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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第8章 第6节 抛物线(含解析)新人教B版

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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第8章第6节抛物线新人教B版一、选择题1.(2022·石家庄五校联考)若抛物线y=ax2的准线的方程是y=2,则实数a的值是(  )A.       B.-C.8D.-8[答案] B[解析] 由条件知,-=2,∴a=-.2.(2022·合肥质检)已知点M(1,0),直线l:x=-1,点B是l上的动点,过点B垂直于y轴的直线与线段BM的垂直平分线交于点P,则点P的轨迹是(  )A.抛物线B.椭圆C.双曲线的一支D.直线[答案] A[解析] P在BM的垂直平分线上,故|PB|=|PM|.又PB⊥l,因而点P到直线l的距离等于P到M的距离,所以点P的轨迹是抛物线.3.(文)直线y=x-3与抛物线y2=4x交于A、B两点,过A、B两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P、Q,则梯形APQB的面积为(  )A.48B.56C.64D.72[答案] A[解析] 由题意不妨设A在第一象限,联立y=x-3和y2=4x可得A(9,6),B(1,-2),而抛物线的准线方程是x=-1,所以|AP|=10,|QB|=2,|PQ|=8,故S梯形APQB=(|AP|+|QB|)·|PQ|=48,故选A.(理)(2022·郑州质量预测)过抛物线y2=8x的焦点F作倾斜角为135°的直线交抛物线于A、B两点,则弦AB的长为(  )A.4  B.8    C.12   D.16[答案] D[解析] 抛物线y2=8x的焦点F的坐标为(2,0),直线AB的倾斜角为135°,故直线AB的方程为y=-x+2,代入抛物线方程y2=8x,得x2-12x+4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则弦AB的长|AB|=x1+x2+4=12+4=16.4.(2022·湖北武汉调研)已知O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为(  )A.2B.2C.2D.4[答案] C[解析] 设P点坐标为(x0,y0),则由抛物线的焦半径公式得|PF|=x0+=4,x0=3-12-\n,代入抛物线的方程,得|y0|=2,S△POF=|y0|·|OF|=2,选C.5.(文)(2022·辽宁五校联考)已知AB是抛物线y2=2x的一条焦点弦,|AB|=4,则AB中点C的横坐标是(  )A.2B.C.D.[答案] C[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+1=4,∴x1+x2=3,∴=,即AB中点C的横坐标是.(理)(2022·武昌模拟)直线y=k(x-2)交抛物线y2=8x于A,B两点,若AB中点的横坐标为3,则弦AB的长为(  )A.6B.10C.2D.16[答案] B[解析] 将y=k(x-2)代入y2=8x中消去y得,k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),∴x1+x2==6,∴k=±2,∴|AB|=|x1-x2|=·=·=10.6.已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,P是抛物线y2=4x上一动点,则点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(  )A.2B.3C.D.[答案] A[解析] 直线l2:x=-1为抛物线y2=4x的准线,由抛物线的定义知,P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离,故本题化为在抛物线y2=4x上找一个点P,使得P到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小,最小值为F(1,0)到直线l1:4x-3y+6=0的距离,即dmin==2,故选A.[点评] 与抛物线有关的最值问题常见题型.(1)点在抛物线外,利用两点间线段最短求最小值.①(2022·甘肃天水调研)已知P为抛物线y=x2上的动点,点P在x轴上的射影为M,点A的坐标是(2,0),则|PA|+|PM|的最小值是________.[答案] -1[解析] 如图,抛物线y=x2,即x2=4y的焦点F(0,1),记点P在抛物线的准线l:y=-1上的射影为P′,根据抛物线的定义知,|PP′|=|PF|,则|PP′|+|PA|=|PF|+|PA|≥|AF|==.-12-\n所以(|PA|+|PM|)min=(|PA|+|PP′|-1)min=-1.(2)定点在抛物线内,利用点到直线的垂线段最短求最小值.②(2022·河南洛阳、安阳统考)点P在抛物线x2=4y的图象上,F为其焦点,点A(-1,3),若使|PF|+|PA|最小,则相应P的坐标为________.[答案] (-1,)[解析] 由抛物线定义可知PF的长等于点P到抛物线准线的距离,所以过点A作抛物线准线的垂线,与抛物线的交点(-1,)即为所求点P的坐标,此时|PF|+|PA|最小.