高考数学总复习：正弦定理和余弦定理

1.正弦定理abc(1)内容:=sinAsinBsinC2R(其中R为△ABC外接圆的半径).(2)正弦定理的几种常见变形①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;abc②sinA,sinB,sinC(;其中R是△ABC外接2R2R2R圆半径)③asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA;④a:b:c=sinA:sinB:sinC.2.余弦定理(1)余弦定理的内容c2=b2+a2-2bacosC,b2=a2+c2-2accosB,a2=b2+c2-2bccosA.(2)余弦定理的变形222bcacosA;2bc222acbcosB;2ac222abccosC.2ab(3)勾股定理是余弦定理的特殊情况在余弦定理表达式中分别令A､B､C为90°,则上述关系式分别化为:a2=b2+c2,b2=a2+c2,c2=a2+b2.3.解斜三角形的类型在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况如下:4.测距离的应用5.测高的应用6.仰角､俯角､方位角､视角(1)在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角,在水平线下方的角叫做俯角,如下左图所示.(2)如上右图所示,P点的方向角为南偏东60°.(3)由物体两端射出的两条光线,在眼球内交叉而成的角叫做视角.7.△ABC的面积公式有1(1)Sah(h表示a边上的高);aa21122sinBsinCabc(2)SabsinC2RsinAsinBsinCa;22sinA4R1(3)Srabc()(r为内切圆半径);21(4)Sppapbpc()()()[其中pabc].2考点陪练1.已知ABC,a中2,b3,B60,那么角A等于()A.135B.90C.45D.30ab232解析:由正弦定理,得,可得sinA.sinAsinBsinA322又a2b3,所以AB,所以A45.答案:C2.ABC的边分别为abc,､､且a1,c42,B45,则ABC的面积为()AB.43.5CD.2.6211解析:SacsinB142sin452.ABC22答案:C2223.在ABC,中角ABC､､的对边分别为a、b、c,若acbtanB3,ac则角B的值为()AB..6352CD..或或6633222解析:由acbtanB3,ac联想到余弦定理并代入222acb313cosB得cosB.22actanB2sinB32显然B,,sinB在(0,)内B或.2233答案:D4.在△ABC中,角A,B,C的对边为a,b,c,若ab3,2,B=45°,则角A等于()A.30°B.30°或105°C.60°D.60°或120°ab解析:由正弦定理得,sinAsinBasinB3sinA.b22又A(,),A或AD.故选.433答案:D5.(2010·湖南)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若∠C=120°,a,c2则()A.a>bB.a<bc.a=bd.a与b的大小关系不能确定解析:c2=a2+b2-2abcos120°⇒a2-b2-ab=0⇒b=aa52<a,故选a.答案:a类型一正弦定理和余弦定理的应用解题准备:1.正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系,根据题目的实际情况,我们可以选择其中一种使用,也可以综合起来运用.2.在求角时,能用余弦定理的尽量用余弦定理,因为用正弦定理虽然运算量较小,但容易产生增解或漏解.3.综合运用正､余弦定理解三角形问题时,要注意以下关系式的运用:a+b+c=π,sin(a+b)=sinc,cos(a+b)=-abcabccosc,tan(a+b)=-tancsin,cos,cossin.2222【典例1】在△abc中,若∠b=30°,ab23,ac=2,求△abc的面积.abac[解]解法一:根据正弦定理有,sincsinb1∴sinc=23absinb23.ac22由ab>AC知∠C>∠B,则∠C有两解.(1)当C为锐角时,∠C=60°,∠A=90°,由三角形面积公式得:S=AB·AC·sinA=1×2×sin90°23=.2312(2)当C为钝角时,∠C=120°,∠A=30°,由三角形面积公式得2:1112323,S=2AB·AC·sinA=22∴△ABC的面积为或233.