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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第4章 第6节 正弦定理和余弦定理(含解析)新人教A版
【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第4章 第6节 正弦定理和余弦定理(含解析)新人教A版
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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第4章第6节正弦定理和余弦定理新人教A版一、选择题1.(文)已知△ABC中,a=、b=、B=60°,那么角A等于( )A.135° B.90°C.45° D.30°[答案] C[解析] 由正弦定理得,=,sinA===,又∵a<b,∴A<B,故A=45°,选C.(理)在△ABC中,角A、B、C的对边长分别为a、b、c,已知A=,a=,b=1,则c等于( )A.1 B.2C.-1 D.[答案] B[解析] 解法1:由正弦定理=得,=,∴sinB=,故B=30°或150°.由a>b得A>B,∴B=30°.故C=90°,由勾股定理得c=2,选B.解法2:由余弦定理知,3=c2+1-2ccos,即c2-c-2=0,∴c=2或-1(舍去).2.(2022·上海杨浦质量调研)设锐角△ABC的三内角A,B,C所对边分别为a,b,c,且a=1,B=2A,则b的取值范围为( )A.(,) B.(1,)C.(,2) D.(0,2)[答案] A[解析] 由==,则b=2cosA.<A+B=3A<π,从而<A<,又B=2A<-10-\n,所以A<,所以有<A<,<cosA<,所以<b<.3.(文)在△ABC中,a、b、c分别是三内角A、B、C的对边,且sin2A-sin2C=(sinA-sinB)sinB,则角C等于( )A. B.C. D.[答案] B[解析] 由正弦定理得a2-c2=(a-b)·b=ab-b2,由余弦定理得cosC==,∵0<C<π,∴C=.(理)(2022·浙江调研)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若sin2B+sin2C-sin2A+sinBsinC=0,则tanA的值是( )A. B.-C. D.-[答案] D[解析] 依题意及正弦定理可得,b2+c2-a2=-bc,则由余弦定理得cosA===-,又0<A<π,所以A=,tanA=tan=-,选D.4.(文)(2022·合肥二检)△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若<cosA,则△ABC为( )A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.等边三角形[答案] A[解析] 依题意得<cosA,sinC<sinBcosA,所以sin(A+B)<sinBcosA,即sinBcosA+cosBsinA-sinBcosA<0,所以cosBsinA<0.又sinA>0,于是有cosB<0,B为钝角,△ABC是钝角三角形,选A.-10-\n(理)(2022·东北三省三校二模)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=,则B=( )A. B.C. D.[答案] C[解析] ∵==,∴c2-b2=ac-a2,∴a2+c2-b2=ac,∴2accosB=ac,∴cosB=,∵B∈(0,π),∴B=.5.(文)(2022·呼和浩特第一次统考)在△ABC中,如果sinA=sinC,B=30°,角B所对的边长b=2,则△ABC的面积为( )A.4 B.1 C. D.2[答案] C[解析] 据正弦定理将角化边得a=c,再由余弦定理得c2+(c)2-2c2cos30°=4,解得c=2,故S△ABC=×2×2×sin30°=.(理)△ABC中,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边,如果a、b、c成等差数列,∠B=30°,△ABC的面积为0.5,那么b为( )A.1+ B.3+C. D.2+[答案] C[解析] acsinB=,∴ac=2,又2b=a+c,∴a2+c2=4b2-4,由余弦定理b2=a2+c2-2accosB得,b=.6.(2022·辽宁沈阳二中期中)△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asinBcosC+csinB·cosA=b,且a>b,则∠B=( )A. B.-10-\nC. D.[答案] A[解析] 因为asinBcosC+csinBcosA=b,所以sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB,即sin(A+C)=,a>b,所以A+C=,B=,故选A.二、填空题7.(2022·弋阳一中月考)在直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A(-1,0),C(1,0),顶点B在椭圆+=1上,则的值为________.[答案] 2[解析] 由题意知△ABC中,AC=2,BA+BC=4,由正弦定理得==2.8.(2022·江西四校联考)△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,已知c=3,C=,a=2b,则b的值为________.[答案] [解析] 依题意及余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,即9=(2b)2+b2-2×2b×bcos,解得b2=3,∴b=.9.在△ABC中,三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若b=,B=,tanC=2,则c=________.[答案] 2[解析] ⇒sin2C=⇒sinC=.由正弦定理,得=,∴c=×b=2.三、解答题10.(2022·陕西理)△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c.(1)若a、b、c成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C);(2)若a、b、c成等比数列,求cosB的最小值.[解析] (1)∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b,-10-\n由正弦定理得sinA+sinC=2sinB.∵sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),∴sinA+sinC=2sin(A+C).(2)∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac,由余弦定理得cosB==≥=,当且仅当a=c时,等号成立.∴cosB的最小值为.一、选择题11.(文)(2022·东北三省四市二联)若满足条件AB=,C=的三角形ABC有两个,则边长BC的取值范围是( )A.(1,) B.(,)C.(,2) D.