【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第9章 第3节 圆的方程（含解析）北师大版

【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第9章第3节圆的方程北师大版一、选择题1．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　)A．[－3，－1]B．[－1,3]C．[－3,1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)[答案]　C[解析]　本题考查直线与圆的位置关系．圆的圆心为(a,0)，半径为，所以≤，即|a＋1|≤2，∴－2≤a＋1≤2，∴－3≤a≤1.2．平移直线x－y＋1＝0使其与圆(x－2)2＋(y－1)2＝1相切，则平移的最短距离为(　　)A．－1B．2－C．D．－1与＋1[答案]　A[解析]　如图，圆心(2,1)到直线l0：x－y＋1＝0的距离d＝＝，圆的半径为1，则直线l0与l1的距离为－1，所以平移的最短距离为－1.3．圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线y＝x对称的圆的方程为(　　)A．(x－2)2＋y2＝5B．x2＋(y－2)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5D．x2＋(y＋2)2＝5[答案]　D[解析]　由题意知所求圆的圆心坐标为(0，－2)，所以所求圆的方程为x2＋(y＋2)2＝5.4．(文)若圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O的方程是(　　)A．(x－)2＋y2＝5B．(x＋)2＋y2＝5C．(x－5)2＋y2＝5D．(x＋5)2＋y2＝5[答案]　D[解析]　考查了圆的标准方程及点到直线的距离．-6-\n设圆心为(a,0)，由题意r＝＝，∴|a|＝5，a<0，∴a＝－5，∴方程为(x＋5)2＋y2＝5.(理)圆心在y轴上且通过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是(　　)A．x2＋y2＋10y＝0B．x2＋y2－10y＝0C．x2＋y2＋10x＝0D．x2＋y2－10x＝0[答案]　B[解析]　设圆心为(0，b)，半径为R，则R＝|b|，∴圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2，∵点(3,1)在圆上，∴9＋(1－b)2＝b2，解得：b＝5，∴圆的方程为x2＋y2－10y＝0.5．若曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上相异两点P、Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为(　　)A．1B．－1C．D．2[答案]　D[解析]　由条件知直线kx＋2y－4＝0是线段PQ的中垂线．∴直线过圆心(－1,3)，∴k＝2.6．(2022·北京高考)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m>0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为(　　)A．7B．6C．5D．4[答案]　B[解析]　设P(x0，y0)，则＝(x0＋m，y0)，＝(x0－m，y0)，而·＝(x0＋m)(x0－m)＋y＝0，即x＋y＝m2，即求圆上的点到坐标原点的距离的最大值，由图知m的最大值为|OP|max＝|OC|＋1＝5＋1＝6.-6-\n二、填空题7．圆(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0的圆心坐标为________．[答案]　(－－1)[解析]　圆方程(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0可化为(x＋)2＋(y＋1)2＝，所以圆心坐标为(－，－1)．8．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0.那么当圆面积最大时，圆心为________．[答案]　(0，－1)[解析]　将方程配方得(x＋)2＋(y＋1)2＝－k2＋1.∴r2＝1－k2>0，rmax＝1，此时k＝0.∴圆心为(0，－1)．9．已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为________．[答案]　(x－2)2＋y2＝10[解析]　本题考查了圆的方程的求法，关键是设出圆心坐标．设圆心坐标为(a,0)，则有：(a－5)2＋12＝(a－1)2＋32，解得：a＝2，半径r＝＝，故圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.三、解答题10．根据下列条件，求圆的方程．(1)圆心在原点且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成12两部分的圆的方程；(2)求经过两已知圆C1x2＋y2－4x＋2y＝0与C2x2＋y2－2y－4＝0的交点，且圆心在直线l2x＋4y＝1上的圆的方程．[分析]　用直接法或待定系数法．[解析]　(1)如图，因为圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成12两部分，所以∠AOB＝120°.而圆心到直线3x＋4y＋15＝0的距离d＝＝3，在△AOB中，可求得OA＝6.所以所求圆的方程为x2＋y2＝36.-6-\n(2)由题意可设圆的方程为λ(x2＋y2－4x＋2y)＋(x2＋y2－2y－4)＝0，(λ≠－1)，即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2－4λx＋(2λ－2)y－4＝0，圆心坐标为(，)，代入l2x＋4y＝1，得λ＝3.所以所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0.一、选择题1．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴均相切，则该圆的标准方程是(　　)A．(x－3)2＋(y－)2＝1B．(x－2)2＋(y－1)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．(x－)2＋(y－1)2＝1[答案]　B[解析]　设圆心为(a，b)(a>0，b>0)，依题意有＝b＝1，∴a＝2，b＝1，∴圆的标准方程(x－2)2＋(y－1)2＝1，故选B．2．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离为1，则半径r的取值范围是(　　)A．(4,6)B．[4,6)C．(4,6]D．[4,6][答案]　A[解析]　因为圆心(3，－5)到直线4x－3y－2＝0的距离为5，所以当半径r＝4时，圆上有1个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，当半径r＝6时，圆上有3个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，所以圆上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1时，4<r<6.二、填空题3．关于方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0表示的圆，下列叙述中：-6-\n①关于直线x＋y＝0对称；②其圆心在x轴上；③过原点；④半径为A．其中叙述正确是________．(要求写出所有正确命题的序号)[答案]　①③[解析]　圆心为(－a，a)，半径为|a|，故①③正确．4．设P(x，y)是圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点，若不等式x＋y＋c≥0恒成立，则c的取值范围是________．[答案]　[－1，＋∞)[解析]　不等式x＋y＋c≥0恒成立，即c≥－(x＋y)恒成立．问题转化为求－(x＋y)的最大值．设－(x＋y)＝t，即x＋y＋t＝0，由＝1得tmax＝－1.所以c≥－1.所以c的取值范围是[－1，＋∞)．三、解答题5．根据下列条件，求圆的方程.(1)经过坐标原点和点P(1,1)，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上.(2)过P(4，－2)、Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4.[解析]　(1)显然，所求圆的圆心在OP的垂直平分线上，OP的垂直平分线方程为：＝，即x＋y－1＝0.解方程组，得圆心C的坐标为(4，－3)．又圆的半径r＝|OC|＝5，∴所求圆的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25.(2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.①将P、Q点的坐标分别代入①得：令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0.④由已知|y1－y2|＝4，其中y1、y2是方程④的两根．∴(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.⑤解②、③、⑤组成的方程组，得或故所求圆的方程为-6-\nx2＋y2－2x－12＝0，或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.6．在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线y＝x相切于坐标原点O.(1)求圆C的方程；(2)试探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．[解析]　(1)设圆C的圆心为C(a，b)，则圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝8，∵直线y＝x与圆C相切于原点O.∴O点在圆C上，且OC垂直于直线y＝x，于是有⇒或由于点C(a，b)在第二象限，故a<0，b>0.∴圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.(2)假设存在点Q符合要求，设Q(x，y)，则有解之得x＝或x＝0(舍去)．所以存在点Q(，)，使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长．-6-