高中数学复习专题：正弦定理和余弦定理

§4.6　正弦定理和余弦定理最新考纲考情考向分析掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，加强数形结合思想的应用意识．题型多样，中档难度.1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容(1)＝＝＝2R(2)a2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝c2＋a2－2cacos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C变形(3)a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(4)sinA＝，sinB＝，sinC＝；(5)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(6)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA(7)cosA＝；cosB＝；cosC＝2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解3.三角形常用面积公式(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA；(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．知识拓展1．三角形内角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sin＝cos；(4)cos＝sin.3．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　×　)(2)在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B.(　√　)(3)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形．(　×　)(4)在△ABC中，＝.(　√　)(5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．(　√　)题组二　教材改编2．[P10B组T2]在△ABC中，acosA＝bcosB，则这个三角形的形状为________．答案　等腰三角形或直角三角形解析　由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．3．[P18T1]在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．答案　2解析　∵＝，∴sinB＝1，∴B＝90°，∴AB＝2，∴S△ABC＝×2×2＝2.题组三　易错自纠4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c<bcosa，则△abc为(>0，∴cosB<0，∴B为钝角，故△ABC为钝角三角形．5．(2018·桂林质检)在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　)A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定答案　C解析　由正弦定理得＝，∴sinB＝＝＝>1.∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．6．(2018·包头模拟)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝________.答案　解析　由3sinA＝5sinB，得3a＝5b.又因为b＋c＝2a，所以a＝b，c＝b，所以cosC＝＝＝－.因为C∈(0，π)，所以C＝.题型一　利用正、余弦定理解三角形1．(2016·山东)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，则A等于(　　)A.B.C.D.答案　C解析　在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，∵b＝c，∴a2＝2b2(1－cosA)，又∵a2＝2b2(1－sinA)，∴cosA＝sinA，∴tanA＝1，∵A∈(0，π)，∴A＝，故选C.2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cosC等于(　　)A.B．－C．±D.答案　A解析　∵8b＝5c，∴由正弦定理，得8sinB＝5sinC.又∵C＝2B，∴8sinB＝5sin2B，∴8sinB＝10sinBcosB.∵sinB≠0，∴cosB＝，∴cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝.3．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sinB＝，C＝，则b＝________.答案　1解析　因为sinB＝且B∈(0，π)，所以B＝或B＝.又C＝，B＋C<π，所以B＝，A＝π－B－C＝.又a＝，由正弦定理得＝，即＝，解得b＝1.思维升华(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．题型二　和三角形面积有关的问题典例在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acosB.(1)证明：A＝2B；(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．(1)证明　由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB，故2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，于是sinB＝sin(A－B)．又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.(2)解　由S＝，得absinC＝，故有sinBsinC＝sinA＝sin2B＝sinBcosB，由sinB≠0，得sinC＝cosB.又B，C∈(0，π)，所以C＝±B.当B＋C＝时，A＝；当C－B＝时，A＝.综上，A＝或A＝.思维升华(1)对于面积公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．跟踪训练　(1)(2018·承德质检)若AB＝2，AC＝BC，则S△ABC的最大值为(　　)A．2B.C.D．3答案　A解析　设BC＝x，则AC＝x.根据三角形的面积公式，得S△ABC＝·AB·BCsinB＝x.①根据余弦定理，得cosB＝＝＝.②将②代入①，得S△ABC＝x＝.由三角形的三边关系，得解得2－2<x<2＋2，故当x＝2时，s△abc取得最大值2，故选a.(2)在△abc中，内角a，b，c所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，c＝，则△abc的面积是________．答案>0，∴sinA＝1，即A＝，∴△ABC为直角三角形．引申探究1．本例(2)中，若将条件变为2sinAcosB＝sinC，判断△ABC的形状．解　∵2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)，∴2sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB，∴sin(A－B)＝0.又A，B为△ABC的内角．∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形．2．本例(2)中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC，判断△ABC的形状．解　∵a2＋b2－c2＝ab，∴cosC＝＝，又0<c<π，∴c＝，又由2cosasinb＝sinc得sin(b－a)＝0，∴a＝b，故△abc为等边三角形．命题点2>0，∴sinA＝cosA，即tanA＝.∵0</c<π，∴c＝，又由2cosasinb＝sinc得sin(b－a)＝0，∴a＝b，故△abc为等边三角形．命题点2></x<2＋2，故当x＝2时，s△abc取得最大值2，故选a.(2)在△abc中，内角a，b，c所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，c＝，则△abc的面积是________．答案></bcosa，则△abc为(></a<ba≥ba>