解法二:由余弦定理得:|AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB|·|BC|cosB,即:4=12+|BC|2-2××|BC|×323,2∴|BC|2-6|BC|+8=0,∴|BC|=2或|BC|=4.1(1)当|BC|=2时,S=|AB|·|BC|·sinB△2112323.221(2)当|BC|=4时,S=|AB|·|BC|·sinB△21123423.22∴△ABC的面积为23或3.[反思感悟]本题主要考查正弦定理､三角形面积公式及分类讨论的数学思想,同时也考查了三角函数的运算能力及推理能力.类型二判断三角形的形状解题准备:1.这类题型主要是利用正､余弦定理及其变形,把题设条件中的边､角关系转化为角或边的简单关系,从而进行判断.2.判断三角形的形状的思路大致有两种:一是化边为角,以角为着眼点,利用正､余弦定理及变形,把已知条件转化为内角三角函数之间的关系,走三角变形之路;二是化角为边,以边为着眼点,利用正､余弦定理及变形,把已知条件转化为边的关系,走代数变形之路.在运用这些方法对等式变形时,一般两边不约去公因式,应移项提公因式,以免产生漏解.【典例2】在△ABC中,a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)•sin(A+B),试判断该三角形的形状.[分析]利用正、余弦定理进行边角互化,转化为边边关系或角角关系.[解]解法一:由已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)•sin(A+B).得a2[sin(A-B)-sin(A+B)]=b2[-sin(A+B)-sin(A-B)]∴2a2cosAsinB=2b2cosBsinA.由正弦定理得sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA,即sin2A•sinAsinB=sin2B•sinAsinB.∵0<a<π,0<b<π,∴sin2a=sin2b∴2a=2b或2a=π-2b,即a=b或a+b=.2∴△abc是等腰三角形或直角三角形.解法二:同解法一可得2a2cosasinb=2b2cosbsina,由正、余弦定理得222b2c2a2acba2b•=b2a•2ac2bc∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),即(a2-b2)(c2-a2-b2)=0,∴a=b或c2=a2+b2,∴△abc为等腰三角形或直角三角形.[反思感悟]判断三角形形状主要有如下两条途径:(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用a+b+c=π这个结论.在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.类型三测量高度和角度问题解题准备:1.在测量高度的问题中,要正确理解仰角､俯角和坡角､坡度等特定的相关概念,画出准确的示意图.2.(1)仰角､俯角:在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角.(2)坡角､坡度:坡面与水平面的夹角叫做坡角;坡面的竖直高度与水平宽度的比值叫做坡度.3.测量角度问题,首先要明确方位角､方向角的含义:指北或指南方向线与目标方向线所成的0°~90°的角叫做方向角:从指正北方向线顺时针转到目标方向线所成的角度叫做方位角.4.方向角是解三角形实际问题中经常出现的.目标方向角一般可用“x偏x多少度”来表示,这里第一个“x”是“北”或“南”,第二个“x”是“东”或“西”.如北偏东25°等.5.在解此类应用题时,分析题目条件,理清已知与所求,再根据题意正确画出示意图,这是最关键､最重要的一步.通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题,解题中也要注意体会正､余弦定理“联袂”使用的优点.【典例3】在湖面上高hm处,测得天空中一朵云的仰角为α,测得云在湖中之影的俯角为β.sin()试证云距湖面的高度为hm.sin()[证明]如图,设湖面上高hm处为a,测得云c的仰角为α,测得c在湖中之影d的俯角为β,cd与湖面交于m,过a的水平线交cd于e.