【高考讲坛】2023高考数学一轮复习 第6章 第6节 数学归纳法及其应用课后限时自测 理 苏教版

【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第6章第6节数学归纳法及其应用课后限时自测理苏教版[A级　基础达标练]一、填空题1．若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，则f(1)＝________.[解析]　当n＝1时，6n－1＝5，∴f(1)＝1＋＋＋＋.[答案]　1＋＋＋＋2．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取________．[解析]　令n0分别取2,3,4,5,6，依次验证即得．[答案]　53．(2014·无锡模拟)用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)”的过程中，第二步n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时，应证明的等式是________．[解析]　由条件知，左边是从20,21一直到2n－1都是连续的，因此当n＝k＋1时，左边应为1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k，而右边应为2k＋1－1.[答案]　1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－14．仔细观察下面○和●的排列规律：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○●……若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________．[解析]　进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……，则前n组两种圈的总数是f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝，易知f(14)＝119，f(15)＝135，故n＝14.[答案]　145．设Sn＝1＋＋＋＋…＋，则Sn＋1－Sn＝________________.6\n[解析]　∵Sn＋1＝1＋＋…＋＋＋…＋，Sn＝1＋＋＋＋…＋，∴Sn＋1－Sn＝＋＋…＋.[答案]　＋＋＋…＋6．对于不等式＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n＝1时，＜1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时，不等式成立，即＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证明过程中错误的是________(填序号)．①n＝1验得不正确．②归纳假设不正确．③从n＝k到n＝k＋1的推理不正确．[解析]　在n＝k＋1时，没用n＝k时的假设，不是数学归纳法．∴从n＝k到n＝k＋1的推理不正确．[答案]　③7．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有：(Sn－1)2＝anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn＝________.[解析]　由(S1－1)2＝S，得S1＝.由(S2－1)2＝(S2－S1)S2，得S2＝.由(S3－1)2＝(S3－S2)S3，得S3＝.猜想Sn＝.[答案]　8．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋<(n≥2，n∈N*)的过程中，若设f(n)＝＋＋…＋，则f(k＋1)与f(k)的关系是________．6\n[解析]　f(k)＝＋＋…＋，f(k＋1)＝＋＋…＋＋＋，∴f(k＋1)＝f(k)＋＋－.[答案]　f(k＋1)＝f(k)＋＋－二、解答题9．(2014·无锡调研)已知过一个凸多边形的不相邻的两个端点的连线段称为该凸多边形的对角线．(1)分别求出凸四边形、凸五边形、凸六边形的对角线的条数；(2)猜想凸n边形的对角线条数f(n)，并用数学归纳法证明．[解]　(1)凸四边形的对角线条数为2条；凸五边形的对角线条数为5条；凸六边形的对角线条数为9条．(2)猜想f(n)＝(n≥3，n∈N*)．证明如下：当n＝3时，f(3)＝0成立；设当n＝k(k≥3)时猜想成立，即f(k)＝，则当n＝k＋1时，考虑(k＋1)边形A1A2…AkAk＋1，①k边形A1A2…Ak中原来的对角线都是(k＋1)边形中的对角线，且边A1Ak也成为(k＋1)边形中的对角线；②在Ak＋1与A1，A2，…，Ak连接的k条线段中，除Ak＋1A1，Ak＋1Ak外，都是k＋1边形中的对角线，共计有f(k＋1)＝f(k)＋1＋(k－2)＝＋1＋(k－2)＝＝＝＝，即猜想对n＝k＋1时也成立．综上得f(n)＝对任何n≥3，n∈N*都成立．10．已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝＋－1，且an>0，n∈N*.6\n(1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式；(2)证明通项公式的正确性．[解]　(1)当n＝1时，由已知得a1＝＋－1，a＋2a1－2＝0.∴a1＝－1(a1＞0)．当n＝2时，由已知得a1＋a2＝＋－1，将a1＝－1代入并整理得a＋2a2－2＝0.∴a2＝－(a2＞0)．同理可得a3＝－.猜想an＝－(n∈N*)．(2)①由(1)知，当n＝1,2,3时，通项公式成立．②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时，通项公式成立，即ak＝－.由ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－，将ak＝－代入上式并整理得a＋2ak＋1－2＝0，解得：ak＋1＝－(an＞0)．即当n＝k＋1时，通项公式也成立．由①和②，可知对所有n∈N*，an＝－都成立．[B级　能力提升练]一、填空题1．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是________．①若f(1)<1成立，则f(10)<100成立②若f(2)<4成立，则f(1)≥1成立③若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立④若f(4)≥16成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立[解析]　①②的答案与题设中不等号方向不同，故①②错；③中，应该是k≥3时，均有f(k)≥k2成立．④正确．[答案]　④6\n2．用数学归纳法证明…>(k>1)，则当n＝k＋1时，左端应乘上________．[解析]　因为分母的公差为2，所以乘上去的第一个因式是，最后一个因式是.[答案]　…1＋二、解答题3．(2014·扬州中学开学检测)数列{2n－1}的前n项组成集合An＝{1,3,7，…，2n－1}(n∈N*)，从集合An中任取k(k＝1,2,3，…，n)个数，其所有可能的k个数的乘积的和为Tk(若只取一个数，规定乘积为此数本身)，记Sn＝T1＋T2＋…＋Tn.例如：当n＝1时，A1＝{1}，T1＝1，S1＝1；当n＝2时，A2＝{1,3}，T1＝1＋3，T2＝1×3，S2＝1＋3＋1×3＝7.(1)求S3；(2)猜想Sn，并用数学归纳法证明．[解]　(1)当n＝3时，A3＝{1,3,7}，T1＝1＋3＋7＝11，T2＝1×3＋1×7＋3×7＝31，T3＝1×3×7＝21，∴S3＝11＋31＋21＝63.(2)由S1＝1＝21－1＝2－1，S2＝7＝23－1＝2－1，S3＝63＝26－1＝2－1，猜想Sn＝2－1，下面证明：①易知n＝1时成立；②假设n＝k时Sk＝2－1，则n＝k＋1时，Sk＋1＝T1＋T2＋T3＋…＋Tk＋1＝[T′1＋(2k＋1－1)]＋[T′2＋(2k＋1－1)T′1]＋[T′3＋(2k＋1－1)T′2]＋…＋[T′k＋(2k＋1－1)T′k](其中T′i，i＝1,2，…，k，为n＝k时可能的k个数的乘积的和Tk，)＝(T′1＋T′2＋T′3＋…＋T′k)＋(2k＋1－1)＋(2k＋1－1)(T′1＋T′2＋T′3＋…＋T′k)＝Sk＋(2k＋1－1)＋(2k＋1－1)Sk6\n＝2k＋1＋(2k＋1－1)＝2k＋1·2－1＝2－1，即n＝k＋1时Sk＋1＝2－1也成立，综合①②知对n∈N*，Sn＝2－1成立，∴Sn＝2－1.6