③已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又定点A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时P点的坐标.[分析] 抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d,求|PA|+|PF|的问题可转化为|PA|+d的问题,运用三点共线可使问题得到解决.[解析] 将x=3代入抛物线方程y2=2x,得y=±,∵>2,∴点A在抛物线内部.设抛物线上点P到准线l:x=-的距离为d,由定义,知|PA|+|PF|=|PA|+d,当PA⊥l时,|PA|+d最小,最小值为,即|PA|+|PF|的最小值为,此时P点纵坐标为2,代入y2=2x,得x=2,即点P的坐标为(2,2).(3)抛物线上动点到定直线与抛物线准线(或焦点)距离和(或差)的最值转化为点到直线距离最小.④已知P是抛物线y2=4x上一动点,则点P到直线l:2x-y+3=0和y轴的距离之和的最小值是(  )A.B.C.2D.-1[答案] D[解析] 由题意知,抛物线的焦点为F(1,0).设点P到直线l的距离为d,由抛物线的定义可知,点P到y轴的距离为|PF|-1,所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d+|PF|-1.易知d+|PF|的最小值为点F到直线l的距离,故d+|PF|的最小值为=-12-\n,所以d+|PF|-1的最小值为-1.(4)利用直角三角形斜边大于直角边求最小值.⑤(2022·陕西质检)已知点M(-3,2)是坐标平面内一定点,若抛物线y2=2x的焦点为F,点Q是该抛物线上的一动点,则|MQ|-|QF|的最小值是(  )A.B.3C.D.2[答案] C[解析] 如图,|MQ′|-|Q′F|=|MQ′|-|Q′A′|=|MA′|=|NA|=|NQ|-|AQ|≤|MQ|-|AQ|=|MQ|-|QF|.(其中l是抛物线的准线,QA⊥l,垂足为A,Q′M⊥l垂足为A′,MN⊥QN),∵抛物线的准线方程为x=-,∴|QM|-|QF|≥|xQ+3|-|xQ+|=3-=,选C.(5)与其他曲线有关的抛物线最值问题.⑥(2022·忻州联考)已知P为抛物线y2=4x上一个动点,Q为圆x2+(y-4)2=1上一个动点,那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是________.[答案] -1[解析] 抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),圆x2+(y-4)2=1的圆心为C(0,4),设点P到抛物线的准线距离为d,根据抛物线的定义有d=|PF|,∴|PQ|+d=|PQ|+|PF|≥(|PC|-1)+|PF|≥|CF|-1=-1.(6)与平面向量交汇命题.⑦已知点A(2,0)、B(4,0),动点P在抛物线y2=-4x上运动,则·取得最小值时的点P的坐标是______.[答案] (0,0)[解析] 设P,则=,=,·=+y2=+y2+8≥8,当且仅当y=0时取等号,此时点P的坐标为(0,0).(7)利用三角形两边之和大于第三边.⑧(2022·郑州第一次质量检测)已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB的中点到x轴的最短距离为(  )-12-\nA.   B.   C.1  D.2[答案] D[解析] 由题意知,抛物线的准线l:y=-1,过点A作AA1⊥l交l于点A1,过点B作BB1⊥l交l于点B1,设弦AB的中点为M,过点M作MM1⊥l交l于点M1,则|MM1|=.因为|AB|≤|AF|+|BF|(F为抛物线的焦点),即|AF|+|BF|≥6,当直线AB过点F时,等号成立,所以|AA1|+|BB1|=|AF|+|BF|≥6,2|MM1|≥6,|MM1|≥3,故点M到x轴的距离d≥2,选D.(8)转化为二次函数最值或用基本不等式求最值.二、填空题7.若点(3,1)是抛物线y2=2px的一条弦的中点,且这条弦所在直线的斜率为2,则p=________.[答案] 2[解析] 设弦两端点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则两式相减得,==2,∵y1+y2=2,∴p=2.8.(2022·福州期末)若抛物线y2=4x的焦点为F,过F且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点,动点P在曲线y2=-4x(y≥0)上,则△PAB的面积的最小值为________.[答案] 2[解析] 由题意得F(1,0),直线AB的方程为y=x-1.由得x2-6x+1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,x1x2=1,∴|AB|=·=8.设P(-,y0),则点P到直线AB的距离为,∴△PAB的面积S==≥2,即△PAB的面积的最小值是2.9.(2022·山东广饶一中期末)抛物线y2=8x的顶点为O,A(1,0),过焦点且倾斜角为的直线l与抛物线交于M,N两点,则△AMN的面积是________.[答案] 4[解析] 焦点F(2,0),直线l:x=y+2,代入抛物线y2=8x,消去x,得y2-8y-16=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=8,y1y2=-16.∴|y1-y2|==8.故△AMN的面积S=×1×|y1-y2|=4.三、解答题10.