【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第10章 第2节 用样本估计总体(含解析)新人教B版
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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第10章第2节用样本估计总体新人教B版一、选择题1.一个样本容量为9的样本数据,它们组成一个公差不为0的等差数列{an},若a3=8,且a1,a3,a7成等比数列,则此样本的中位数是( )A.12 B.13 C.14 D.15[答案] A[解析] 设等差数列的公差为d,据题意由a=a1a7,得82=(8-2d)(8+4d)(d≠0),解得d=2,即an=2n+1,数列为单调递增的数列,且样本容量为9,故其中位数即为a5=2×5+2=12.2.在某次测量中得到的A样本数据如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据,则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是( )A.众数B.平均数 C.中位数D.标准差[答案] D[解析] A的众数88,B的众数为88+2=90.“各样本都加2”后,平均数显然不同.A的中位数=86,B的中位数=88,而由标准差公式S=知D正确.3.(文)如图是歌手大奖赛中,七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字0~9中的一个),去掉一个最高分和一个最低分后,甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1,a2,则一定有( )A.a1>a2 B.a2>a1C.a1=a2D.a1、a2的大小不确定[答案] B[解析] 由于去掉一个最高分和一个最低分,则甲去掉70和(90+m),乙去掉79和93,故a1=(1+5×3+4)+80=84,a2=(4×3+6+7)+80=85,∴a2>a1.(理)(2022·六安一模)如图是2022年某校举办“激扬青春,勇担责任”演讲比赛上七位评委为某位选手打出的分数的茎叶图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的中位数和平均数分别为( )7984 4 4 6 793A.85 87B.84 86 C.84 85D.85 86[答案] C-10-\n[解析] 由茎叶图知,评委为某选手打出的分数分别是79,84,84,84,86,87,93,去掉一个最高分和一个最低分后分数分别是84,84,84,86,87,所以中位数为84,平均数为×(84+84+84+86+87)=85.4.(2022·广州“十校”第一次联考)学校为了解学生在课外读物方面的支出情况,抽取了n名同学进行调查,结果显示这些同学的支出都在[10,50)(单位:元),其中支出在[30,50)(单位:元)的同学有67人,其频率分布直方图如图所示,则n的值为( )A.100B.120 C.130D.390[答案] A[解析] 支出在[30,50)的同学的频率为1-(0.01+0.023)×10=0.67,n==100.5.从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示).设甲乙两组数据的平均数分别为甲,乙,中位数分别为m甲,m乙,则( )甲乙8 6 508 8 4 0 010 2 87 5 220 2 3 3 78 0 031 2 4 4 83 142 3 8A.甲<乙,m甲>m乙B.甲<乙,m甲<m乙C.甲>乙,m甲>m乙D.甲>乙,m甲<m乙[答案] B[解析] 从茎叶图中知,甲:5,6,8,10,10,14,18,18,22,25,27,30,30,38,41,43;乙:10,12,18,20,22,23,23,27,31,32,34,34,38,42,43,48.甲=,乙=,m甲==20,m乙==29.故选B.6.(2022·长春第二次调研)如图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图,现已知年龄在[30,35),[35,40),[40,45]的上网人数呈现递减的等差数列分布,则年龄在[35,40)的网民出现的频率为( )-10-\nA.0.04B.0.06 C.0.2D.0.3[答案] C[解析] 因为分布在[20,25)的频率为0.01×5=0.05,分布在[25,30)的频率为0.07×5=0.35,所以分布在[30,35)、[35,40)、[40,45]的频率之和为1-0.05-0.35=0.6,又因为年龄在[30,35)、[35,40)、[40,45]的上网人数呈现递减的等差数列分布,由等差数列的性质可得年龄在[35,40)的网民出现的频率为0.2.二、填空题7.