创新方案高考数学复习精编(人教新课标)107模拟方法概率的应用doc高中数学
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第十章第第七节模拟方法——概率的应用题组一与长度有关的几何概型1.已知地铁列车每10min一班,在车站停1min,那么乘客到达站台立即乘上车的概率是( )A.B.C.D.解析:设乘客到达站台立即乘上车为事件A,试验的所有结果构成的区域长度为10min,而构成事件A的区域长度为1min,故P(A)=.答案:A2.在长为12cm的线段AB上任取一点M,并以线段AM为一边作正方形,那么此正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为( )A.B.C.D.解析:正方形的面积介于36cm2与81cm2之间,所以正方形的边长介于6cm到9cm之间.线段AB的长度为12cm,那么所求概率为=.答案:C3.《广告法》对插播广告的时间有一定的规定,某人对某台的电视节目做了长期的统计后得出结论,他任意时间翻开电视机看该台节目,看不到广告的概率为,那么该台每小时约有________分钟的广告.解析:60×(1-)=6分钟.答案:6题组二与面积(或体积)有关的几何概型4.(2022·辽宁高考)ABCD为长方形,AB=2,BC=1,O为AB的中点.在长方形ABCD内随机取一点,取到的点到O的距离大于1的概率为( )A.B.1-C.D.1-解析:对应长方形的面积为2×1=2,而取到的点到O的距离小于等于1时,其是以O5/5\n为圆心,半径为1所作的半圆,对应的面积为×π×12=π,那么满足条件的概率为:1-=1-.答案:B5.设-1≤a≤1,-1≤b≤1,那么关于x的方程x2+ax+b2=0有实根的概率是( )A.B.C.D.解析:由题知该方程有实根满足条件作平面区域如右图:由图知阴影面积为1,总的事件对应面积为正方形的面积,故概率为.答案:B6.已知Ω={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0},A={(x,y)|x≤4,y≥0,x-2y≥0},假设向区域Ω上随机投一点P,那么点P落入区域A的概率为( )A.B.C.D.解析:作出两集合表示的平面区域如以下图.容易得出Ω所表示的平面区域为三角形AOB及其边界,A表示的区域为三角形OCD及其边界.容易求得D(4,2)恰为直线x=4,x-2y=0,x+y=6三线的交点.那么可得S△AOB=×6×6=18,S△OCD=×4×2=4.所以点P落在区域A的概率为答案:D7.在区域内任取一点P,那么点P落在单位圆x2+y2=1内的概率为( )A.B.C.D.解析:区域为△ABC内部(含边界),那么概率为P===.答案:D8.在边长为2的正三角形ABC内任取一点P,那么使点P到三个顶点的距离至少有一个小5/5\n于1的概率是________.解析:以A、B、C为圆心,以1为半径作圆,与△ABC相交出三个扇形(如以下图),当P落在阴影局部时符合要求.∴P==.答案:π9.已知函数f(x)=x2-2ax+b2,a,b∈R.(1)假设a从集合{0,1,2,3}中任取一个元素,b从集合{0,1,2}中任取一个元素,求方程f(x)=0有两个不相等实根的概率;(2)假设a从区间[0,2]中任取一个数,b从区间[0,3]中任取一个数,求方程f(x)=0没有实根的概率.解:(1)∵a取集合{0,1,2,3}中任一个元素,b取集合{0,1,2}中任一个元素,∴a,b的取值的情况有(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2).其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值,即根本领件总数为12.设“方程f(x)=0有两个不相等的实根”为事件A,当a≥0,b≥0时,方程f(x)=0有两个不相等实根的充要条件为a>b.当a>b时,a,b取值的情况有(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),即A包含的根本领件数为6,∴方程f(x)=0有两个不相等实根的概率P(A)==.(2)∵a从区间[0,2]中任取一个数,b从区间[0,3]中任取一个数,那么试验的全部结果构成区域Ω={(a,b)|0≤a≤2,0≤b≤3},这是一个矩形区域,其面积SΩ=2×3=6.设“方程f(x)=0没有实根”为事件B,那么事件B所构成的区域为M={(a,b)|0≤a≤2,0≤b≤3,a<b},5/5\n即图中阴影局部的梯形,其面积SM=6-×2×2=4.由几何概型的概率计算公式可得方程f(x)=0没有实根的概率P(B)===.题组三生活中的几何概型10.平面上有一组平行线且相邻平行线间的距离为3cm,把一枚半径为1cm的硬币任意平掷在这个平面,那么硬币不与任何一条平行线相碰的概率是( )A.B.C.D.解析:平面被这一组平行线分割成条状区域,现对两条平行线之间的区域考虑:平行线间的距离为3cm,硬币半径为1cm,要想硬币不与两条平行线相碰,硬币中心与两条平行线的距离都应大于1cm,如图:硬币中心只有落在阴影局部(不包括边界)时,才能让硬币与两条平行线都不相碰,那么硬币中心落在阴影局部的概率为.整个平面由无数个这样的条状区域组成,故所求概率是.答案:B11.在平面直角坐标系xOy中,设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域,E是到原点的距离不大于1的点构成的区域,向D中随机投一点,那么所投的点落在E中的概率是__________.解析:如图:区域D表示边长为4的正方形ABCD的内部(含边界),区域E表示单位圆及其内部,因此P==.答案:12.甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位,它们可能在一昼夜的任意时刻到达.甲、乙5/5\n两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时,求有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率.解:甲比乙早到4小时内乙需等待,甲比乙晚到2小时内甲需等待.以x和y分别表示甲、乙两船到达泊位的时间,那么有一艘船停靠泊位时需等待一段时间的充要条件为-2≤x-y≤4,在如图所示的平面直角坐标系内,(x,y)的所有可能结果是边长为24的正方形,而事件A“有一艘船停靠泊位时需等待一段时间”的可能结果由阴影局部表示.由几何概型公式得:P(A)==.故有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率是.5/5
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