A，B两点，∠APC的角平分线交弦CA，CB于D，E两点，已知PC＝3，PB＝2，则的值为________．[答案]　[解析]　由切割线定理可得PC2＝PA·PB⇒PA＝＝，由于PC切圆O于点C，由弦切角定理可知∠PCB＝∠PAD，由于PD是∠APC的角平分线，则∠CPE＝∠APD，所以△PCE∽△PAD-9-\n，由相似三角形得＝＝＝.(理)(2022·广东汕头模拟)如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G，给出下列三个结论：①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG.其中正确结论的序号是________．[答案]　①②[解析]　由题意，根据切线长定理，有BD＝BF，CE＝CF，所以AD＋AE＝(AB＋BD)＋(AC＋CE)＝(AB＋BF)＋(AC＋CF)＝AB＋AC＋BC，所以①正确；因为AD，AE是圆的切线，根据切线长定理，有AD＝AE，又因为AG是圆的割线，所以根据切割线定理有AD2＝AF·AG＝AD·AE，所以②正确；根据弦切角定理有∠ADF＝∠AGD，又因为BD＝BF，所以∠BDF＝∠BFD＝∠ADF，在△AFB中，∠ABF＝2∠ADF＝2∠AGD，所以③错误．6．如图所示，在▱ABCD中，BC＝24，E、F为BD的三等分点，直线AE交BC于M，直线MF交AD于N，则BM－DN＝________.[答案]　6[解析]　连CF交AD于P，∵E、F为BD的三等分点，四边形为平行四边形，∴△ABE≌△CDF，∴∠AEB＝∠CFD＝∠PFB，∴AM∥CP，∴M为BC的中点，∵∠FBM＝∠FDN，∠BFM＝∠DFN，∴△BFM∽△DFN，∴＝＝2，∴DN＝BC＝6.二、解答题7．如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合，已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0的两个根．(1)证明：C，B，D，E四点共圆；(2)若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．[解析]　(1)连结DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB＝mn＝AE×AC，即＝.又∠DAE＝∠CAB，从而△ADE△ACB.-9-\n因此∠ADE＝∠ACB.所以C，B，D，E四点共圆．(2)m＝4，n＝6时，方程x2－14x＋mn＝0的两根为x1＝2，x2＝12.故AD＝2，AB＝12.取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连结DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH，由于∠A＝90°，故GH∥AB，HF∥AC.从而HF＝AG＝5，DF＝(12－2)＝5.故C，B，D，E四点所在圆的半径为5.8．(2022·哈三中二模)如图，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，AB是⊙O2的直径，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，分别与⊙O1、⊙O2交于C，D两点．证明：(1)PA·PD＝PE·PC；(2)AD＝AE.[证明]　(1)因为PE，PB分别是⊙O2割线，所以PA·PE＝PD·PB　①又PA，PB分别是⊙O1的切线和割线，所以PA2＝PC·PB　②由①②得PA·PD＝PE·PC.(2)连接AC，DE，设DE与AB相交于点F，因为BC是⊙O1的直径，所以∠CAB＝90°，所以AC是⊙O2的切线，由(1)得AC∥DE，所以AB⊥DE，所以AD＝AE.一、填空题9．(2022·惠州三调)如图，PA切圆O于点A，割线PBC经过圆心O，OB＝PB＝1，OA绕点O逆时针旋转60°到OD，则PD的长为________．[答案]　[解析]　由图可知，PA2＝PB·PC＝PB·(PB＋BC)＝3，∴PA＝，∴∠AOP＝60°，又∠AOD＝60°，∴∠POD＝120°，∵PO＝2，OD＝1，∴cos∠POD＝＝－，∴PD＝.10．(2022·武汉调研)如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线交于点P，E为⊙-9-\nO上一点，＝，DE交AB于点F.若AB＝4，BP＝3，则PF＝________.[答案]　[解析]　连接OE，则易知∠OEF＋∠OFE＝∠AOE＝∠CDE＝∠DFB＋∠P，∴∠OEF＝∠P，∴△FOE∽△FDP，＝，即DF·EF＝OF·PF，而DF·EF＝AF·FB，可得OF·PF＝AF·FB.设FB＝x，有(2－x)(x＋3)＝(4－x)x，解得x＝，则PF＝.11．(文)(2022·广东揭阳一中期中)如图，已知AB、BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝2，BC＝2，则⊙O的半径等于________．[答案]　2[解析]　设AO与BC相交于D，与⊙O相交于E，∵AO⊥BC，AB＝2，BC＝2，∴AD＝1，由相交弦定理知AD·DE＝BD·DC，∴1×(2R－1)＝()2，∴R＝2.(理)(2022·湖北八市联考)如图，A，B是圆O上的两点，且OA⊥OB，OA＝2，C为OA的中点，连接BC并延长交圆O于点D，则CD＝________.