设云高cmxm,则cexh,xhdexh,ae.tanxhxhxh又ae,tantantantantansin()解得xhhm.tantansin()[反思感悟]在测量高度时,要理解仰角､俯角的概念.仰角和俯角都是在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角,当视线在水平线之上时,称为仰角;当视线在水平线之下时,称为俯角.解斜三角形应用题的一般步骤是:①准确理解题意,分清已知与所求;②依题意画出示意图;③分析与问题有关的三角形;④运用正､余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解问题的答案;⑤注意方程思想的运用;⑥要把立体几何知识与平面几何知识综合运用.[探究]如图,在海岸a处发现北偏东45°方向,距a处(31)海里的b处有一艘走私船.在a处北偏西75°方向,距a处2海里的c处的我方缉私船奉命以103海里>180°,故B=135°不适合题意,是个增解.这个增解产生的根源是忽视了a>b这一条件,根据三角形的边角关系,角B应小于角A,故B=135°应舍去.[正解]在△ABC中,由正弦定理可得bsinA2sin602sinB,a62因为a>b,所以A>B,所以B=45°.[答案]45°[评析]已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角时,一定要注意根据边角关系,确定适合题意的角是一个还是两个.错源二因忽视边角关系而致错【典例2】在△ABC中,tanA=a2,tanB=b2,那么△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形222tanAa[错解]tanA由a,tanBb得,2tanBb2sinAcosBsinAcosBsinA即,,所以2cosAsinBsinBcosAsinB所以sinAcosAsinBcosB,所以sin2Asin2B,所以AB.所以ABC是等腰三角形,选C.[剖析]上述错解忽视了满足sin2A=sin2B的另一个角之间的关系:2A+2B=180°.2222tanAasinAcosBsinA[正解]tanA由a,tanBb得,即,22tanBbcosAsinBsinBcosBsinA所以,所以sinAcosAsinBcosB,cosAsinB所以sin2Asin2B,所以AB或AB90.所以ABC是等腰三角形或直角三角形,选D.[答案]D[评析]判断三角形形状时,一定要把边或角的关系考查周全,避免遗漏.错源三因忽视角的范围而致错a【典例3】在△ABC中,若A=2B,求b的取值范围.[错解]在△ABC中,由正弦定理,可得asinB22sinBcosB2,cosBbsinBsinB因为0<b<π,所以-1<cosb<1,a所以-2<2cosb<2,又0,b所以0<2cosb<2,a所以的取值范围是(0,2).b[剖析]上述错解忽视了根据已知条件a=2b进一步考查角b的取值范围.[正解]在△abc中,由正弦定理,可得asinb22sinbcosb2,cosbbsinbsinb因为a=2b,a+b<π,所以0,b31所以<cosb<1,所以1<2cosb<2,2所以a的取值范围是(1,2).b[评析]对于三角形的内角,一定要注意根据三角形内角和定理准确限定角的取值范围.错源四因忽视隐含条件而致错【典例4】在△abc中,已知a=4+b,a+c=2b,最大角为120°,求最大边长.[错解]由ab4,可得b-c=4,ac2b所以a>b>c,即最大边长为a,所以A=120°,因为b=a-4,c=b-4=a-8,所以在△ABC中由余弦定理,得222(a4)(a8)a1cosA,2(aa4)(8)2解得a=14或a=4,所以最大边长为4或14.[剖析]上述错解忽视了已知条件a=4+b中隐含的a>4这一要求.[正解]由ab4,可得b-c=4,ac2b所以a>b>c,即最大边长为a,所以A=120°,因为b=a-4,c=b-4=a-8,所以在△ABC中由余弦定理,得222(a4)(a8)a1cosA,2(aa4)(8)2解得a=14或a=4,因为a=4+b,所以a>4,所以最大边长为14.[评析]对于题目中的隐含条件,尤其是范围条件,一定要善于挖掘.错源五忽视内角和定理的限制【典例5】在ABC,3sinA4cosB中6,3cosA4sinB1,则C的大小为()5AB..6652CD..