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【高考讲坛】2023高考数学一轮复习 第3章 第7节 正弦定理、余弦定理的应用举例课后限时自测 理 苏教版

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【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第3章第7节正弦定理、余弦定理的应用举例课后限时自测理苏教版[A级 基础达标练]一、填空题1.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站北偏东40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的________.①北偏东10°;②北偏西10°;③南偏东10°;④南偏西10°[解析] 灯塔A,B的相对位置如图所示,由已知得∠ACB=80°,∠CAB=∠CBA=50°,则α=60°-50°=10°即北偏西10°.[答案] ②2.已知两座灯塔A、B与C的距离都是a,灯塔A在C的北偏东20°,灯塔B在C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为________.[解析] 如图所示,由余弦定理可知,AB2=a2+a2-2a·a·cos120°=3a2得AB=a.[答案] a3.三角形的一边长为14,这条边所对的角为60°,另两边长之比为8∶5,则这个三角形的面积为________.[解析] 设另两边长为8x与5x,则cos60°=,7\n解得x=2,两边长为16与10,所以此三角形的面积为×16×10sin60°=×16×10×=40.[答案] 404.一船向正北方向航行,看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60°方向,另一灯塔在船的南偏西75°方向,则这只船的速度是________海里/小时.[解析] 如图所示,依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°,从而CD=CA=10,在直角三角形ABC中,可得AB=5,于是这只船的速度是10海里/小时.[答案] 105.(2014·广州调研)如图3711所示,长为3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处1.4m的地面上,另一端B在离堤足C处2.8m的石堤上,石堤的倾斜角为α,则坡度值tanα=________m.图3711[解析] 由题意,在△ABC中,AB=3.5m,AC=1.4m,BC=2.8m且∠α+∠ACB=π由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB,即3.52=1.42+2.82-2×1.4×2.8×cos(π-α).∴cosα=(计算有技巧:等式两边同除以0.72).∴sinα=,∴tanα==.[答案] 6.某人站在60米高的楼顶A处测量电视塔的高度,测得塔顶C的仰角为30°,塔底B的俯角为15°,已知楼底部D和电视塔的底部B在同一水平面上,则电视塔的高度为________米.7\n[解析] 如图所示,用AD表示楼高,BC表示塔高,设AE与水平面平行,E在线段BC上,因为∠CAE=30°,∠BAE=15°,AD=BE=60,则AE===120+60,在Rt△AEC中,CE=AE·tan30°=(120+60)×=60+40.所以电视塔的高度为60+40+60=(120+40)米.[答案] 120+407.(2014·常州模拟)一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行,30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是东偏南20°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B、C两点距离为________海里.图3712[解析] 由已知可得,∠BAC=30°,∠ABC=105°,AB=20,从而∠ACB=45°.在△ABC中,由正弦定理,BC=×sin30°=10.[答案] 108.(2014·宿迁调研)如图3713,两座相距60m的建筑物AB,CD的高度分别为20m,50m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为________.图3713[解析] 依题意,得AD=20m,AC=30m.在△ACD中,CD=50m,由余弦定理,cos∠CAD===,又0°<∠CAD<180°,∴∠CAD=45°,即张角为45°.7\n[答案] 45°二、解答题9.(2014·常州二模)如图3714所示,一辆汽车从O点出发沿一条直线公路以50千米/时的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向),汽车开动的同时,在距汽车出发点O点的距离为5千米、距离公路线的垂直距离为3千米的M点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机.问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望,此时他驾驶摩托车行驶了多少千米?图3714[解] 作MH垂直公路所在直线于点H,则MH=3千米,又∵OM=5千米,∴OH=4千米,∴cos∠MOH=,设骑摩托车人的速度为v千米/时,追上汽车的时间为t小时,追上汽车的地点为N.在△MON中,由余弦定理得MN2=OM2+ON2-2OM·ONcos∠MON,即(vt)2=52+(50t)2-2×5×50t×,∴v2=-+2500=252+900,∴当t=时,v取得最大值30,其行驶距离为vt==千米故骑摩托车的人至少以30千米/时的速度行驶才能实现他的愿望,此时他驾驶摩托车行驶了千米.10.(2014·徐州模拟)某航模兴趣小组的同学,为了测定在湖面上航模航行的速度,采用如下办法:在岸边设置两个观察点A,B,且AB长为80米,当航模在C处时,测得∠ABC=105°和∠BAC=30°,经过20秒后,航模直线航行到D处,测得∠BAD=90°和∠ABD=45°.请你根据以上条件求出航模的速度.(答案保留根号)7\n图3715[解] 在△ABD中,∵∠BAD=90°,∠ABD=45°,∴∠ADB=45°,∴AD=AB=80,∴BD=80.在△ABC中,=,∴BC===40.在△DBC中,DC2=DB2+BC2-2DB·BCcos60°=(80)2+(40)2-2×80×40×=9600.∴DC=40,航模的速度v==2米/秒.答:航模的速度为2米/秒.[B级 能力提升练]一、填空题1.如图3716所示,要在山坡上A、B两点处测量与地面垂直的铁塔CD的高,从A、B两处测得塔顶C的仰角分别为60°和45°,AB长为40m,山坡与水平面成30°,则铁塔CD高为________m.图3716[解析] 由已知可得∠CAD=∠ACD=30°,∠CBA=∠ACB=15°,∴AD=CD,AB=AC,在△ACD中,由余弦定理得AC2=2CD2-2CD2·cos120°,即402=3CD2,∴CD=(m).7\n[答案] (m)2.某城市有一块不规则的绿地如图3717所示,城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志,小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD,经测量AD=BD=14,BC=10,AC=16,∠C=∠D.则AB的长度为________.图3717[解析] 在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosC=356-320cosC,①在△ABD中,由余弦定理及∠C=∠D整理得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcosD=392-392cosC,②由①②得:356-320cosC=392-392cosC,整理可得,cosC=,又∠C为三角形的内角,所以C=60°,又∠C=∠D,AD=BD,所以△ABD是等边三角形,故AB=14.[答案] 14二、解答题3.(2014·南通期末测试)如图3718,港口A在港口O的正东120海里处,小岛B在港口O的北偏东60°的方向,且在港口A北偏西30°的方向上.一艘科学考察船从港口O出发,沿北偏东30°的OD方向以20海里/小时的速度驶离港口O.一艘给养快艇从港口A以60海里/小时的速度驶向小岛B,在B岛转运补给物资后以相同的航速送往科考船.已知两船同时出发,补给装船时间为1小时.图3718(1)求给养快艇从港口A到小岛B的航行时间;(2)给养快艇驶离港口A后,最少经过多少时间能和科考船相遇?[解] (1)由题意知,在△OAB中,OA=120,∠AOB=30°,∠OAB=60°.于是AB7\n=60,而快艇的速度为60海里/小时,所以快艇从港口A到小岛B的航行时间为1小时.(2)由(1)知,给养快艇从港口A驶离2小时后,从小岛B出发与科考船汇合.为使航行的时间最少,快艇从小岛B驶离后必须按直线方向航行,设t小时后恰与科考船在C处相遇.在△OAB中,可计算得OB=60,而在△OCB中,BC=60t,OC=20(2+t),∠BOC=30°,由余弦定理,得BC2=OB2+OC2-2OB·OC·cos∠BOC,即(60t)2=(60)2+[20(2+t)]2-2×60×20(2+t)×,亦即8t2+5t-13=0,解得t=1或t=-(舍去).故t+2=3,即给养快艇驶离港口A后,最少经过3小时能和科考船相遇.7

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发布时间:2022-08-25 17:50:38 页数:7
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文章作者:U-336598

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