高考数学总复习 2-6 幂函数与函数的图象变换 新人教B版
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2-6 幂函数与函数的图象变换基础巩固强化1.已知点(,)在幂函数f(x)的图象上,则f(x)( )A.是奇函数B.是偶函数C.是非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数[答案] A[解析] 设f(x)=xα,则()α=,即3α=3,故α=-1,因此f(x)=x-1,所以f(x)是奇函数.故选A.2.(文)函数y=x在[-1,1]上是( )A.增函数且是奇函数 B.增函数且是偶函数C.减函数且是奇函数D.减函数且是偶函数[答案] A[解析] ∵的分子分母都是奇数,∴f(-x)=(-x)=-x=-f(x),∴f(x)为奇函数,又>0,∴f(x)在第一象限内是增函数,又f(x)为奇函数,∴f(x)在[-1,1]上是增函数.(理)设a∈{-1,1,,3},则使函数y=xα的定义域为R且该函数为奇函数的所有α值为( )A.1,3 B.-1,1C.-1,3D.-1,1,3[答案] A[解析] 在函数y=x-1,y=x,y=x,y=x3中,只有函数y=x和y=x3的定义域是R,且是奇函数,故α=1或3.14\n3.设a=0.50.5,b=0.30.5,c=log0.30.2,则a、b、c的大小关系是( )A.a>b>cB.a<b<cC.b<a<cD.a<c<b[答案] C[分析] a、b的指数相同,可以构建幂函数,使用幂函数的单调性比较大小,再构造对数函数以确定c与1的大小关系,然后综合作出判断.[解析] 根据幂函数y=x0.5在(0,+∞)上单调递增,可得0.30.5<0.50.5<10.5=1,即b<a<1;根据对数函数y=log0.3x在(0,+∞)上单调递减,可得log0.30.2>log0.30.3=1,即c>1.所以b<a<c.故选C.4.幂函数y=x-1及直线y=x、y=1、x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“区域”:①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧(如图所示),那么幂函数y=x的图象经过的“区域”是( )A.⑧,③B.⑦,③C.⑥,②D.⑤,①[答案] C[解析] y=x是增函数,∵>1,∴其图象向下凸,过点(0,0),(1,1),故经过区域②,⑥.5.给出以下几个幂函数fi(x)(i=1,2,3,4),其中f1(x)=x,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=.若gi(x)=fi(x)+3x(i=1,2,3,4).则能使函数gi(x)有两个零点的幂函数有( )14\nA.0个B.1个C.2个D.3个[答案] B[解析] 函数gi(x)的零点就是方程gi(x)=0的根,亦即方程fi(x)+3x=0的根,也就是函数fi(x)与y=-3x的图象的交点,作出函数fi(x)(i=1,2,3,4)的图象,可知只有f2(x)的图象与y=-3x的图象有两个不同的交点,故能使gi(x)有两个零点的幂函数只有f2(x),选B.6.(2011·青岛一中模拟)函数f(x)=(m2-m-1)xm2-2m-3是幂函数,且在(0,+∞)上是减函数,则实数m的值为( )A.2B.3C.4D.5[答案] A[解析] 由题意知m2-m-1=1,得m=-1或m=2,又由题意知m2-2m-3<0,得m=2.故选A.7.(文)幂函数y=f(x)的图象过点,那么f′(8)的值为________.[答案] -[解析] 设f(x)=xα,由条件知=4α,∴α=-,∴f(x)=x,∴f′(x)=-x,∴f′(8)=-.(理)若幂函数f(x)的图象经过点A,设它在A点处的切线为l,则过点A与l垂直的直线方程为________.[答案] 4x+4y-3=0[解析] 设f(x)=xα,∵f(x)图象过点A,∴α=,∴α=.∴f(x)=x,∴f′(x)=,∴f′=1,故切线的斜率为1,从而与l垂直的直线斜率为-1,故过A与l垂直的直线方程为y-=-1×,14\n即4x+4y-3=0.8.已知函数f(x)=x的定义域是非零实数,且在(-∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上是减函数,则最小的自然数a=________.[答案] 3[解析] ∵f(x)的定义域是{x|x∈R且x≠0},∴<0,∴a>1.又∵f(x)在(-∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上是减函数,∴f(x)为偶函数,∵a∈N,∴a的最小值为3.9.(文)(2011·淮北模拟)已知函数f(x)=x-1,若f(a+1)<f(10-2a),则a的取值范围是________.[答案] (-∞,-1)∪(3,5)[解析] 由题意,得或或∴a<-1或3<a<5.(理)若函数f(x)=(a、b、c,d∈R),其图象如图所示,则a:b:c:d=________.[答案] 1:(-6):5:(-8)[解析] 由图象知,x≠1且x≠5,故ax2+bx+c=0的两根为1,5.