或或66333sinA4cosB61[错解]由平方相加得sinAB.3cosA41sinB215sinC,C或,故选C.26611[剖析]平方易增解,3cosA4sinB1由得cosA.32A.35C.63sinA4cosB61[正解]由平方相加得sinAB.3cosA4sinB1215sinC,C或.2665若C,则AB.661113cosA4sinB0,cosA,325A.C,C,故应选A.366[答案]A技法一方程思想【典例1】如图,D是直角△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β.(1)证明:sinα+cos2β=0;(2)若AC=,3DC求β的值.[解]1证明:因为BAD2(2)2,所以sinsin2cos2.222即sincos20.DCAC2在ADC,中由正弦定理,得.sinsin()DC3DC即,3所以sinsin.sinsin()又由1可知:sincos2,所以sin3cos2223(12sin),即23sinsin30.33解得sin或sin.233因为0,故sin,从而.223[方法与技巧]第(2)问借助正弦定理得到“sinβ=sinα3”,结合第(1)问的结论消去α角,把问题转化为关于sinβ的一元二次方程,通过解方程求得.此题灵活运用了消元思想和方程思想.技法二分类讨论思想【典例2】如图,有两条相交成60°的直线xx′,yy′,其交点为O,甲、乙两辆汽车分别在xx′,Oy′上行驶,起初甲离O点30km,乙离O点10km,后来两车均用60km/h的速度,甲沿xx′方向,乙沿yy′方向行驶(设甲、乙两车最初的位置分别为A,B).(1)起初两车的距离是多少?(2)用包含t的式子表示,t小时后两车的距离是多少?[解](1)由余弦定理,知AB2=OA2+OB2-2×OA×OB×cos60°=302+102-2×30×10×1=700.2故AB=107(km).即起初两车的距离是107km.(2)设甲､乙两车t小时后的位置分别为P,Q,则AP=60t,BQ=60t.1①当0≤t≤时,∠POQ=60°.2此时OP=30-60t,OQ=10+60t.由余弦定理,得PQ2=(30-60t)2+(10+60t)2-2×(30-60t)(10+60t)cos60°=10800t2-3600t+700.1②当t时,∠POQ=120°.2此时OP=60t-30,OQ=10+60t.由余弦定理,得PQ2=(60t-30)2+(10+60t)2-2×(60t-30)(10+60t)cos120°=10800t2-3600t+700.综上知PQ2=10800t2-3600t+700.则2PQ10108t36t7.2故t小时后两车的距离是PQ10108t36t7(km).[方法与技巧]本题是一个解三角形的实际问题,由于两车的行驶方向导致以O点为起点的两线段的夹角发生变化,因此必须对两种情况进行分类讨论.技法三数形结合思想【典例3】在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100m后,又从B点测得斜度为45°.设建筑物的高为50m,求山坡对于地平面的斜度的倾斜角θ的余弦值.[解题切入点]本题是测量角度问题,首先应根据题意画出图形,如图所示.设山坡对于地平面的斜度的倾斜角∠EAD=θ,这样可在△ABC中利用正弦定理求出BC;再在△BCD中,利用正弦定理得到关于θ的三角函数关系式,进而解出θ.[解]在ABC,BAC15,CBA180中45135,100BCACB30,AB100m.根据正弦定理,有sin30sin15100sin15所以BC.sin30100sin15又在BCD,CD中50,BC,CBD45,sin30CDB90.100sin1550sin30根据正弦定理,有.解得cos3.1sin495sin(0)即山坡对于地面的斜度的倾斜角的余弦值为31.[方法与技巧]题中已知条件较多,为了求倾斜角,根据题意画出其示意图,将已知条件归结到△ABC与△BCD中.在△BCD中,利用三角形的性质,将∠CDB与角θ联系起来,从而在两个三角形中,利用正弦定理将θ求出.</b<π,所以-1<cosb<1,a所以-2<2cosb<2,又0,b所以0<2cosb<2,a所以的取值范围是(0,2).b[剖析]上述错解忽视了根据已知条件a=2b进一步考查角b的取值范围.[正解]在△abc中,由正弦定理,可得asinb22sinbcosb2,cosbbsinbsinb因为a=2b,a+b<π,所以0,b31所以<cosb<1,所以1<2cosb<2,2所以a的取值范围是(1,2).b[评析]对于三角形的内角,一定要注意根据三角形内角和定理准确限定角的取值范围.