(2022·豫南九校联考)已知动圆M过定点F(1,0)且与直线x=-1相切,圆心M的轨迹为H.(1)求曲线H的方程;(2)一条直线AB经过点F交曲线H于A、B两点,点C为x=-1上的动点,是否存在这样的点C,使得△ABC是正三角形?若存在,求点C的坐标;否则,说明理由.[解析] (1)设M(x,y),由题意知M到定点F的距离等于到定直线x=-1的距离,-12-\n所以M的轨迹是以F为焦点的抛物线,=1,∴p=2,∴曲线H的方程为y2=4x.(2)设直线AB:x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2),C(-1,n),由消去x得y2-4my-4=0,∴y1+y2=4m,y1y2=-4,∴x1+x2=4m2+2,x1x2=1.则M的坐标为(,),即M(2m2+1,2m).由kCM·kAB=·=-1得n=2m3+4m,则C(-1,2m3+4m).∵|CM|==2(m2+1),|AB|=|y1-y2|=4(1+m2),∵|CM|=|AB|,∴m=±.∴存在这样的点C(-1,±8),使△ABC为正三角形.一、选择题11.已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为(  )A.1  B.3    C.-4  D.-8[答案] C[解析] 由已知可设P(4,y1),Q(-2,y2).∵点P,Q在抛物线x2=2y上,∴42=2y1,(-2)2=2y2,∴y1=8,y2=2.-12-\n∴P(4,8),Q(-2,2).又∵抛物线方程可化为y=x2,∴y′=x.∴过点P的切线斜率为k1=4,切线方程为y=4x-8,又∵过点Q的切线斜率为k2=-2,∴过点Q的切线方程为y=-2x-2,联立解得x=1,y=-4.∴点A的纵坐标为-4.12.(文)如图,抛物线C1:y2=4x和圆C2:(x-1)2+y2=1,直线l经过C1的焦点F,依次交C1,C2于A,B,C,D四点,则·的值为(  ) A.B.1C.2D.4[答案] B[解析] 法一:抛物线C1的焦点F也是圆C2的圆心(1,0).可用特殊法:当l与x轴垂直时,|AD|=4,|BC|=2,|AB|=|CD|=1,∴·=||||=1.故选B.法二:由抛物线的定义知,||=||-1=xA,||=||-1=xD,||||=xA·xD==1.-12-\n∴·=||||=1.故选B.(理)直线3x-4y+4=0与抛物线x2=4y和圆x2+(y-1)2=1从左到右的交点依次为A、B、C、D,则的值为(  )A.16B.C.4D.[答案] B[解析] 由得x2-3x-4=0,∴xA=-1,xD=4,yA=,yD=4,∵直线3x-4y+4=0恰过抛物线的焦点F(0,1).∴|AF|=yA+1=,|DF|=yD+1=5,∴==.故选B.13.(文)(2022·山东淄博一模)过抛物线y2=4x焦点F的直线交其于A,B两点,A在第一象限,B在第四象限,O为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB的面积为(  )A.B.C.D.2[答案] C[解析] 设A(x0,y0),由|AF|=1+x0=3,得x0=2,∴A(2,2),直线AB的方程为y=2(x-1),与y2=4x联立,解得B(,-).∴S△AOB=×1×|2-(-)|=.(理)(2022·课标全国Ⅱ理)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为(  )A.B.C.D.[答案] D[解析] 由已知得F(,0),故直线AB的方程为y=tan30°·(x-),即y=x-.设A(x1,y1),B(x2,y2),联立将①代入②并整理得x2-x+=0,∴x1+x2=,-12-\n∴线段|AB|=x1+x2+p=+=12.又原点(0,0)到直线AB的距离为d==.∴S△OAB=|AB|d=×12×=.14.(2022·课标全国Ⅰ理)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=4,则|QF|=(  )A.B.C.3D.2[答案] C[解析] 抛物线的焦点是F(2,0),过点Q作抛物线的准线的垂线,垂足是A,则|QA|=|QF|,抛物线的准线与x轴的交点为G,因为=4,∴=,由于△QAP∽△FGP,所以可得==,所以|QA|=3,所以|QF|=3.二、填空题15.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为________.[答案] x=-1[解析] 由消去x得,y2-2py-p2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2p,由条件知,y1+y2=4,∴p=2,∴抛物线的准线方程为x=-1.16.(2022·湖南理)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a、b(a<b),原点O为AD的中点,抛物线y2=2px(p>0)经过C、F两点,则=________. [答案] +1-12-\n[解析] 由题可得C(,-a),F(+b,b),∵C、F在抛物线y2=2px上,∴∴b2-2ab-a2=0,∴=+1,故填+1.三、解答题17.(文)(2022·北京西城区期末)已知A,B是抛物线W:y=x2上的两个点,点A的坐标为(1,1),直线AB的斜率为k,O为坐标原点.(1)若抛物线W的焦点在直线AB的下方,求k的取值范围;(2)设C为W上一点,且AB⊥AC,过B,C两点分别作W的切线,记两切线的交点为D,求|OD|的最小值.