【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第4章 第7节 正弦定理、余弦定理的应用举例（含解析）北师大版

【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第4章第7节正弦定理、余弦定理的应用举例北师大版一、选择题1．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)A．北偏东10°　B．北偏西10°C．南偏东10°　D．南偏西10°[答案]　B[解析]　由图可知∠ACB＝180°－(40°＋60°)＝80°，∵AC＝BC，∴∠A＝∠CBA＝(180°－80°)＝50°.∵CE∥BD，∠CBD＝∠BCE＝60°，∴∠ABD＝∠CBD－∠CBA＝60°－50°＝10°，∴灯塔A在灯塔B的北偏西10°.2．一船向正北航行，看见正西方向有相距10nmile的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这只船的速度是每小时(　　)A．5nmile　B．5nmileC．10nmile　D．10nmile[答案]　C[解析]　依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，可得AB＝5，于是这只船的速度是＝10(nmile/h)．3．如图，为了测量隧道AB的长度，给定下列四组数据无法求出AB长度的是(　　)A．α，a，b　B．α，β，aC．a，b，γ　D．α，β，γ[答案]　D-9-\n[解析]　利用余弦定理，可由a，b，γ或α，a，b求出AB；利用正弦定理，可由a，α，β求出AB，当只知α，β，γ时，无法计算AB．4．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)A．10海里　B．10海里C．20海里　D．20海里[答案]　A[解析]　如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，解得BC＝10(海里)5．(文)已知A、B两地间的距离为10km，B、C两地间的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地间的距离为(　　)A．10km　B．kmC．10km　D．10km[答案]　D[解析]　利用余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°＝102＋202－2×10×20×(－)＝700，∴AC＝10(km)．(理)如图所示，D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝a，从C、D两点测得A点的仰角分别是β、α(α<β)，则点A离地面的高度AB等于(　　)A．　B．C．　D．[答案]　A[解析]　在△ADC中，∠DAC＝β－α，由正弦定理，＝，得AC＝.在Rt△ABC中，AB＝AC·sinβ＝.-9-\n6．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是(　　)A．50m　B．100mC．120m　D．150m[答案]　A[解析]　设水柱高度是hm，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m.二、填空题7．(文)(2022·新课标Ⅰ)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m.[答案]　150[解析]　本题考查解三角形中的应用举例．在Rt△ABC中，BC＝100，∠CAB＝45°，∴AC＝100.在△AMC中，∠CAM＝75°，∠ACM＝60°，∴∠AMC＝45°.由正弦定理知＝，∴AM＝100.在Rt△AMN中，∠NAM＝60°，∴MN＝AM·sin60°＝100×＝150(m)．(理)(2022·四川高考)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46m，则河流的宽度BC约等于________m．-9-\n(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73)[答案]　60[解析]　本题考查了运用正弦定理解三角形．由条件可得：AC＝92，AB＝，＝，∴BC＝≈60.8．我舰在岛A南50°西12nmile的B处，发现敌舰正从岛沿北10°西的方向以每小时10nmile的速度航行，若我舰要用2h追上敌舰，则速度为________．[答案]　14nmile/h[解析]　设我舰在C处追上敌舰，速度为v，则在△ABC中，AC＝20，AB＝12，∠BAC＝120°.∴BC2＝784，∴v＝14nmile/h.9．(文)如图，一艘船上午930在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午1000到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8nmile.此船的航速是________nmile/h.[答案]　32[解析]　设航速长vnmile/h在△ABS中，AB＝v，BS＝8，∠BSA＝45°，由正弦定理得：＝，∴v＝32.(理)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________m.-9-\n[答案]　15[解析]　由已知可得∠DBC＝135°，在△DBC中，由正弦定理可得＝，BC＝＝＝15，∴AB＝BCtan60°＝15×＝15.三、解答题10．如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA＝，cosC＝.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？[解析]　(1)在△ABC中，因为cosA＝，cosC＝，所以sinA＝，sinC＝.从而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝.由正弦定理＝，得AB＝×sinC＝×＝1040(m)．-9-\n所以索道AB的长为1040m.(2)假设乙出发tmin后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130tm，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t2－70t＋50)，因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t＝(min)时，甲、乙两游客距离最短.一、选择题1．据新化社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是(　　)A．米　B．10米C．米　D．20米[答案]　A[解析]　如图所示，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则∠ABO＝45°，∠AOB＝75°，∴∠OAB＝60°.由正弦定理知，＝，∴AO＝(米)．2．(2022·贵阳模拟)如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18km，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1km)(　　)A．11.4　B．6.6C．6.5　D．5.6[答案]　B[解析]　AB＝1000×1000×＝(m)，-9-\n∴BC＝·sin30°＝(m)．∴航线离山顶h＝×sin75°≈11.4(km)．∴山高为18－11.4＝6.6(km)．二、填空题3．在直径为30m的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆形，且其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则光源的高度为________m.[答案]　5[解析]　轴截面如图，则光源高度h＝＝5(m)．4．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50s，升旗手应以________m/s的速度匀速升旗？[答案]　0.6[解析]　在△BCD中，∠BDC＝45°，∠CBD＝30°，CD＝10(m)，由正弦定理，得BC＝＝20(m)；在Rt△ABC中，AB＝BCsin60°＝20×＝30(m)．所以升旗速度v＝＝＝0.6(m/s)．三、解答题5．(文)要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，求电视塔的高度．-9-\n[解析]　如图，设电视塔AB的高为xm，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°得BC＝x.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，∴BC＝x.在△BDC中，由余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°，即(x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，解得x＝40，∴电视塔高为40米．(理)如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°、30°，于水面C处测得B点和D点仰角均为60°，AC＝0.1km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D的距离(计算结果精确到0.01km，≈1.414，≈2.449)．[分析]　→→→→[解析]　在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1，又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA．在△ABC中，＝，所以AB＝＝.同理，BD＝≈0.33(km)．故B、D的距离约为0.33km.6．某海域内一观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东50°且与A相距80海里的位置B，经过1小时又测得该船已行驶到点A北偏东50°＋θ(其中sinθ＝，0°<θ<90°)且与A相距60海里的位置C．(1)求该船的行驶速度；(2)若该船不改变航行方向继续向前行驶，求船在行驶过程中离观测站A的最近距离．[解析]　(1)如图(1)，AB＝80，AC＝60，∠BAC＝θ，sinθ＝.-9-\n由于0°<θ<90°，所以cosθ＝＝.由余弦定理得BC＝＝40，所以船的行驶速度为40海里/小时．(2)在△ABC中，由正弦定理得＝，∴sin∠ABC＝＝60×＝，自A作BC的垂线，交BC的延长线于D，则AD的长是船离观测站的最近距离．在Rt△ABD中，AD＝ABsin∠ABD＝80×＝15(海里)，∴船在行驶过程中离观测站A最近距离为15海里．-9-