错源四因忽视隐含条件而致错【典例4】在△abc中,已知a=4+b,a+c=2b,最大角为120°,求最大边长.[错解]由ab4,可得b-c=4,ac2b所以a></a<π,0<b<π,∴sin2a=sin2b∴2a=2b或2a=π-2b,即a=b或a+b=.2∴△abc是等腰三角形或直角三角形.解法二:同解法一可得2a2cosasinb=2b2cosbsina,由正、余弦定理得222b2c2a2acba2b•=b2a•2ac2bc∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),即(a2-b2)(c2-a2-b2)=0,∴a=b或c2=a2+b2,∴△abc为等腰三角形或直角三角形.[反思感悟]判断三角形形状主要有如下两条途径:(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用a+b+c=π这个结论.在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.类型三测量高度和角度问题解题准备:1.在测量高度的问题中,要正确理解仰角､俯角和坡角､坡度等特定的相关概念,画出准确的示意图.2.(1)仰角､俯角:在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角.(2)坡角､坡度:坡面与水平面的夹角叫做坡角;坡面的竖直高度与水平宽度的比值叫做坡度.3.测量角度问题,首先要明确方位角､方向角的含义:指北或指南方向线与目标方向线所成的0°~90°的角叫做方向角:从指正北方向线顺时针转到目标方向线所成的角度叫做方位角.4.方向角是解三角形实际问题中经常出现的.目标方向角一般可用“x偏x多少度”来表示,这里第一个“x”是“北”或“南”,第二个“x”是“东”或“西”.如北偏东25°等.5.在解此类应用题时,分析题目条件,理清已知与所求,再根据题意正确画出示意图,这是最关键､最重要的一步.通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题,解题中也要注意体会正､余弦定理“联袂”使用的优点.【典例3】在湖面上高hm处,测得天空中一朵云的仰角为α,测得云在湖中之影的俯角为β.sin()试证云距湖面的高度为hm.sin()[证明]如图,设湖面上高hm处为a,测得云c的仰角为α,测得c在湖中之影d的俯角为β,cd与湖面交于m,过a的水平线交cd于e.设云高cmxm,则cexh,xhdexh,ae.tanxhxhxh又ae,tantantantantansin()解得xhhm.tantansin()[反思感悟]在测量高度时,要理解仰角､俯角的概念.仰角和俯角都是在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角,当视线在水平线之上时,称为仰角;当视线在水平线之下时,称为俯角.解斜三角形应用题的一般步骤是:①准确理解题意,分清已知与所求;②依题意画出示意图;③分析与问题有关的三角形;④运用正､余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解问题的答案;⑤注意方程思想的运用;⑥要把立体几何知识与平面几何知识综合运用.[探究]如图,在海岸a处发现北偏东45°方向,距a处(31)海里的b处有一艘走私船.在a处北偏西75°方向,距a处2海里的c处的我方缉私船奉命以103海里></bc.a=bd.a与b的大小关系不能确定解析:c2=a2+b2-2abcos120°⇒a2-b2-ab=0⇒b=aa52<a,故选a.答案:a类型一正弦定理和余弦定理的应用解题准备:1.正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系,根据题目的实际情况,我们可以选择其中一种使用,也可以综合起来运用.2.在求角时,能用余弦定理的尽量用余弦定理,因为用正弦定理虽然运算量较小,但容易产生增解或漏解.3.综合运用正､余弦定理解三角形问题时,要注意以下关系式的运用:a+b+c=π,sin(a+b)=sinc,cos(a+b)=-abcabccosc,tan(a+b)=-tancsin,cos,cossin.2222【典例1】在△abc中,若∠b=30°,ab23,ac=2,求△abc的面积.abac[解]解法一:根据正弦定理有,sincsinb1∴sinc=23absinb23.ac22由ab>