∴∴又f(3)=2,∴d=18a+6b+2c=-8a.14\n故a:b:c:d=1:(-6):5:(-8).10.函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象的示意图如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1)、B(x2,y2),且x1<x2.(1)请指出示意图中曲线C1、C2分别对应哪一个函数?(2)若x1∈[a,a+1],x2∈[b,b+1],且a、b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},指出a、b的值,并说明理由;(3)结合函数图象示意图,请把f(8)、g(8)、f(2012)、g(2012)四个数按从小到大的顺序排列.[解析] (1)C1对应函数g(x)=x3,C2对应函数f(x)=2x.(2)由于交点A(x1,y1),B(x2,y2),令h(x)=f(x)-g(x),显然有h(1)=f(1)-g(1)=1>0,h(2)=f(2)-g(2)=-4<0,h(9)=29-93=-217<0,h(10)=24>0,∴x1∈[1,2],x2∈[9,10],∴a=1,b=9.(3)由幂函数及指数函数增长率可知,f(8)<g(8)<g(2012)<f(2012).能力拓展提升11.(文)y=|x-|的图象为( )14\n[答案] A[解析] y=|x-|为偶函数,故选A.(理)(2012·潍坊市高三模拟)定义一种运算:a⊗b=已知函数f(x)=2x⊗(3-x),那么函数y=f(x+1)的大致图象是( )[答案] B14\n[解析] 如图.在同一坐标系内分别作出y=2x与y=3-x的图象,据已知函数f(x)的定义知,相同x对应的上方图象即为函数f(x)的图象(如实线部分所示),然后将其图象左平移1个单位即得函数y=f(x+1)的图象,故选B.12.(文)幂函数y=xα(α≠0),当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线(如图).设点A(1,0),B(0,1),连接AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα,y=xβ的图象三等分,即有BM=MN=NA.那么,αβ=( )A.1 B.2 C.3 D.无法确定[答案] A[解析] 由条件知,M、N,∴=α,=β,∴αβ=α=α=,∴αβ=1.故选A.(理)函数y=ax+b的图象如图所示,则函数y=b+的大致图象为( )14\n[答案] C[解析] 由函数y=ax+b的图象知0<a<1,b<-1,∵函数y=b+的图象可视作函数y=的图象,向左平移a个单位,向下平移-b个单位得到的图象,即其中心(-a,b)应位于第三象限,故选C.13.(2012·湖北重点中学联考)已知a=ln-,b=ln-,c=ln-,则( )A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a[答案] A[解析] 记f(x)=lnx-x,则f′(x)=-1=,当0<x<1时,f′(x)>0,14\n所以函数f(x)在(0,1)上是增函数.∵1>>>>0,∴a>b>c,选A.14.(文)函数f(x)=若f(x0)>1,则x0的取值范围是________.[答案] x0<-1或x0>1[解析] 当x0≤0时,不等式可化为2-x0-1>1,即2-x0>2,解得x0<-1;当x0>0时,不等式可化为x0>1,解得x0>1,故x0的取值范围是x0<-1或x0>1.(理)在y=()x,y=log2x,y=x2,y=x四个函数中,当0<x1<x2<1时,使f()>恒成立的函数个数是________.[答案] 2个[解析] 当0<x1<x2<1时,使f()>恒成立,说明函数图形是向上凸的,而所考查函数图象只有y=log2x,y=x两个符合要求.15.已知f(x)=xα(其中α=,n是偶数)的图象在[0,+∞)上单调递增,解不等式f(x2-x)>f(x+3).[解析] 由条件知>0,即-n2+2n+3>0,解得-1<n<3.又n是偶数,∴n=0,2.当n=0,2时,f(x)=x.∴f(x)在R上单调递增.∴f(x2-x)>f(x+3)转化为x2-x>x+3,解得x<-1或x>3,∴原不等式的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞).16.(文)已知函数f(x)=,g(x)=.(1)证明f(x)是奇函数,并求其单调区间;(2)分别计算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3)的值,并由此概括一个涉及函数f(x)、g(x)的对所有非零实数x都成立的等式,并证明.14\n[解析] (1)证明:因为f(x)的定义域(-∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称,又f(-x)==-=-f(x),所以f(x)是奇函数.设x1<x2,x1,x2∈(0,+∞),则f(x1)-f(x2)=,∵,∴f(x1)-f(x2)<0.