某校高中一年级开设了丰富多彩的校本课程,甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分,用茎叶图表示(如图).S1、S2分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的标准差,则S1________S2.(填“>”、“<”或“=”)甲 乙806 75 4 110224 8[答案] <[解析] 甲=(8+11+14+15+22)=14,乙=(6+7+10+24+28)=15,S=[(8-14)2+(11-14)2+(14-14)2+(15-14)2+(22-14)2]=22,S=[(6-15)2+(7-15)2+(10-15)2+(24-15)2+(28-15)2]=84,∴S1=,S2=2,∴S1<S2.8.(2022·石家庄质检)某学校想要调查全校同学是否知道迄今为止获得过诺贝尔物理奖的6位华人的姓名,为此出了一份考卷.该卷共有6个单选题,每题答对得20分,答错、不答得零分,满分120分.阅卷完毕后,校方公布每题答对率如下:题号一二三四五六答对率80%70%60%50%40%30%则此次调查全体同学的平均分数是________分.[答案] 66[解析] 假设全校人数有x人,则每道试题答对人数及总分分别为题号一二三四五六答对人数0.8x0.7x0.6x0.5x0.4x0.3x每题得分16x14x12x10x8x6x所以六个题的总分为66x,所以平均分为=66.-10-\n9.(文)(2022·江苏)为了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:cm),所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有________株树木的底部周长小于100cm.[答案] 24[解析] 由题意知在抽测的60株树木中,底部周长小于100cm的株数为(0.015+0.025)×10×60=24.(理)(2022·广东东莞一模)某中学为了解学生数学课程的学习情况,在3000名学生中随机抽取200名,并统计这200名学生的某次数学考试成绩,得到了样本的频率分布直方图(如图).根据频率分布直方图推测,这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________.[答案] 600[解析] 成绩小于60分的学生频率为:(0.002+0.006+0.012)×10=0.2,故3000名学生中成绩小于60分的学生数为:3000×0.2=600.三、解答题10.(文)(2022·豫东、豫北十所名校五模)某中学招聘教师有笔试、面试两个环节,笔试成绩超过85分者才能进入面试环节,现已记录前来应聘的9位男教师和9位女教师的笔试成绩,成绩用茎叶图表示如下:男女9628771367698374245953(1)求男教师的平均成绩和女教师成绩的中位数;(2)从进入面试环节的老师中随机挑选2位老师,求2位老师中至少有一位男教师的概率.[解析] (1)男教师的平均成绩为≈85.2.女教师成绩的中位数为83.-10-\n(2)能进入面试环节的男教师有6位,女教师有3位,记满足条件的6位男教师分别为a1,a2,a3,a4,a5,a6,满足条件的3位女教师分别为b1,b2,b3,则从中任取2人的情况有:(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a1,a6),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3);(a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a2,a6),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3);(a3,a4),(a3,a5),(a3,a6),(a3,b1),(a3,b2),(a3,b3);(a4,a5),(a4,a6),(a4,b1),(a4,b2),(a4,b3);(a5,a6),(a5,b1),(a5,b2),(a5,b3);(a6,b1),(a6,b2),(a6,b3);(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3),即基本事件共有36个,至少有一位男教师的的基本事件有33个,故2位老师中至少有一位男教师的概率P==.(理)某学院为了调查本校学生2022年9月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两小时)的天数情况,随机抽取了40名本校学生作为样本,统计他们在该月30天内健康上网的天数,并将所得数据分成以下六组:[0,5],(5,10],…,(25,30],由此画出样本的频率分布直方图,如图所示.(1)根据频率分布直方图,求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数;(2)现从这40名学生中任取2名,设Y为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数,求Y的分布列及其数学期望E(Y).