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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第4章 第6节 正弦定理和余弦定理(含解析)新人教B版
【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第4章 第6节 正弦定理和余弦定理(含解析)新人教B版
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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第4章第6节正弦定理和余弦定理新人教B版一、选择题1.(文)在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,若a=2,b=2,且三角形有两解,则角A的取值范围是( )A. B.C.D.[答案] A[解析] 由条件知bsinA<a,即2sinA<2,∴sinA<,∵a<b,∴A<B,∴A为锐角,∴0<A<.(理)在△ABC中,已知A=60°,b=4,为使此三角形只有一解,a满足的条件是( )A.0<a<4 B.a=6C.a≥4或a=6D.0<a≤4或a=6[答案] C[解析] ∵b·sinA=4·sin60°=6,∴要使△ABC只有一解,应满足a=6或a≥4.如图顶点B可以是B1、B2或B3.2.(2022·上海杨浦质量调研)设锐角△ABC的三内角A,B,C所对边分别为a,b,c,且a=1,B=2A,则b的取值范围为( )A.(,)B.(1,)C.(,2)D.(0,2)[答案] A[解析] 由==,则b=2cosA.<A+B=3A<π,从而<A<,又B=2A<,所以A<,所以有<A<,<cosA<,所以<b<.3.(文)在△ABC中,角A、B、C所对的边长分别为a、b、c.若∠C=120°,c=a,则( )A.a>bB.a<bC.a=bD.a与b的大小关系不能确定[答案] A-8-\n[解析] ∵∠C=120°,c=a,c2=a2+b2-2abcosC∴a2-b2=ab,又∵a>0,b>0,∴a-b=>0,所以a>b.(理)在△ABC中,内角A、B、C的对边分别是a、b、c.若a2-b2=bc,sinC=2sinB,则A=( )A.30°B.60°C.120°D.150°[答案] A[解析] 由sinC=2sinB可得c=2b,由余弦定理得cosA====,于是A=30°.4.(2022·东北三省三校二模)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=,则B=( )A.B.C.D.[答案] C[解析] ∵==,∴c2-b2=ac-a2,∴a2+c2-b2=ac,∴2accosB=ac,∴cosB=,∵B∈(0,π),∴B=.5.(2022·大城一中月考)在△ABC中,·=|-|=3,则△ABC面积的最大值为( )A.B.C.D.3[答案] B[解析] 设角A、B、C所对的边分别为a、b、c,∵·=|-|=3,∴bccosA=a=3.又cosA=≥1-=1-,∴cosA≥,∴0<sinA≤,∴△ABC的面积S=bcsinA=tanA≤×=,故△ABC面积的最大值为.6.(文)(2022·青岛模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若角A,B,C依次成等差数列,且a=1,b=,则S△ABC等于( )A.B.C.D.2[答案] C-8-\n[解析] 由角A,B,C依次成等差数列,得A+C=2B,解得B=.由余弦定理得()2=1+c2-2ccos,解得c=2或c=-1(舍去).于是,S△ABC=acsinB=×1×2sin=.(理)(2022·浙江宁波十校联考)在△ABC中,a2tanB=b2tanA,则角A与角B的关系是( )A.A=BB.A+B=90°C.A=B或A+B=90°D.A=B且A+B=90°[答案] C[解析] 由已知条件a2tanB=b2tanA⇒sin2A=sin2B,因为A,B为三角形内角,所以有2A=2B或2A+2B=180°,即A=B或A+B=90°.二、填空题7.(2022·弋阳一中月考)在直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A(-1,0),C(1,0),顶点B在椭圆+=1上,则的值为________.[答案] 2[解析] 由题意知△ABC中,AC=2,BA+BC=4,由正弦定理得==2.8.(2022·江西四校联考)△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,已知c=3,C=,a=2b,则b的值为________.[答案] [解析] 依题意及余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,即9=(2b)2+b2-2×2b×bcos,解得b2=3,∴b=.9.(文)在锐角△ABC中,边长a=1,b=2,则边长c的取值范围是________.[答案] <c<[解析] 边c最长时(c≥2),cosC==>0,∴c2<5.∴2≤c<.边b最长时(c<2),cosB==>0,∴c2>3.∴<c<2.综上,<c<.(理)在△ABC中,C=60°,a、b、c分别为A、B、C的对边,则+=________.[答案] 1[解析] ∵C=60°,∴a2+b2-c2=ab,∴(a2+ac)+(b2+bc)=(b+c)(a+c),∴+=1.三、解答题10.(文)(2022·安徽理)设△-8-\nABC的内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c且b=3,c=1,A=2B.(1)求a的值;(2)求sin(A+)的值.[解析] (1)因为A=2B,所以sinA=sin2B=2sinBcosB,由正、余弦定理得a=2b·,因为b=3,c=1,所以a2=12,a=2.(2)由余弦定理得cosA===-,由于0<A<π,所以sinA===,故sin(A+)=sinAcos+cosAsin=×+(-)×=.(理)(2022·陕西理)△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c.(1)若a、b、c成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C);(2)若a、b、c成等比数列,求cosB的最小值.[解析] (1)∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b,由正弦定理得sinA+sinC=2sinB.∵sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),∴sinA+sinC=2sin(A+C).(2)∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac,由余弦定理得cosB==≥=,当且仅当a=c时,等号成立.∴cosB的最小值为.一、选择题11.