(,2)[答案] C[解析] 解法一:若满足条件的三角形有两个,则=sinC<sinA<1,又因为==2,故BC=2sinA,所以<BC<2,故选C.解法二:由条件知,BCsin<<BC,∴<BC<2.(理)在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,若a=2,b=2,且三角形有两解,则角A的取值范围是( )A. B.C. D.[答案] A[解析] 由条件知bsinA<a,即2sinA<2,∴sinA<,∵a<b,∴A<B,∴A为锐角,∴0<A<.-10-\n12.(2022·长春市调研)△ABC各角的对应边分别为a,b,c,满足+≥1,则角A的取值范围是( )A.(0,] B.(0,]C.[,π) D.[,π)[答案] A[解析] 由+≥1得:b(a+b)+c(a+c)≥(a+c)(a+b),化简得:b2+c2-a2≥bc,同除以2bc得,≥,即cosA≥,因为0<A<π,所以0<A≤,故选A.13.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b2+c2-a2=bc且b=a,则△ABC不可能是( )A.等腰三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.锐角三角形[答案] D[解析] 由cosA==,可得A=,又由b=a可得==2sinB=,可得sinB=,得B=或B=,若B=,则△ABC为直角三角形;若B=,C==A,则△ABC为钝角三角形且为等腰三角形,由此可知△ABC不可能为锐角三角形,故应选D.14.(2022·大城一中月考)在△ABC中,·=|-|=3,则△ABC面积的最大值为( )A. B.C. D.3[答案] B[解析] 设角A、B、C所对的边分别为a、b、c,∵·=|-|=3,∴bccosA=a=3.又cosA=≥1-=1-,∴cosA≥,∴0<sinA≤,∴△ABC-10-\n的面积S=bcsinA=tanA≤×=,故△ABC面积的最大值为.二、填空题15.(文)(2022·河南名校联考)若△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a+b)2-c2=4,且C=60°,则ab的值为________.[答案] [解析] ∵(a+b)2-c2=4,∴a2+b2-c2=4-2ab=2abcos60°,∴ab=.(理)(2022·衡水中学5月模拟)在△ABC中,P是BC边中点,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c+a+b=0,则△ABC的形状为________.[答案] 等边三角形[解析] ∵c+a+b=0,∴(a-c)+b+c=0,∵P为BC的中点,∴=-,∴(a-c)+(b-c)=0,∵与不共线,∴a-c=0,b-c=0,∴a=b=c.16.(文)在△ABC中,C=60°,a、b、c分别为A、B、C的对边,则+=________.[答案] 1[解析] ∵C=60°,∴a2+b2-c2=ab,∴(a2+ac)+(b2+bc)=(b+c)(a+c),∴+=1.(理)(2022·吉林九校联合体联考)在△ABC中,C=60°,AB=,AB边上的高为,则AC+BC=________.[答案] [解析] 由条件××=AC·BC·sin60°,∴AC·BC=,由余弦定理知AC2+BC2-3=2AC·BC·cos60°,∴AC2+BC2=3+AC·BC,∴(AC+BC)2=AC2+BC2+2AC·BC=3+3AC·BC=11,∴AC+BC=.-10-\n三、解答题17.(文)(2022·安徽理)设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c且b=3,c=1,A=2B.(1)求a的值;(2)求sin(A+)的值.[解析] (1)因为A=2B,所以sinA=sin2B=2sinBcosB,由正、余弦定理得a=2b·,因为b=3,c=1,所以a2=12,a=2.(2)由余弦定理得cosA===-,由于0<A<π,所以sinA===,故sin(A+)=sinAcos+cosAsin=×+(-)×=.(理)(2022·浙江理)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=,cos2A-cos2B=sinAcosA-sinBcosB.(1)求角C的大小;(2)若sinA=,求△ABC的面积.[解析] (1)由已知cos2A-cos2B=sinAcosA-sinBcosB得.(1+cos2A)-(1+cos2B)=sin2A-sin2B,∴cos2A-sin2A=cos2B-sin2B,即sin(-+2A)=sin(-+2B),∴-+2A=-+2B或-+2A-+2B=π,即A=B或A+B=,-10-\n∵a≠b,∴A+B=,∴∠C=.(2)由(1)知sinC=,cosC=,∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=由正弦定理得:=,又∵c=,sinA=.∴a=.∴S△ABC=acsinB=.18.(文)(2022·广东五校协作体第二次联考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,S是△ABC的面积.若a=(2cosB,1),b=(-1,1),且a∥b.(1)求tanB+sinB;(2)若a=8,S=8,求tanA的值.[解析] (1)∵a∥b,∴2cosB=-1,cosB=-.∵B∈(0,π),∴B=,∴tanB+sinB=-+=-.(2)S=acsinB=2c=8,∴c=4.方法一:由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=112,∴b=4.再由余弦定理得cosA=.∵A为锐角,∴tanA=.方法二:由正弦定理得sinA=2sinC.∵B=,∴A+C=,∴C=-A.∴sinA=2sin(-A),即sinA=cosA-sinA.∴cosA=2sinA,∴tanA=.-10-\n(理)(2022·福建莆田一中月考)已知a=(2cosx+2sinx,1),b=(y,cosx),且a∥b.(1)将y表示成x的函数f(x),并求f(x)的最小正周期;(2)记f(x)的最大值为M,a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C对应的边长,若f()=M,且a=2,求bc的最大值.[解析] (1)由a∥b得2cos2x+2sinxcosx-y=0,即y=2cos2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x+1=2sin(2x+)+1,所以f(x)=2sin(2x+)+1.又T===π,所以函数f(x)的最小正周期为π.(2)由(1)易得M=3,于是由f()=M=3,即2sin(A+)+1=3,得sin(A+)=1,因为A为三角形的内角,故A=.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,解得bc≤4,当且仅当b=c=2时,bc取最大值4.-10-
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:13:51
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