故f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数.又因为f(x)是奇函数,所以f(x)在(-∞,0)上也是单调递增函数,即f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和(0,+∞).(2)经过计算可得f(4)-5f(2)g(2)=0,f(9)-5f(3)g(3)=0,由此可得对所有非零实数x都成立的一个等式是f(x2)-5f(x)g(x)=0.证明如下:(理)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)且满足f(-1)=0,对任意实数x,恒有f(x)-x≥0,并且当x∈(0,2)时,有f(x)≤2.(1)求f(1)的值;(2)证明a>0,c>0;(3)当x∈[-1,1]时,函数g(x)=f(x)-mx(x∈R)是单调函数,求证:m≤0或m≥1.[解析] (1)对x∈R,f(x)-x≥0恒成立,当x=1时,f(1)≥1,又∵1∈(0,2),由已知得f(1)≤2=1,∴1≤f(1)≤1,∴f(1)=1.(2)证明:∵f(1)=1,f(-1)=0,∴a+b+c=1,14\na-b+c=0,∴b=.∴a+c=.∵f(x)-x≥0对x∈R恒成立,∴ax2-x+c≥0对x∈R恒成立,∴∴∴c>0,故a>0,c>0.(3)证明:∵a+c=,ac≥,由a>0,c>0及a+c≥2,得ac≤,∴ac=,当且仅当a=c=时,取“=”.∴f(x)=x2+x+.∴g(x)=f(x)-mx=x2+x+=[x2+(2-4m)x+1].∵g(x)在[-1,1]上是单调函数,∴2m-1≤-1或2m-1≥1,∴m≤0或m≥1.1.(2011·山东济南调研)下面给出4个幂函数的图象,则图象与函数的大致对应是( )A.①y=x,②y=x2,③y=x,④y=x-1B.①y=x3,②y=x2,③y=x,④y=x-1C.①y=x2,②y=x3,③y=x,④y=x-114\nD.①y=x,②y=x,③y=x2,④y=x-1[答案] B[解析] y=x2为偶函数,对应②;y=x定义域x≥0,对应③;y=x-1为奇函数,且图象与坐标轴不相交,对应④;y=x3与y=x均为奇函数,但y=x3比y=x增长率大,故①对应y=x3.2.有min{a,b}表示a、b两数中的最小值,若函数f(x)=min{|x|,|x+t|}的图象关于直线x=-对称,则t的值为( )A.-2B.2C.-1D.1[答案] D[解析] 如图,要使f(x)=min{|x|,|x+t|}的图象关于直线x=-对称,则t=1.3.(2011·新课标全国文,12)已知函数y=f(x)的周期为2,当x∈[-1,1]时f(x)=x2,那么函数y=f(x)的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有( )A.10个B.9个C.8个D.1个[答案] A[解析] 由y=f(x)与y=|lgx|图象(如图)可知,选A.14\n4.已知函数f(x)=若方程f(x)=x+a有且只有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围是________.[答案] (-∞,1)[解析] 在同一直角坐标系内画出函数y=f(x)和y=x+a的图象如图可知a<1.5.(2012·浙江余姚中学模拟)已知实数a、b满足等式log2a=log3b,给出下列五个关系式:①a>b>1;②b>a>1;③a<b<1;④b<a<1;⑤a=b.其中可能的关系式是________.[答案] ②④⑤[解析] 由已知log2a=log3b,在同一坐标系中作出函数y=log2x,y=log3x的图象,当纵坐标相等时,可以得到相应横坐标的大小关系,从而得出②④⑤可能成立.14\n6.已知幂函数f(x)的图象过点(,2)且幂函数g(x)=xm2-m-2(m∈Z)的图象与x轴、y轴都无公共点,且关于y轴对称.(1)求f(x)、g(x)的解析式;(2)当x为何值时①f(x)>g(x);②f(x)=g(x);③f(x)<g(x).[解析] (1)设f(x)=xα,∵f(x)的图象过点(,2),∴2=()α,∴α=2,∴f(x)=x2;又g(x)=xm2-m-2的图象与x轴、y轴都无公共点,∴m2-m-2≤0,∴-1≤m≤2.∵m∈Z,∴m=0或±1或2,当m=0或1时,g(x)=x-2是偶函数,图象关于y轴对称,当m=-1或2时,y=x0也满足,故g(x)=x-2或g(x)=x0.(2)若g(x)=x0=1,则由f(x)>g(x)得,x2>1,∴x>1或x<-1.故x>1或x<-1时,f(x)>g(x),x=±1时,f(x)=g(x),-1<x<0或0<x<1时,f(x)<g(x).若g(x)=x-2,则由f(x)>g(x)得,x2>,∴x4>1,∴x>1或x<-1,故当x>1或x<-1时,有f(x)>g(x);当x=±1时,f(x)=g(x);当-1<x<0或0<x<1时,f(x)<g(x).综上知,x>1或x<-1时,f(x)>g(x);x=±1时,f(x)=g(x);-1<x<0或0<x<1时,f(x)<g(x).14
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