(文)(2022·呼和浩特第一次统考)在△ABC中,如果sinA=sinC,B=30°,角B所对的边长b=2,则△ABC的面积为( )A.4 B.1 C. D.2[答案] C[解析] 据正弦定理将角化边得a=c,再由余弦定理得c2+(c)2-2c2cos30°=4,解得c=2,故S△ABC=×2×2×sin30°=.(理)(2022·浙江金丽衢十二校联考)在△ABC中,a,b,c分别为三个内角A,B,C所对的边,且b2+c2=a2+bc,则2sinBcosC-sin(B-C)的值为( )-8-\nA.B.C.D.[答案] D[解析] 利用余弦定理,得cosA===,又A∈(0,π),所以A=,B+C=,所以2sinBcosC-sin(B-C)=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=.12.(2022·浙江五校第二次联考)若△ABC的内角A,B,C对边分别为a,b,c,且a=1,∠B=45°,S△ABC=2,则b=( )A.5B.25C.D.5[答案] A[解析] 解法1:由S△ABC=acsin45°=2⇒c=4,再由余弦定理可得b=5.解法2:作三角形ABC中AB边上的高CD,在Rt△BDC中求得高CD=,结合面积求得AB=4,AD=,从而b==5.13.(2022·长春市调研)△ABC各角的对应边分别为a,b,c,满足+≥1,则角A的取值范围是( )A.(0,]B.(0,]C.[,π)D.[,π)[答案] A[解析] 由+≥1得:b(a+b)+c(a+c)≥(a+c)(a+b),化简得:b2+c2-a2≥bc,同除以2bc得,≥,即cosA≥,因为0<A<π,所以0<A≤,故选A.14.若AB=2,AC=BC,则S△ABC的最大值为( )A.2B.C.D.3[答案] A-8-\n[解析] 设BC=x,则AC=x,根据面积公式得S△ABC=×AB×BCsinB=x ①,根据余弦定理得cosB=== ②,将②代入①得,S△ABC=x=,由三角形的三边关系得,解得2-2<x<2+2,故当x=2时,S△ABC取得最大值2,故选A.二、填空题15.(文)(2022·河南名校联考)若△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a+b)2-c2=4,且C=60°,则ab的值为________.[答案] [解析] ∵(a+b)2-c2=4,∴a2+b2-c2=4-2ab=2abcos60°,∴ab=.(理)(2022·衡水中学5月模拟)在△ABC中,P是BC边中点,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c+a+b=0,则△ABC的形状为________.[答案] 等边三角形[解析] ∵c+a+b=0,∴(a-c)+b+c=0,∵P为BC的中点,∴=-,∴(a-c)+(b-c)=0,∵与不共线,∴a-c=0,b-c=0,∴a=b=c.16.(2022·吉林九校联合体联考)在△ABC中,C=60°,AB=,AB边上的高为,则AC+BC=________.[答案] [解析] 由条件××=AC·BC·sin60°,∴AC·BC=,由余弦定理知AC2+BC2-3=2AC·BC·cos60°,∴AC2+BC2=3+AC·BC,∴(AC+BC)2=AC2+BC2+2AC·BC=3+3AC·BC=11,∴AC+BC=.三、解答题17.(文)(2022·浙江理)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=,cos2A-cos2B=sinAcosA-sinBcosB.(1)求角C的大小;(2)若sinA=,求△ABC的面积.[解析] (1)由已知cos2A-cos2B=sinAcosA-sinBcosB得.(1+cos2A)-(1+cos2B)=sin2A-sin2B,-8-\n∴cos2A-sin2A=cos2B-sin2B,即sin(-+2A)=sin(-+2B),∴-+2A=-+2B或-+2A-+2B=π,即A=B或A+B=,∵a≠b,∴A+B=,∴∠C=.(2)由(1)知sinC=,cosC=,∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=由正弦定理得:=,又∵c=,sinA=.∴a=.∴S△ABC=acsinB=.(理)(2022·沈阳市东北育才学校一模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且C=,sinA=.(1)求sinB的值;(2)若c-a=5-,求△ABC的面积.[解析] (1)因为C=,sinA=,所以cosA==,由已知得B=-A.所以sinB=sin(-A)=sincosA-cossinA=·-·=.(2)由(1)知C=,所以sinC=且sinB=.由正弦定理得==.又因为c-a=5-,所以c=5,a=.所以S△ABC=acsinB=××5×=.18.(文)(2022·广东五校协作体第二次联考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,S是△ABC的面积.-8-\n若a=(2cosB,1),b=(-1,1),且a∥b.(1)求tanB+sinB的值;(2)若a=8,S=8,求tanA的值.[解析] (1)∵a∥b,∴2cosB=-1,cosB=-.∵B∈(0,π),∴B=,∴tanB+sinB=-+=-.(2)S=acsinB=2c=8,∴c=4.方法一:由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=112,∴b=4.再由余弦定理得cosA=.∵A为锐角,∴tanA=.方法二:由正弦定理得sinA=2sinC.∵B=,∴A+C=,∴C=-A.∴sinA=2sin(-A),即sinA=cosA-sinA.∴cosA=2sinA,∴tanA=.(理)(2022·福建莆田一中月考)已知a=(2cosx+2sinx,1),b=(y,cosx),且a∥b.(1)将y表示成x的函数f(x),并求f(x)的最小正周期;(2)记f(x)的最大值为M,a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C对应的边长,若f()=M,且a=2,求bc的最大值.[解析] (1)由a∥b得2cos2x+2sinxcosx-y=0,即y=2cos2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x+1=2sin(2x+)+1,所以f(x)=2sin(2x+)+1.又T===π,所以函数f(x)的最小正周期为π.(2)由(1)易得M=3,于是由f()=M=3,即2sin(A+)+1=3,得sin(A+)=1,因为A为三角形的内角,故A=.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,解得bc≤4,当且仅当b=c=2时,bc取最大值4.-8-
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:13:51
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