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【高考讲坛】2023高考数学一轮复习 第2章 第12节 导数的综合应用课后限时自测 理 苏教版
【高考讲坛】2023高考数学一轮复习 第2章 第12节 导数的综合应用课后限时自测 理 苏教版
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【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第2章第12节导数的综合应用课后限时自测理苏教版[A级 基础达标练]一、填空题1.(2014·南京、盐城模拟)函数f(x)=(x2+x+1)ex(x∈R)的单调递减区间为________.[解析] 令f′(x)=(2x+1)ex+(x2+x+1)ex=(x2+3x+2)ex<0,解得-2<x<-1.[答案] (-2,-1)2.已知f(x)=1+x-sinx,试比较f(2),f(3),f(π)的大小为________.[解析] f′(x)=1-cosx,当x∈(0,π]时,f′(x)>0.∴f(x)在(0,π]上是增函数,∴f(π)>f(3)>f(2).[答案] f(π)>f(3)>f(2)3.(2014·镇江模拟)已知函数f(x)=lnx+2x,若f(x2+2)<f(3x),则实数x的取值范围是________.[解析] 由f(x)=lnx+2x,得f′(x)=+2xln2>0,x∈(0,+∞),∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(x2+2)<f(3x),得0<x2+2<3x,∴x∈(1,2).[答案] (1,2)4.(2013·四川高考改编)设函数f(x)=(a∈R,e为自然对数的底数).若存在x∈[0,1],设f(x)=x成立,则实数a的取值范围是________.[解析] 依题意=x在x∈[0,1]上有解,∴a=ex+x-x2,x∈[0,1].令φ(x)=ex+x-x2,x∈[0,1],则φ′(x)=ex-2x+1≥0,∴φ(x)在x∈[0,1]上单调递增,又φ(0)=1,φ(1)=e,所以a∈[1,e].[答案] [1,e]5.(2014·宿迁调研)设某商品的需求函数为Q=100-5P,其中Q,P分别表示需求量和价格,如果商品需求弹性大于1(其中=-P,Q′是Q的导数),则商品价格P的取值范围是________.6\n[解析] 由Q=100-5P得Q′=-5,由=-P知,>1,解得10<P<20.又由Q>0得P<20,综上知P的取值范围是(10,20).[答案] (10,20)6.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图象如图2123所示,则下列结论中一定成立的是________.①函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1);②函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1);③函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2);图2123④函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2).[解析] 由函数的图象可知,f′(-2)=0,f′(2)=0,并且当x<-2时,f′(x)>0,当-2<x<1,f′(x)<0,函数f(x)有极大值f(-2).又当1<x<2时,f′(x)<0,当x>2时,f′(x)>0,故函数f(x)有极小值f(2).[答案] ④7.(2012·福建高考改编)已知f(x)=x3-6x2+9x-abc,a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c)=0.现给出如下结论:①f(0)f(1)>0;②f(0)f(1)<0;③f(0)f(3)>0;④f(0)f(3)<0.其中正确结论的序号是________.[解析] ∵f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),由f′(x)<0,得1<x<3,由f′(x)>0,得x<1或x>3,∴f(x)在区间(1,3)上是减函数,在区间(-∞,1),(3,+∞)上是增函数.又a<b<c,f(a)=f(b)=f(c)=0,∴y极大值=f(1)=4-abc>0,y极小值=f(3)=-abc<0,∴0<abc<4.∴a,b,c均大于零,或者a<0,b<0,c>0.又x=1,x=3为函数f(x)的极值点,后一种情况不可能成立,如图.6\n∴f(0)<0,∴f(0)f(1)<0,f(0)f(3)>0,∴正确结论的序号是②③.[答案] ②③8.做一个圆锥漏斗,其母线长为20cm,使其体积最大,则其高为________cm.[解析] 设圆锥的体积为Vcm3,高为hcm,则V=π(400-h2)h=π(400h-h3),∴V′=π(400-3h2),由V′=0,得h=.当0<h<时,V′>0;当<h<20时,V′<0;∴当h=cm时,V最大.[答案] 二、解答题9.