【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第11章 第3节 二项式定理 理（含解析）北师大版

【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第11章第3节二项式定理(理)北师大版一、选择题1．(2022·湖北高考)若二项式(2x＋)7的展开式中的系数是84，则实数a＝(　　)A．2B．C．1　　　　D．[答案]　C[解析]　二项式(2x＋)7的通项公式为Tr＋1＝C(2x)7－r()r＝C27－rarx7－2r，令7－2r＝－3，得r＝5.故展开式中的系数是C22a5＝84，解得a＝1.2．(＋)n的展开式只有第六项的二项式系数最大，则展开式的常数项是(　　)A．360B．180C．90D．45[答案]　B[解析]　由题意可知，n＝10.通项为Tr＋1＝C()10－r()r＝22Cx，令＝0，得r＝2.故其常数项为22C＝180.3．若二项式(x2－)n的展开式中二项式系数的和是64，则展开式中的常数项是(　　)A．－240B．－160C．160D．240[答案]　D[解析]　由2n＝64，得n＝6.于是，二项式(x2－)6的展开式的通项为Tr＋1＝Cx2(6－r)(－)r＝(－2)rCx12－3r，令12－3r＝0，得r＝4，故其常数项为(－2)4C＝240.4．(2022·烟台模拟)在(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，x4的系数是(　　)A．25B．35-5-\nC．45D．55[答案]　D[解析]　二项式(1＋x)5中x4的系数为C，二项式(1＋x)6中x4的系数为C，二项式(1＋x)7中x4的系数为C，故(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中x4的系数为C＋C＋C＝55，故选D．5．(2022·浙江高考)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝(　　)A．45B．60C．120D．210[答案]　C[解析]　本题考查组合应用及二项式定理．由条件得f(m，n)＝C·C，∴f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝CC＋CC＋CC＋CC＝20＋60＋36＋4＝120，选C．6．如果(3x－)n的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中的系数是(　　)A．7B．－7C．21D．－21[答案]　C[解析]　由题意可知，2n＝128，解得n＝7.(3x－)7的通项为Tr＋1＝C(3x)7－r(－)r＝(－1)r37－rCx7－，令7－＝－3，得r＝6.其系数为(－1)6·37－6·C＝21.二、填空题7．在二项式(＋)n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则n＝________.[答案]　3[解析]　由题意可知，B＝2n，A＝4n，由A＋B＝72，得4n＋2n＝72，即2n＝8，n＝3.8．若(x＋)n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为______．[答案]　56-5-\n[解析]　本小题主要考查了二项式定理中通项公式的运用．依题意：C＝C，得：n＝8.∵(x＋)8展开式中通项公式为Tr＋1＝Cx8－2r，∴令8－2r＝－2，即r＝5，∴C＝56，即为所求．本题是常规题型，关键考查通项公式求特定项．9．(2022·开封第一次模拟)(x＋)6的展开式中的常数项为________．[答案]　[解析]　二项式(x＋)6的展开式的通项是Tr＋1＝C·x6－r·()r＝C·2－r·x6－2r，令6－2r＝0得r＝3.因此二项式(x＋)6的展开式中的常数项等于C·()3＝.三、解答题10．在二项式n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．(1)求展开式的第四项；(2)求展开式的常数项；(3)求展开式的各项系数的和．[解析]　第一项系数的绝对值为C，第二项系数的绝对值为，第三项系数的绝对值为，依题意有C＋＝×2，解得n＝8.(1)第四项T4＝C()53＝－7x.(2)通项公式为Tk＋1＝C()8－kk＝Ck·()8－2k，展开式的常数项满足8－2k＝0，即k＝4，所以常数项为T5＝C·4＝.(3)令x＝1，得展开式的各项系数的和为8＝＝.一、选择题1．设函数f(x)＝则当x>0时，f[f(x)]表达式的展开式中常数项为(　　)A．－20B．20C．－15D．15[答案]　A-5-\n[解析]　当x>0时，f(x)＝－<0，∴f[f(x)]＝f(－)＝(－＋)6＝(－)6，展开式中通项为Tr＋1＝C()6－r(－)r＝C(－1)rx3－r，令r＝3，T4＝C(－1)3＝－20，故选A．2．在n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是(　　)A．－7B．7C．－28D．28[答案]　B[解析]　由题意可知n＝8，Tr＋1＝C8－rr＝8－r(－1)rC·x8－r.∴r＝6，∴2×(－1)6C＝7.二、填空题3．(2022·保定调研)若(sinφ＋x)5的展开式中x3的系数为2，则cos2φ＝________.[答案]　[解析]　由二项式定理得，x3的系数为Csin2φ＝2，∴sin2φ＝，cos2φ＝1－2sin2φ＝.4．(2022·安徽高考)设a≠0，n是大于1的自然数，(1＋)n的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…anxn.若点Ai(i，ai)(i＝0,1,2)的位置如图所示，则a＝________.[答案]　3[解析]　本题考查二项式定理．A0(0,1)，A1(1,3)，A2(2,4)，-5-\n∴a0＝1，a1＝3，a2＝4，即，∴，3a(3a－1)＝8a2，∴a＝3.三、解答题5．(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．[解析]　T6＝C(2x)5，T7＝C(2x)6，依题意有C·25＝C·26⇒n＝8.∴(1＋2x)8的展开式中二项式系数最大的项为T5＝C(2x)4＝1120x4，设第r＋1项系数最大，则有，⇒⇒⇒⇒5≤r≤6.又∵r∈N，∴r＝5或r＝6，∴系数最大的项为T6＝1792x5，T7＝1792x6.6．已知在二项式(axm＋bxn)12中，a>0，b>0，mn≠0且2m＋n＝0.(1)如果在它的展开式中，系数最大的项是常数项，则它是第几项？(2)在(1)的条件下，求的取值范围．[解析]　(1)设Tk＋1＝C(axm)12－k·(bxn)k＝Ca12－kbkxm(12－k)＋nk为常数项，则有m(12－k)＋nk＝0，即m(12－k)－2mk＝0.∵m≠0，∴k＝4，∴它是第5项．(2)∵第5项是系数最大的项，∴由①得≤，由②得≥，∴≤≤.-5-