[答案]　[解析]　延长AO交圆O于点E，注意到C为OA的中点，则CE＝2＋1＝3，CA＝1，BC＝＝，由相交弦定理知CE·CA＝BC·CD，故CD＝＝＝.12．(2022·陕西宝鸡三模)如图，△ABC是圆O的内接三角形，PA是圆O的切线，PB交AC于点E，交圆O于点D，PA＝PE，PB＝9，PD＝1，∠ABC＝60°，则EC＝________.　-9-\n[答案]　4[解析]　∵PA是圆O的切线，∴PA2＝PD·PB＝9，可得PA＝3，∵∠PAC是弦切角，夹弧，∴∠PAC＝∠ABC＝60°，在△APE中，PE＝PA，∴△APE是正三角形，可得PE＝AE＝PA＝3，∴BE＝PB－PE＝6，DE＝PE－PD＝2，∵圆O中，弦AC，BD相交于E，∴BE·DE＝AE·CE，可得6×2＝3EC，EC＝4.二、解答题13．(文)(2022·南京、盐城二模)如图，△ABC为圆的内接三角形，AB＝AC，BD为圆的弦，且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.(1)求证：四边形ACBE为平行四边形；(2)若AE＝6，BD＝5，求线段CF的长．[解析]　(1)因为AE与圆相切于点A，所以∠BAE＝∠ACB.因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB.所以∠ABC＝∠BAE.所以AE∥BC.因为BD∥AC，所以四边形ACBE为平行四边形．(2)因为AE与圆相切于点A，所以AE2＝EB·(EB＋BD)，即62＝EB·(EB＋5)，解得BE＝4.根据(1)有AC＝BE＝4，BC＝AE＝6.设CF＝x，由BD∥AC，得＝，即＝，解得x＝，即CF＝.(理)(2022·吉林长春三调)如图，圆M与圆N交于A、B两点，以A为切点作两圆的切线分别交圆M和圆N于C，D两点，延长DB交圆M于点E，延长CB交圆N于点F.已知BC＝5，BD＝10.(1)求AB的长；(2)求.[解析]　(1)根据弦切角定理，-9-\n知∠BAC＝∠BDA，∠ACB＝∠DAB，∴△ABC∽△DBA，则＝，故AB2＝BC·BD＝50，AB＝5.(2)根据切割线定理，知CA2＝CB·CF，DA2＝DB·DE，两式相除，得＝·　(*)．由△ABC∽△DBA，得＝＝＝，＝，又＝＝，由(*)得＝1.14．(文)(2022·黑龙江哈尔滨六校联考)如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，且AB是⊙O的直径，过点D的⊙O的切线与BA的延长线交于点M.(1)若MD＝6，MB＝12，求AB的长；(2)若AM＝AD，求∠DCB的大小．[解析]　(1)因为MD为⊙O的切线，由切割线定理知，MD2＝MA·MB.又MD＝6，MB＝12，MB＝MA＋AB，所以MA＝3，AB＝12－3＝9.(2)因为AM＝AD，所以∠AMD＝∠ADM，连接DB，又MD为⊙O的切线，由弦切角定理知，∠ADM＝∠ABD，又因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB为直角，即∠BAD＝90°－∠ABD.又∠BAD＝∠AMD＋∠ADM＝2∠ABD，于是90°－∠ABD＝2∠ABD，所以∠ABD＝30°.所以∠BAD＝60°.又四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠BAD＋∠DCB＝180°.-9-\n所以∠DCB＝120°.(理)(2022·石家庄模拟)如图，过圆O外一点P作该圆的两条割线PAB和PCD，分别交圆O于点A、B，C、D，弦AD和BC交于点Q，割线PEF经过点Q交圆O于点E、F，点M在EF上，且∠BAD＝∠BMF.(1)求证：PA·PB＝PM·PQ；(2)求证：∠BMD＝∠BOD.[证明]　(1)∵∠BAD＝∠BMF，∴A、Q、M、B四点共圆，∴PA·PB＝PM·PQ.(2)∵PA·PB＝PC·PD，∴PC·PD＝PM·PQ，又∠CPQ＝∠MPD，∴△CPQ∽△MPD，∴∠PCQ＝∠PMD，则∠BCD＝∠DMF，∵∠BAD＝∠BCD，∴∠BMD＝∠BMF＋∠DMF＝2∠BAD，又∠BOD＝2∠BAD，∴∠BMD＝∠BOD.15．(2022·东北三校一模)如图，PA，PB是圆O的两条切线，A，B是切点，C是劣弧AB(不包括端点)上一点，直线PC交圆O于另一点D，Q在弦CD上，且∠DAQ＝∠PBC.求证：(1)＝；(2)△ADQ∽△DBQ.[解析]　(1)连结AB.因为∠PBC＝∠PDB，∠BPC＝∠DPB，所以△PBC∽△PDB，所以＝.同理＝.又因为PA＝PB，所以＝，即＝.(2)因为∠BAC＝∠PBC＝∠DAQ，∠ABC＝∠ADQ，-9-\n所以△ABC∽△ADQ，即＝.故＝.又因为∠DAQ＝∠PBC＝∠BDQ，所以△ADQ∽△DBQ.16．(2022·内蒙古赤峰市统考)如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为的中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F，连接CE.(1)求证：AG·EF＝CE·GD；(2)求证：＝.[解析]　(1)连接AB，AC，∵AD为⊙M的直径，∴∠AGD＝90°，∴AC为⊙O的直径，∴∠CEF＝90°，∵∠DFG＝∠CFE，∴∠ECF＝∠GDF，∵G为的中点，∴∠DAG＝∠GDF，∵∠ECF＋∠EFC＝∠GDF＋∠DFG，∴∠ECF＝∠GDF，∴∠DAG＝∠ECF，∴△CEF∽△AGD，∴＝，∴AG·EF＝CE·GD.(2)由(1)知∠DAG＝∠GDF，∠G＝∠G，∴△DFG∽△ADG，∴DG2＝AG·GF，由(1)知＝，∴＝＝＝.-9-