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创新方案高考数学复习精编(人教新课标)38正弦定理和余弦定理应用举例doc高中数学

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第三章第八节正弦定理和余弦定理应用举例题组一距离问题1.一船自西向东航行,上午10时到达灯塔P的南偏西75°、距塔68海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,那么这只船航行的速度为(  )A.海里/时B.34海里/时C.海里/时D.34海里/时解析:如图.由题意知∠MPN=75°+45°=120°,∠PNM=45°.在△PMN中,由正弦定理,得,∴MN=68×=34.又由M到N所用时间为14-10=4小时,∴船的航行速度v=(海里/时).答案:A2.一船以每小时15km的速度向东航行,船在A处看到一灯塔M在北偏东60°方向,行驶4h后,船到达B处,看到这个灯塔在北偏东15°方向,这时船与灯塔的距离为________km.解析:如图,依题意有AB=15×4=60,∠MAB=30°,∠AMB=45°,在△AMB中,由正弦定理得=,解得BM=30km.答案:303.如以下图,为了测量河对岸A,B两点间的距离,6/6\n在这一岸定一基线CD,现已测出CD=a和∠ACD=60°,∠BCD=30°,∠BDC=105°,∠ADC=60°,试求AB的长.解:在△ACD中,已知CD=a,∠ACD=60°,∠ADC=60°,所以AC=a.①在△BCD中,由正弦定理可得BC==a.②在△ABC中,已经求得AC和BC,又因为∠ACB=30°,所以利用余弦定理可以求得A、B两点之间的距离为AB==a.题组二高度问题4.据新华社报道,强台风“珍珠”在广东饶平登陆.台风中心最大风力到达12级以上,大风降雨给灾区带来严重的灾害,不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后,折成与地面成45°角,树干也倾斜为与地面成75°角,树干底部与树尖着地处相距20米,那么折断点与树干底部的距离是(  )A.米B.10米C.米D.20米解析:如图,设树干底部为O,树尖着地处为B,折断点为A,那么∠ABO=45°,∠AOB=75°,∴∠OAB=60°.由正弦定理知,,∴AO=(米).答案:A5.在一个塔底的水平面上某点测得该塔顶的仰角为θ,由此点向塔底沿直线行走了30m,测得塔顶的仰角为2θ,再向塔底前进10m,又测得塔顶的仰角为4θ,那么塔的高度为________.解析:如图,依题意有PB=BA=30,PC=BC=.在三角形BPC中,由余弦定理可得cos2θ=6/6\n=,所以2θ=30°,4θ=60°,在三角形PCD中,可得PD=PC·sin4θ=10·=15(m).答案:15m6.某人在山顶观察地面上相距2500m的A、B两个目标,测得目标A在南偏西57°,俯角为30°,同时测得B在南偏东78°,俯角是45°,求山高(设A、B与山底在同一平面上,计算结果准确到0.1m).解:画出示意图(如以下图)设山高PQ=h,那么△APQ、△BPQ均为直角三角形,在图(1)中,∠PAQ=30°,∠PBQ=45°.∴AQ=,BQ==h.在图(2)中,∠AQB=57°+78°=135°,AB=2500,所以由余弦定理得:AB2=AQ2+BQ2-2AQ·BQcos∠AQB,即25002=(h)2+h2-2h·h·cos135°=(4+)h2,∴h=≈984.4(m).答:山高约984.4m.题组三角度问题7.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,如果c=a,B=30°,那么角C等于(  )A.120°B.105°C.90°D.75°解析:∵c=a,∴sinC=sinA=sin(180°-30°-C)=sin(30°+C)=(sinC+cosC),即sinC=-cosC.∴tanC=-.又C∈(0,180°),6/6\n∴C=120°.答案:A8.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,那么这个新的三角形的形状为(  )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度决定解析:设增加同样的长度为x,原三边长为a、b、c,且c2=a2+b2,a+b>c新的三角形的三边长为a+x、b+x、c+x,知c+x为最大边,其对应角最大.而(a+x)2+(b+x)2-(c+x)2=x2+2(a+b-c)x>0,由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正,那么为锐角,那么它为锐角三角形.答案:A题组四正、余弦定理的综合应用9.有一山坡,坡角为30°,假设某人在斜坡的平面上沿着一条与山坡底线成30°角的小路前进一段路后,升高了100米,那么此人行走的路程为(  )A.300mB.400mC.200mD.200m解析:如图,AD为山坡底线,AB为行走路线,BC垂直水平面.那么BC=100,∠BDC=30°,∠BAD=30°,∴BD=200,AB=2BD=400米.答案:B10.线段AB外有一点C,∠ABC=60°,AB=200km,汽车以80km/h的速度由A向B行驶,同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶,那么运动开场________h后,两车的距离最小.解析:如以下图:设th后,汽车由A行驶到D,摩托车由B行驶到E,那么AD=80t,BE=50t.因为AB=200,所以BD=200-80t,问题就是求DE最小时t的值.由余弦定理:DE2=BD2+BE2-2BD·BEcos60°=(200-80t)2+2500t2-(200-80t)·50t=12900t2-42000t+40000.当t=时DE最小.答案:11.如图,扇形AOB,圆心角AOB等于60°,半径为2,6/6\n在弧AB上有一动点P,过P引平行于OB的直线和OA交于点C,设∠AOP=θ,求△POC面积的最大值及此时θ的值.解:因为CP∥OB,所以∠CPO=∠POB=60°-θ,∴∠OCP=120°.在△POC中,由正弦定理得=,∴=,所以CP=sinθ.又=,∴OC=sin(60°-θ).因此△POC的面积为S(θ)=CP·OCsin120°=·sinθ·sin(60°-θ)×=sinθsin(60°-θ)=sinθ(cosθ-sinθ)=[cos(2θ-60°)-],θ∈(0°,60°).所以当θ=30°时,S(θ)取得最大值为.12.(2022·宁波模拟)某建筑的金属支架如以下图,根据要求AB至少长2.8m,C为AB的中点,B到D的距离比CD的长小0.5m,∠BCD=60°,已知建造支架的材料每米的价格一定,问怎样设计AB,CD的长,可使建造这个支架的本钱最低?解:设BC=am(a≥1.4),CD=bm,连接BD.那么在△CDB中,(b-)2=b2+a2-2abcos60°.∴b=.∴b+2a=+2a.设t=a-1,t≥-1=0.4,那么b+2a=+2(t+1)=3t++4≥7,等号成立时t=0.5>0.4,a=1.5,b=4.6/6\n答:当AB=3m,CD=4m时,建造这个支架的本钱最低.6/6

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发布时间:2022-08-25 23:48:07 页数:6
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文章作者:U-336598

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