[解析] (1)由图可知,健康上网天数未超过20天的频率为(0.01+0.02+0.03+0.09)×5=0.15×5=0.75,∴健康上网天数超过20天的学生人数是40×(1-0.75)=40×0.25=10.(2)随机变量Y的所有可能取值为0,1,2.P(Y=0)==,P(Y=1)==,P(Y=2)==.所以Y的分布列为Y012-10-\nP∴E(Y)=0×+1×+2×=.一、选择题11.(文)样本容量为100的频率分布直方图如图所示,根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在[2,10)内的频率为a,则a的值为( )A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4[答案] D[解析] 样本数据落在[2,10)内的频率为a=(0.02+0.08)×4=0.4.(理)已知样本:10 8 6 10 13 8 10 12 11 7 8 9 11 9 12 9 10 11 12 12那么频率为0.3的范围是( )A.5.5~7.5B.7.5~9.5C.9.5~11.5D.11.5~13.5[答案] B[解析] 样本容量为20,频率若为0.3,则在此组的频数应为20×0.3=6.列出频率分布表如下:分组频数频率(5.5,7.5)20.1(7.5,9.5)60.3(9.5,11.5)70.35(11.5,13.5)50.25可知选B.[点评] 解答此类问题,只要数出各小组的频数即可选出答案.12.(2022·济宁一模)某学生在一门功课的22次考试中,所得分数如下茎叶图所示,则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为( )考试成绩5662 3 3 5 6 8 971 4 6 6 7 8 9 982 5 7 895 8A.117B.118 -10-\nC.118.5D.119.5[答案] B[解析] 由上图可知,最小值为56,最大值为98,故极差为42,又从小到大排列,排在第11,12位的数为76,76,所以中位数为76,所以极差和中位数之和为42+76=118.选B.13.(2022·皖南八校联考)已知某8个数的平均数为5,方差为2,现又加入一个新数据5,此时这9个数的平均数为,方差为S2,则( )A.=5,S2<2B.=5,S2>2C.>5,S2<2D.>5,S2>2[答案] A[解析] ==5,S2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(x8-)2+(5-5)2]=(8×2+0)=<2.[点评] 一组数据的平均数为a,若再加入一个新数据a,则这组数据的平均数不变,方差变小.14.(文)(2022·天津模拟)甲、乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中,5次得分情况如茎叶图所示,记甲、乙两人的平均得分分别为甲、乙,则下列判断正确的是( )甲乙6 775888 6 82 093A.甲<乙,甲比乙成绩稳定B.甲<乙,乙比甲成绩稳定C.甲>乙,甲比乙成绩稳定D.甲>乙,乙比甲成绩稳定[答案] B[解析] 易知:甲=88+=84.6,乙=88+=86,所以甲<乙;又由图可以看出乙的成绩较为稳定.(理)(2022·济南模拟)某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况,从两块地各随机抽取了10株树苗,用茎叶图表示上述两组数据,对两块地抽取树苗的高度的平均数甲,乙和中位数y甲,y乙进行比较,下面结论正确的是( )甲乙910953102673230047144667-10-\nA.甲>乙,y甲>y乙B.甲<乙,y甲<y乙C.甲<乙,y甲>y乙D.甲>乙,y甲<y乙[答案] B[解析] 由茎叶图得甲==28,乙==35,y甲==27,y乙==35.5,∴甲<乙,y甲<y乙,故选B.二、填空题15.(2022·福建莆田模拟)一组数据如茎叶图所示,若从中剔除2个数据,使得新数据组的平均数不变且方差最小,则剔除的2个数据的积等于________.0381213621[答案] 63[解析] 这组数据的平均数==12,由题意,剔除2个数据,平均数不变,且方差最小,则这两个数的和等于24且(xi-)2的和最大,所以这两个数为3与21,故剔除的2个数据的积等于3×21=63.三、解答题16.(2022·中原名校联考)某市教育主管部门为了弘扬民族文化,在全市各中学开展汉字听写大赛,某学校经过七轮选拔,最后选出甲乙两名选手代表本校参加市里比赛,甲乙两名选手七轮比赛得分情况如下表所示:甲86948988919092乙88899091939287(1)根据表中的数据分析,哪位选手成绩更为稳定?(2)从甲选手的7次成绩中随机抽取两次成绩,求抽出的两次成绩的分数差值至少是3分的概率.