(2014·镇江质检)已知x=1是函数f(x)=ax3-x2+(a+1)x+5的一个极值点.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若曲线y=f(x)与直线y=2x+m有三个交点,求实数m的取值范围.[解] (1)f′(x)=ax2-3x+a+1=0,由f′(1)=0,得a=1,∴y=x3-x2+2x+5.(2)曲线y=f(x)与直线y=2x+m有三个交点,即x3-x2+2x+5-2x-m=0有三个根,即有3个零点.由g(x)′=x2-3x=0得x=0或x=3.由g′(x)>0得x<0或x>3,由g′(x)<0得0<x<3.∴函数g(x)在(-∞,0)上为增函数,在(0,3)上为减函数,在(3,+∞)上为增函数,要使g(x)有三个零点,只需解得:<m<5.即实数m的取值范围为.6\n10.(2014·扬州调研)已知函数f(x)=2x2+,g(x)=lnx+b.(1)当b=0时,求函数h(x)=f(x)-g(x)的极值;(2)若b是正整数,且g(x)≤ax≤f(x)对任意x∈(0,+∞)恒成立,试求b的值及a的取值范围.[解] (1)当b=0时,h(x)=2x2+-lnx,h′(x)=4x-=(x>0),令h′(x)=0得,x=或x=-(舍去),当0<x<时,h′(x)<0,此时函数h(x)在上单调递减;当x>时,h′(x)>0,此时函数h(x)在上单调递增,∴当x=时,h(x)有极小值h=1+ln2.(2)∵g(x)≤ax≤f(x)对任意x∈(0,+∞)恒成立,∴g(x)≤f(x)对任意x∈(0,+∞)恒成立,即b≤2x2+-lnx,由(1)知,h(x)=2x2+-lnx当x=时有极小值,也是最小值,∴b≤1+ln2,∵b是正整数,且1+ln2∈(1,2),∴b=1.又g(x)≤ax≤f(x),即≤a≤2x+,∵2x+≥2,∴a≤2,设φ(x)=,则φ′(x)=-,令φ′(x)=0,则x=1,当0<x<1时,φ′(x)>0;当x>1时,φ′(x)>0.当x=1时,φ′(x)有极大值,也是最大值1,∴a≥1,∴1≤a≤2,综上所述,b=1,a的取值范围是{a|1≤a≤2}.6\n[B级 能力提升练]一、填空题1.(2013·湖北高考)已知函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是________.[解析] f′(x)=lnx+1-2ax,令f′(x)=0得lnx=2ax-1.∵f(x)有两个极值点,∴函数y=lnx与y=2ax-1的图象有两个交点.直线y=2ax-1过定点(0,-1),设过(0,-1)的直线与y=lnx的图象相切的切点为(x0,lnx0),由y′|x=x0=,得=,∴x0=1,切点为(1,0).[答案] 2.(2014·盐城模拟)设f(x)是定义在R上的可导函数,且满足f(x)+xf′(x)>0,则不等式f()>·f()的解集为________.[解析] 设F(x)=xf(x),则由F′(x)=f(x)+xf′(x)>0,可得函数F(x)是R上的增函数.又>0,∴由f()>f()可变形得f()>f(),即F()>F(),∴解得1≤x<2.[答案] [1,2)二、解答题3.(2014·常州调研)几名大学毕业生合作开设3D打印店,生产并销售某种3D产品.已知该店每月生产的产品当月都能销售完,每件产品的生产成本为34元,该店的月总成本由两部分组成:第一部分是月销售产品的生产成本,第二部分是其他固定支出20000元.假设该产品的月销售量t(x)(件)与销售价格x(元/件)(x∈N*)之间满足如下关系:①当34≤x≤60时,t(x)=-a(x+5)2+10050;②当60≤x≤70时,t(x)=-100x+7600.设该店月利润为M(元),月利润=月销售总额-月总成本.(1)求M关于销售价格x的函数关系式;(2)求该打印店月利润M的最大值及此时产品的销售价格.[解] (1)当x=60时,t(60)=1600,代入t(x)=-a(x+5)2+10050,解得a=2.∴M(x)=即M(x)=(2)设g(u)=(-2u2-20u+10000)(u-34)-20000,34≤u<60,u∈R,则g′(u)=-6(u2-16u-1780).令g′(u)=0,解得u1=8-2(舍去),6\nu2=8+2∈(50,51).当34<u<50时,g′(u)>0,g(u)单调递增;当51<u<60时,g′(u)<0,g(u)单调递减.∵x∈N*,M(50)=44000,M(51)=44226,∴M(x)的最大值为44226.当60≤x≤70时,M(x)=100(-x2+110x-2584)-20000单调递减,故此时M(x)的最大值为M(60)=21600.综上所述,当x=51时,月利润M(x)有最大值44226元.故该打印店店月利润最大为44226元,此时产品的销售价格为51元/件.6
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高考 - 一轮复习
发布时间:2022-08-25 17:50:32
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文章作者:U-336598
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