【高考讲坛】2023高考数学一轮复习 第3章 第7节 正弦定理、余弦定理的应用举例课后限时自测 理 苏教版

【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第3章第7节正弦定理、余弦定理的应用举例课后限时自测理苏教版[A级　基础达标练]一、填空题1．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的________．①北偏东10°；②北偏西10°；③南偏东10°；④南偏西10°[解析]　灯塔A，B的相对位置如图所示，由已知得∠ACB＝80°，∠CAB＝∠CBA＝50°，则α＝60°－50°＝10°即北偏西10°.[答案]　②2．已知两座灯塔A、B与C的距离都是a，灯塔A在C的北偏东20°，灯塔B在C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为________．[解析]　如图所示，由余弦定理可知，AB2＝a2＋a2－2a·a·cos120°＝3a2得AB＝a.[答案]　a3．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边长之比为8∶5，则这个三角形的面积为________．[解析]　设另两边长为8x与5x，则cos60°＝，7\n解得x＝2，两边长为16与10，所以此三角形的面积为×16×10sin60°＝×16×10×＝40.[答案]　404．一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是________海里/小时．[解析]　如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，可得AB＝5，于是这只船的速度是10海里/小时．[答案]　105．(2014·广州调研)如图3711所示，长为3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4m的地面上，另一端B在离堤足C处2.8m的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tanα＝________m.图3711[解析]　由题意，在△ABC中，AB＝3.5m，AC＝1.4m，BC＝2.8m且∠α＋∠ACB＝π由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB，即3．52＝1.42＋2.82－2×1.4×2.8×cos(π－α)．∴cosα＝(计算有技巧：等式两边同除以0.72)．∴sinα＝，∴tanα＝＝.[答案]　6．某人站在60米高的楼顶A处测量电视塔的高度，测得塔顶C的仰角为30°，塔底B的俯角为15°，已知楼底部D和电视塔的底部B在同一水平面上，则电视塔的高度为________米．7\n[解析]　如图所示，用AD表示楼高，BC表示塔高，设AE与水平面平行，E在线段BC上，因为∠CAE＝30°，∠BAE＝15°，AD＝BE＝60，则AE＝＝＝120＋60，在Rt△AEC中，CE＝AE·tan30°＝(120＋60)×＝60＋40.所以电视塔的高度为60＋40＋60＝(120＋40)米．[答案]　120＋407．(2014·常州模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点距离为________海里．图3712[解析]　由已知可得，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，从而∠ACB＝45°.在△ABC中，由正弦定理，BC＝×sin30°＝10.[答案]　108．(2014·宿迁调研)如图3713，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m,50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为________．图3713[解析]　依题意，得AD＝20m，AC＝30m.在△ACD中，CD＝50m，由余弦定理，cos∠CAD＝＝＝，又0°<∠CAD<180°，∴∠CAD＝45°，即张角为45°.7\n[答案]　45°二、解答题9．(2014·常州二模)如图3714所示，一辆汽车从O点出发沿一条直线公路以50千米/时的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向)，汽车开动的同时，在距汽车出发点O点的距离为5千米、距离公路线的垂直距离为3千米的M点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机．问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少千米？图3714[解]　作MH垂直公路所在直线于点H，则MH＝3千米，又∵OM＝5千米，∴OH＝4千米，∴cos∠MOH＝，设骑摩托车人的速度为v千米/时，追上汽车的时间为t小时，追上汽车的地点为N.在△MON中，由余弦定理得MN2＝OM2＋ON2－2OM·ONcos∠MON，即(vt)2＝52＋(50t)2－2×5×50t×，∴v2＝－＋2500＝252＋900，∴当t＝时，v取得最大值30，其行驶距离为vt＝＝千米故骑摩托车的人至少以30千米/时的速度行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了千米．10．(2014·徐州模拟)某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观察点A，B，且AB长为80米，当航模在C处时，测得∠ABC＝105°和∠BAC＝30°，经过20秒后，航模直线航行到D处，测得∠BAD＝90°和∠ABD＝45°.请你根据以上条件求出航模的速度．(答案保留根号)7\n图3715[解]　在△ABD中，∵∠BAD＝90°，∠ABD＝45°，∴∠ADB＝45°，∴AD＝AB＝80，∴BD＝80.在△ABC中，＝，∴BC＝＝＝40.在△DBC中，DC2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos60°＝(80)2＋(40)2－2×80×40×＝9600.∴DC＝40，航模的速度v＝＝2米/秒．答：航模的速度为2米/秒．[B级　能力提升练]一、填空题1.如图3716所示，要在山坡上A、B两点处测量与地面垂直的铁塔CD的高，从A、B两处测得塔顶C的仰角分别为60°和45°，AB长为40m，山坡与水平面成30°，则铁塔CD高为________m.图3716[解析]　由已知可得∠CAD＝∠ACD＝30°，∠CBA＝∠ACB＝15°，∴AD＝CD，AB＝AC，在△ACD中，由余弦定理得AC2＝2CD2－2CD2·cos120°，即402＝3CD2，∴CD＝(m)．7\n[答案]　(m)2．某城市有一块不规则的绿地如图3717所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝14，BC＝10，AC＝16，∠C＝∠D.则AB的长度为________．图3717[解析]　在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC＝356－320cosC，①在△ABD中，由余弦定理及∠C＝∠D整理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcosD＝392－392cosC，②由①②得：356－320cosC＝392－392cosC，整理可得，cosC＝，又∠C为三角形的内角，所以C＝60°，又∠C＝∠D，AD＝BD，所以△ABD是等边三角形，故AB＝14.[答案]　14二、解答题3．(2014·南通期末测试)如图3718，港口A在港口O的正东120海里处，小岛B在港口O的北偏东60°的方向，且在港口A北偏西30°的方向上．一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东30°的OD方向以20海里/小时的速度驶离港口O.一艘给养快艇从港口A以60海里/小时的速度驶向小岛B，在B岛转运补给物资后以相同的航速送往科考船．已知两船同时出发，补给装船时间为1小时．图3718(1)求给养快艇从港口A到小岛B的航行时间；(2)给养快艇驶离港口A后，最少经过多少时间能和科考船相遇？[解]　(1)由题意知，在△OAB中，OA＝120，∠AOB＝30°，∠OAB＝60°.于是AB7\n＝60，而快艇的速度为60海里/小时，所以快艇从港口A到小岛B的航行时间为1小时．(2)由(1)知，给养快艇从港口A驶离2小时后，从小岛B出发与科考船汇合．为使航行的时间最少，快艇从小岛B驶离后必须按直线方向航行，设t小时后恰与科考船在C处相遇．在△OAB中，可计算得OB＝60，而在△OCB中，BC＝60t，OC＝20(2＋t)，∠BOC＝30°，由余弦定理，得BC2＝OB2＋OC2－2OB·OC·cos∠BOC，即(60t)2＝(60)2＋[20(2＋t)]2－2×60×20(2＋t)×，亦即8t2＋5t－13＝0，解得t＝1或t＝－(舍去)．故t＋2＝3，即给养快艇驶离港口A后，最少经过3小时能和科考船相遇．7