[解析] (1)由题意得甲==90,乙==90,S=[(86-90)2+(94-90)2+(89-90)2+(88-90)2+(91-90)2+(90-90)2+(92-90)2]=6;-10-\nS=[(88-90)2+(89-90)2+(90-90)2+(91-90)2+(93-90)2+(92-90)2+(87-90)2]=4;因为6>4,所以乙选手成绩更稳定.(2)从甲选手的七次成绩中随机抽取2次的所有基本事件为:(86,94),(86,89),(86,88),(86,91),(86,90),(86,92),(94,89),(94,88),(94,91),(94,90),(94,92),(89,88),(89,91),(89,90),(89,92),(88,91),(88,90),(88,92),(91,90),(91,92),(90,92)共21种情况,则抽取的两次分数差距至少3分的事件包含:(86,94),(86,89),(86,91),(86,90),(86,92),(94,89),(94,88),(94,91),(94,90),(89,92),(88,91),(88,92)共12种情况.则抽取的两次成绩差距至少3分的概率P==.17.(文)从某校高三年级800名男生中随机抽取50名学生测量其身高,据测量被测学生的身高全部在155cm到195cm之间.将测量结果按如下方式分成8组:第一组[155,160),第二组[160,165),……,第八组[190,195],如下图是按上述分组得到的频率分布直方图的一部分.已知:第1组与第8组的人数相同,第6组、第7组和第8组的人数依次成等差数列.(1)求下列频率分布表中所标字母的值.分组频数频率频率/组距…………[180,185)xy…[185,190)mn…[190,195)z…p(2)若从样本身高属于第6组和第8组的所有男生中随机的抽取2名男生,记他们的身高分别为x、y,求满足|x-y|≤5事件的概率.[解析] (1)由直方图可得前5组的频率是(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)×5=0.82,∵第8组与第1组的人数相同,∴第8组的频率是0.008×5=0.04,频数为z=0.04×50=2,∴第6、7两组的频率为1-(0.82+0.04)=0.14,频数为0.14×50=7人,∴x+m=7,∵x,m,z成等差数列,∴x+z=2m,∴m=3,x=4,从而y=0.08,n=0.06,p=0.008,z=2.(2)由(1)知,身高在[180,185)内的人数为4人,设为a,b,c,d,身高在[190,195]内的人数为2人,设为A,B,若x,y∈[180,185)有ab,ac,ad,bc,bd,cd共6种情况;若x,y∈[190,195]有AB有1种情况,若x∈[180,185),y∈[190,195]时,有aA,bA,cA,dA,aB,bB,cB,dB有8种情况.所以基本事件总数为6+1+8=15种.所以,事件“|x-y|≤5”所包含的基本事件为6+1=7种,∴P(|x-y|≤5)=.(理)(2022·太原五中月考)节能灯的质量通过其正常使用时间来衡量,使用时间越长,表明质量越好,且使用时间大于或等于6千小时的产品为优质品.现用A,B两种不同型号的节能灯做实验,各随机抽取部分产品作为样本,得到实验结果的频率直方图如下图所示:-10-\n若以上述实验结果中使用时间落入各组的频率作为相应的概率.(1)现从大量的A,B两种型号节能灯中各随机抽取两件产品,求恰有两件是优质品的概率;(2)已知A型节能灯的生产厂家对使用时间小于6千小时的节能灯实行“三包”.通过多年统计发现,A型节能灯每件产品的利润y(单位:元)与使用时间t(单位:千小时)的关系式如下表:使用时间t(单位:千小时)t<44≤t<6t≥6每件产品的利润y(单位:元)-202040若从大量的A型节能灯中随机抽取2件,其利润之和记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.[解析] 由频率分布直方图所示,A、B两种产品的使用时间在各个时间段内的频率为:时间段[3,4)[4,5)[5,6)[6,7)[7,8)A0.10.20.20.40.1B0.10.20.30.30.1∴A型号节能灯优质品率为0.5,B型号节能灯优质品率为0.4.∴P(A)=,P(B)=.(1)从A、B两种型号的节能灯中随机抽取两件产品,恰有两件是优质品的概率是P=C()1·()1·C()1·()1+C()2·C()2+C()2·C()2=.(2)由题意知X的可能取值为-40,0,20,40,60,80,∵P(X=-40)=C()2=,P(X=0)=C()1×()1=,P(X=20)=C·()1·()1=,P(X=40)=C()2=,P(X=60)=C()1()1=,P(X=80)=C·()2=.∴X的分布列为X-40020406080P∴E(X)=10×(-4×+0+2×+4×+6×+8×)=52.-10-
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