[解析] (1)抛物线y=x2的焦点为(0,).由题意,得直线AB的方程为y-1=k(x-1),令x=0,得y=1-k,即直线AB与y轴相交于点(0,1-k).因为抛物线W的焦点在直线AB的下方,所以1-k>,解得k<.(2)由题意,设B(x1,x),C(x2,x),D(x3,y3),联立方程消去y,得x2-kx+k-1=0,由根与系数的关系,得1+x1=k,所以x1=k-1.同理,得AC的方程为y-1=-(x-1),x2=--1.对函数y=x2求导,得y′=2x,所以抛物线y=x2在点B处的切线斜率为2x1,所以切线BD的方程为y-x=2x1(x-x1),即y=2x1x-x.同理,抛物线y=x2在点C处的切线CD的方程为y=2x2x-x.联立两条切线的方程,解得x3==(k--2),y3=x1x2=-k,所以点D的坐标为((k--2),-k).因此点D在定直线2x+y+2=0上.因为点O到直线2x+y+2=0的距离d==,所以|OD|≥,当且仅当点D(-,-)时等号成立.由y3=-k=-,得k=,验证知符合题意.所以当k=时,|OD|有最小值.-12-\n(理)(2022·开封摸底考试)已知圆(x-a)2+(y+1-r)2=r2(r>0)过点F(0,1),圆心M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设P为直线l:x-y-2=0上的点,过点P作曲线C的两条切线PA,PB,当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.[解析] (1)依题意,由圆过定点F可知C的方程为x2=4y.(2)抛物线C的方程为y=x2,求导得y′=x.设A(x1,y1),B(x2,y2)(其中y1=,y2=),则切线PA,PB的斜率分别为x1,x2,所以切线PA的方程为y-y1=(x-x1),即x1x-2y-2y1=0.同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0.因为切线PA,PB均过点P(x0,y0),所以x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0,所以(x1,y1),(x2,y2)为方程x0x-2y0-2y=0的两组解.所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.(3)由抛物线定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,所以|AF|·|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1,联立方程,消去x整理得y2+(2y0-x)y+y=0,由一元二次方程根与系数的关系可得y1+y2=x-2y0,y1y2=y,所以|AF|·|BF|=y1y2+(y1+y2)+1=y+x-2y0+1.又点P(x0,y0)在直线l上,所以x0=y0+2,所以y+x-2y0+1=2y+2y0+5=2(y0+)2+,所以当y0=-时,|AF|·|BF|取得最小值,且最小值为.18.(文)已知动圆过定点F(0,2),且与定直线L:y=-2相切.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;(2)若AB是轨迹C的动弦,且AB过F(0,2),分别以A、B为切点作轨迹C的切线,设两切线交点为Q,证明:AQ⊥BQ.[解析] (1)依题意,圆心的轨迹是以F(0,2)为焦点,L:y=-2为准线的抛物线,因为抛物线焦点到准线距离等于4,所以圆心的轨迹方程是x2=8y.(2)证明:因为直线AB与x轴不垂直,设AB:y=kx+2.A(x1,y1),B(x2,y2).由可得x2-8kx-16=0,∴x1+x2=8k,x1x2=-16.抛物线方程为y=x2,求导得y′=x.所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是k1=x1,k2=x2,-12-\nk1k2=x1·x2=x1·x2=-1.所以AQ⊥BQ.(理)(2022·长春三校调研)在直角坐标系xOy中,点M(2,-),点F为抛物线C:y=mx2(m>0)的焦点,线段MF恰被抛物线C平分.(1)求m的值;(2)过点M作直线l交抛物线C于A、B两点,设直线FA、FM、FB的斜率分别为k1、k2、k3,问k1、k2、k3能否成公差不为零的等差数列?若能,求直线l的方程;若不能,请说明理由.[解析] (1)由题得抛物线C的焦点F的坐标为(0,),线段MF的中点N(1,-)在抛物线C上,∴-=m,8m2+2m-1=0,∴m=(m=-舍去).(2)由(1)知抛物线C:x2=4y,F(0,1).设直线l的方程为y+=k(x-2),A(x1,y1)、B(x2,y2),由得x2-4kx+8k+2=0,Δ=16k2-4(8k+2)>0,∴k<或k>.假设k1、k2、k3能成公差不为零的等差数列,则k1+k3=2k2.而k1+k3=+=====,k2=-,∴=-,8k2+10k+3=0,解得k=-(符合题意)或k=-(不合题意,舍去).∴直线l的方程为y+=-(x-2),即x+2y-1=0.∴k1、k2、k3能成公差不为零的等差数列,此时直线l的方程为x+2y-1=0.-12-

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文章作者:U-336598

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