【高考领航】2022高考数学总复习 3-7 正弦定理和余弦定理练习 苏教版

【高考领航】2022高考数学总复习3-7正弦定理和余弦定理练习苏教版【A组】一、填空题1．(2022·高考浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B＝________.解析：根据正弦定理，由acosA＝bsinB，得sinAcosA＝sin2B，∴sinAcosA＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1.答案：12．(2022·高考上海卷)在△ABC中，若sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC的形状是________．解析：由正弦定理得a2＋b2<c2，故cosC＝<0，所以C为钝角．答案：钝角三角形3．(2022·高考湖南卷)在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于________．解析：由余弦定理得AB2＋4－2·AB×2×cos60°＝7，解得AB＝3，或AB＝－1(舍去)，设BC边上的高为x，由三角形面积关系得·BC·x＝AB·BC·sin60°，解得x＝.答案：4．(2022·高考重庆卷)若△ABC的内角A、B、C满足6sinA＝4sinB＝3sinC，则cosB＝________.解析：依题意，结合正弦定理得6a＝4b＝3c，设3c＝12k(k>0)，则有a＝2k，b＝3k，c＝4k；由余弦定理得cosB＝＝＝.答案：5．(2022·高考陕西卷)在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a＝2，B＝，c＝2，则b＝________.7\n解析：由余弦定理可知b2＝4＋12－2×4×＝4，∴b＝2.答案：26．(2022·高考广东卷)在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC＝________.解析：由正弦定理可知，＝，所以AC＝＝＝2.答案：27．(2022·高考福建卷)如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点D在BC边上，∠ADC＝45°，则AD的长度等于____．解析：在△ABC中，∵AB＝AC＝2，BC＝2，∴cosC＝，∴sinC＝；在△ADC中，由正弦定理得，＝，∴AD＝×＝.答案：二、解答题8．(2022·高考江西卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知3acosA＝ccosB＋bcosC.(1)求cosA的值；(2)若a＝1，cosB＋cosC＝，求边c的值．解：(1)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC，两式相加，则有ccosB＋bcosC＝a，代入已知条件得3acosA＝a，即cosA＝.(2)由cosA＝得sinA＝，则cosB＝－cos(A＋C)＝－cosC＋sinC，代入cosB＋cosC＝，得cosC＋sinC＝，从而得sin(C＋φ)＝1，其中sinφ＝，cosφ＝，0<φ<，则C＋φ＝，于是sinC＝，由正弦定理得c＝＝.9．(2022·南京、盐城高三年级第三次模拟考试)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、7\nb、c.已知向量m＝(b，a－2c)，n＝(cosA－2cosC，cosB)，且m⊥n.(1)求的值；(2)若a＝2，|m|＝3，求△ABC的面积S.解：(1)方法一：由m⊥n得，b(cosA－2cosC)＋(a－2c)cosB＝0.根据正弦定理得，sinBcosA－2sinBcosC＋sinAcosB－2sinCcosB＝0.因此(sinBcosA＋sinAcosB)－2(sinBcosC＋sinCcosB)＝0，即sin(A＋B)－2sin(B＋C)＝0.因为A＋B＋C＝π，所以sinC－2sinA＝0.即＝2.方法二：由m⊥n得，b(cosA－2cosC)＋(a－2c)cosB＝0.根据余弦定理得，b×＋a×－2b×－2c×＝0.即c－2a＝0.所以＝＝2.(2)因为a＝2，由(1)知，c＝2a＝4.因为|m|＝3，即＝3，解得b＝3.所以cosA＝＝.所以sinA＝.因此△ABC的面积S＝bcsinA＝×3×4×＝.【B组】一、填空题1．(2022·高考陕西卷)在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a＝2，B＝，c＝2，则b＝________.解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝22＋(2)2－2×2×2cos＝4，∴b＝2.答案：27\n2．(2022·高考北京卷)在△ABC中，若a＝3，b＝，∠A＝，则∠C的大小为________．解析：由正弦定理有＝，即＝，sinB＝，∴∠B＝或π.∵a>b，∴∠A>∠B，则∠B＝.又∵∠A＋∠B＋∠C＝π，∴∠C＝.答案：3．(2022·高考湖北卷)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若三边的长为连续的三个正整数，且A>B>C,3b＝20acosA，则sinA∶sinB∶sinC为________．解析：∵A>B>C，∴a>b>c.又∵a，b，c为连续的三个正整数，∴设a＝n＋1，b＝n，c＝n－1(n≥2，n∈N*)．∵3b＝20acosA，∴＝cosA，∴＝，＝，即＝，化简得7n2－27n－40＝0，(n－5)(7n＋8)＝0，∴n＝5.又∵＝＝，∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝6∶5∶4.答案：6∶5∶44．(2022·高考重庆卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，b＝2，cosC＝，则sinB＝________.解析：∵c2＝a2＋b2－2abcosC7\n∴c2＝1＋4－2×1×2×＝4，∴c＝2.∵cosC＝，∴sinC＝.又b＝c＝2，∴sinB＝.答案：5．(2022·长春名校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝2，1＋＝，则C＝________.解析：由1＋＝和正弦定理得cosA＝，∴A＝60°.由正弦定理得＝，∴sinC＝，又c<a，∴C<60°，∴C＝45°.答案：45°6．(2022·无锡二模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4sin2－cos2C＝，且a＋b＝5，c＝，则△ABC的面积为________．解析：因为4sin2－cos2C＝，所以2[1－cos(A＋B)]－2cos2C＋1＝，2＋2cosC－2cos2C＋1＝，cos2C－cosC＋＝0，解得cosC＝.根据余弦定理有cosC＝＝，ab＝a2＋b2－7,3ab＝a2＋b2＋2ab－7＝(a＋b)2－7＝25－7＝18，ab＝6，所以△ABC的面积S△ABC＝ab·sinC＝×6×＝.答案：7．(2022·兰州调研)在△ABC中，a＝3，b＝2，cosC＝，则△ABC的面积为________．解析：∵cosC＝，∴sinC＝，∴S△ABC＝absinC＝×3×2×＝4.7\n答案：4二、解答题8．(2022·高考辽宁卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列．(1)求cosB的值；(2)边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．解：(1)由已知得2B＝A＋C，A＋B＋C＝180°，解得B＝60°，所以cosB＝.(2)法一：由已知b2＝ac，及cosB＝，根据正弦定理得sin2B＝sinAsinC，所以sinAsinC＝1－cos2B＝.法二：由已知b2＝ac，及cosB＝，根据余弦定理得cosB＝，解得a＝c，所以B＝C＝A＝60°，故sinAsinC＝.9．(2022·高考山东卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB(tanA＋tanC)＝tanAtanC.(1)求证：a，b，c成等比数列；(2)若a＝1，c＝2，求△ABC的面积S.解：(1)证明：在△ABC中，由于sinB(tanA＋tanC)＝tanAtanC，所以sinB＝·，因此sinB(sinAcosC＋cosAsinC)＝sinAsinC，所以sinBsin(A＋C)＝sinAsinC，又A＋B＋C＝π，所以sin(A＋C)＝sinB，因此sin2B＝sinAsinC.由正弦定理得b2＝ac，即a，b，c成等比数列．(2)因为a＝1，c＝2，所以b＝，7\n由余弦定理得cosB＝＝＝，因为0＜B＜π，所以sinB＝＝.故△ABC的面积S＝acsinB＝×1×2×＝.7