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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第4章 第6节 正弦定理和余弦定理(含解析)北师大版
【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第4章 第6节 正弦定理和余弦定理(含解析)北师大版
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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第4章第6节正弦定理和余弦定理北师大版一、选择题1.在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3,则AC=( )A.4 B.2C. D.[答案] B[解析] 本题考查“已知两角及一角的对边”解三角形,由正弦定理得:=,即AC=2.2.(2022·广东高考)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,则“a≤b”是“sinA≤sinB”的( )A.充分必要条件 B.充分非必要条件C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件[答案] A[解析] 本题考查三角形内角和,诱导公式及充要条件.由a≤b得A≤B.当B为锐角时,sinA≤sinB;当B为直角时,sinA≤sinB;当B为钝角时,π-B=A+C>A,此时π-B为锐角,所以sin(π-B)>sinA,即sinB>sinA,综上:sinA≤sinB.反之亦成立,选A.3.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,C.若B=2A,a=1,b=,则c=( )A.2 B.2C. D.1[答案] B[解析] 本题考查正弦定理、二倍角公式等.由正弦定理得===,即2sinAcosA=sinA,又sinA>0,∴cosA=,A=,B=,C=,∴c=2.4.(文)在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,则A的取值范围是( )A.(0,] B.[,π)-10-\nC.(0,] D.[,π)[答案] C[解析] 本题主要考查正余弦定理,∵sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,∴由正弦定理得:a2≤b2+c2-bc,即b2+c2-a2≥bc,由余弦定理得:cosA=≥=,∴0<A≤,故选C.(理)在△ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若a2+b2=2c2,则cosC的最小值为( )A. B.C. D.-[答案] C[解析] 本题考查了余弦定理、基本不等式等知识.由余弦定理知c2=a2+b2-2abcosC,∵a2+b2=2c2,∴c2=2abcosC,又由2c2=a2+b2≥2ab得c2≥ab,∴cosC=≥,故选C.5.(2022·新课标Ⅱ)钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=( )A.5 B.C.2 D.1[答案] B[解析] 本题考查余弦定理及三角形的面积公式.∵S△ABC=acsinB=··1·sinB=,∴sinB=,∴B=或.当B=时,经计算△ABC为等腰直角三角形,不符合题意,舍去.∴B=,根据余弦定理,-10-\nb2=a2+c2-2accosB,解得b=,故选B.6.△ABC中,a2tanB=b2tanA,则三角形的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形[答案] C[解析] 由正弦定理得sin2AtanB=sin2BtanA,sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B.又因为A,B∈(0,π),所以A=B或A+B=90°.二、填空题7.(文)(2022·湖北高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,C.已知A=,a=1,b=,则B=________.[答案] 或[解析] 本题考查正弦定理.由正弦定理得=,所以sinB=.又因为b>a,所以B=或.(理)(2022·天津高考)在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,已知b-c=a,2sinB=3sinC,则cosA的值为________.[答案] -[解析] ∵2sinB=3sinC,∴2b=3c,又∵b-c=a,∴b=a,c=a,∴cosA===-.8.(文)在△ABC中,若a=3,b=,∠A=,则∠C的大小为________.[答案] -10-\n[解析] 本题考查已知两边及其一边的对角解三角形,由正弦定理得=,即=,∴sinB=,又∵a>b,∴A>B,∴B=.又A+B+C=π,∴C=.(理)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若<cosA,则△ABC为________.[答案] 钝角三角形[解析] ∵△ABC中,<cosA,∴c<bcosA,由正弦定理得sinC<sinBcosA,∴sin(A+B)<sinBcosA,∴sinAcosB+cosAsinB<sinBcosA,∴sinAcosB<0.又sinA>0,∴cosB<0.故B为钝角.∴△ABC为钝角三角形.9.在△ABC中,BC=a,AC=b,a、b是方程x2-2x+2=0的两根,且2cos(A+B)=1,则AB=________.[答案] [解析] 设AB=c,∵∴cosC=-.又∵cosC====-,∴c2=10,∴c=,即AB=.三、解答题10.在△ABC中,已知a=,b=,B=45°,求A、C和C.[分析] 已知两边和其中一边的对角解三角形问题,可运用正弦定理来求解,但应注意解的情况.或借助余弦定理,先求出边c后,再求出角C与角A.[解析] 解法1:∵B=45°<90°,且b<a,∴问题有两解.-10-\n由正弦定理,得sinA===,∴A=60°或A=120°.(1)当A=60°时,C=180°-A-B=75°,∴c===.(2)当A=120°时,C=180°-A-B=15°,∴c===.故A=60°,C=75°,c=或A=120°,C=15°,c=.解法2:由余弦定理有b2=a2+c2-2accosB,即()2=()2+c2-2ccos45°,整理得c2-c+1=0,解得c=或c=.又cosA=,①当a=,b=,c=时,由①可得cosA=-,故A=120°;当a=,b=,c=时,由①可得cosA=,故A=60°.故A=60°,C=75°,c=或A=120°,C=15°,c=.一、选择题1.(文)在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知a、b、c成等比数列,且a+c=3,tanB=,则△ABC的面积为( )-10-\nA. B.C. D.[答案] A[解析] 因为a、b、c成等比数列,所以b2=aC.又b2=a2+c2-2accosB,a+c=3,tanB=,故得sinB=,cosB=,ac=2.所以S△ABC=acsinB=×2×=.(理)设△ABC的内角A,B,C,所对边的长分别为a,b,c若b+c=2a,3sinA=5sinB,则角C=( )A. B.C. D.[答案] B[解析] 本题考查了三角形的余弦定理、正弦定理.由3sinA=5sinB得3a=5b,又已知b+c=2A.∴a=b,c=b,cosC===-.又∵0<c<π,∴C=π.2.(文)若满足条件C=60°,AB=,BC=a的△ABC有两个,那么a的取值范围是( )A.(1,) B.(,)C.(,2) D.(1,2)[答案] C[解析] 由正弦定理得:=,∴a=2sinA.∵C=60°,∴0°<A<120°.又∵△ABC有两个,-10-\n∴asin60°<<a,即<a<2.(理)锐角三角形ABC中,a、b、c分别是三内角A、B、C的对边,设B=2A,则的取值范围是( )A.(-2,2) B.(0,2)C.(,2) D.(,)[答案] D[解析] ∵===2cosA,又△ABC是锐角三角形,∴∴30°<A<45°,则=2cosA∈(,),故选D.二、填空题3.(2022·北京高考)在△ABC中,a=1,b=2,cosC=,则c=________;sinA=________.[答案] 2 [解析] 本题考查了余弦定理,同角基本关系式及正弦定理.c2=a2+b2-2abcosC=1+4-2×1×2×=4,∴c=2,∵cosC=,∴sinC=,由正弦定理得=,∴sinA=.4.在△ABC中,已知(b+c)(c+a)(a+b)=456,给出下列结论:①由已知条件,这个三角形被唯一确定;②△ABC一定是钝角三角形;③sinAsinBsinC=753;④若b+c=8,则△ABC的面积为.其中正确结论的序号是________.[答案] ②③[解析] 由条件可设∴故①不正确;-10-\n由余弦定理可得cosA=-,A=120°,故②正确;由正弦定理得sinAsinBsinC=abc=753,故③正确;当b+c=4k=8时,则k=2,故三角形三边分别为7,5,3,所以S△ABC=bcsinA=×5×3×sin120°=,故④不正确.三、解答题5.(文)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,C.已知3cos(B-C)-1=6cosBcosC.(1)求cosA;(2)若a=3,△ABC的面积为2,求b,C.[解析] (1)由3cos(B-C)-1=6cosBcosC知3(cosBcosC+sinBsinC)-1=6cosBcosC,3(cosBcosC-sinBsinC)=-1,即cos(B+C)=-,又A+B+C=π,∴cosA=-cos(B+C)=.(2)由0<A<π及cosA=知sinA=,又S△ABC=2,即bcsinA=2,∴bc=6.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得b2+c2=13,∴,∴或.(理)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,C.已知A=,bsin(+C)-csin(+B)=A.(1)求证:B-C=;(2)若a=,求△ABC的面积.[解析] (1)由bsin(+C)-csin(+B)=a,应用正弦定理,得sinBsin(+C)-sinCsin(+B)=sinA,sinB(sinC+cosC)-sinC(sinB+cosB)=.-10-\n整理得 sinBcosC-cosBsinC=1.即sin(B-C)=1.由于0<B,C<π,从而B-C=.(2)B+C=π-A=,因此B=,C=.由a=,A=,得b==2sin,c==2sin,所以△ABC的面积S=bcsinA=sin·sin=cossin=.6.(文)(2022·山东高考)△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、C.已知a=3,cosA=,B=A+.(1)求b的值;(2)求△ABC的面积.[解析] (1)∵cosA=.0<A<π.∴sinA=.又B=A+.∴sinB=sin(A+)=cosA=.又a=3.∴由正弦定理得.=,即=∴b=3.(2)∵cosB=cos(A+)=-sinA=-,∴在△ABC中,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=×(-)+×=∴S△ABC=absinC=×3×3×=.(理)(2022·辽宁高考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c,已知·=2,cosB=,b=3,求:(1)a和c的值;(2)cos(B-C)的值.-10-\n[解析] (1)由·=2得c·acosB=2.又cosB=,所以ac=6.由余弦定理得a2+c2=b2+2accosB.又b=3,所以a2+c2=9+2×6×=13.解得a=2,c=3或a=3,c=2.因为a>c,所以a=3,c=2.(2)在△ABC中,sinB===.由正弦定理,得sinC=sinB=×=.因为a=b>c,所以C为锐角,因此cosC===.于是cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC=·+·=.-10-
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:13:51
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