【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第11章 第6节 几何概型（含解析）北师大版

【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第11章第6节几何概型北师大版一、选择题1．有一杯1L的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1L水，则小杯水中含有这个细菌的概率为(　　)A．0B．0.1C．0.01D．1[答案]　B[解析]　小杯水含有这个细菌的概率为P＝＝0.1.2．(2022·辽宁高考)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是(　　)A．B．C．D．[答案]　B[解析]　考查了几何概型．总面积2×1＝2.半圆面积×π×12＝.∴p＝＝.3．如图，矩形长为6，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此试验数据为依据可以估算出椭圆的面积约为(　　)A．3.84B．4.84C．8.16D．9.16[答案]　C[解析]　矩形的面积为12，设椭圆的面积为S，-8-\n则≈，解得S≈8.16.4．在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为(　　)A．B．C．D．[答案]　A[解析]　面积为36cm2时，边长AM＝6cm；面积为81cm2时，边长AM＝9cm.∴P＝＝＝.5．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是(　　)A．B．C．D．[答案]　C[解析]　如图，在AB边上取点P′，使＝，则P只能在AP′上(不包括P′点)运动，则所求概率为＝.6．若在区间[－5,5]内任取一个实数a，则使直线x＋y＋a＝0与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2有公共点的概率为(　　)A．B．C．D．[答案]　B[解析]　若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离d＝＝≤，-8-\n解得－1≤a≤3.又a∈[－5,5]，故所求概率为＝.二、填空题7．(2022·福建高考)如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．[答案]　0.18[解析]　本题考查了几何概型．由比例知＝，∴S＝0.18.8．(文)设函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，那么任取一点x0，使f(x0)≤0的概率为________．[答案]　[解析]　由f(x0)≤0，得－1≤x0≤2，则f(x0)≤0的概率为P＝＝.(理)在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝________.[答案]　3[解析]　本题考查的是几何概型．由|x|≤m，得－m≤x≤m.当m≤2时，由题意得＝，解得m＝2.5矛盾舍去．当2<m<4时，由题意得：＝，解得m＝3.即m的值为3.9．在区间[－1,1]上任取两数x和y，组成有序数对(x，y)记事件A为“x2＋y2<1”，则P(A)＝________.[答案]　[解析]　事件“从区间[－1,1]上任取两数，x，y组成有序数对(x，y-8-\n)”的所有结果都落在－1≤x≤1，且－1≤y≤1为正方形区域中，而事件A的所有结果都落有以(0,0)为圆心的单位圆面上，故μA＝π，μΩ＝2×2＝4，∴P(A)＝.三、解答题10．如图所示，在单位圆O的某一直径上随机的取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．[解析]　弦长不超过1，即|OQ|≥，而Q点在直径AB上是随机的，记事件C＝{弦长超过1}．由几何概型的概率公式得P(C)＝＝.∴弦长不超过1的概率为1－P(C)＝1－.即所求弦长不超过1的概率为1－.一、选择题1．任意画一个正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第二个正方形，依此类推，这样一共画了4个正方形，如图所示，若向图形中随机投一点，则所投点落在第四个正方形中的概率是(　　)A．B．C．D．[答案]　C-8-\n[解析]　依题意可知，第四个正方形的边长是第一个正方形边长的倍，所以第四个正方形的面积是第一个正方形面积的倍，由几何概型可知，所投点落在第四个正方形中的概率为，故选C．2．(文)已知Ω＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，若向区域Ω内随机投一点P，则点P落在区域A内的概率为(　　)A．B．C．D．[答案]　D[解析]　区域Ω为△AOB，区域A为△OCD，∴所求概率P＝＝＝.(理)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sinx(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是(　　)A．B．C．D．[答案]　A[解析]　由题图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S＝sinxdx＝－cosx|＝－(cosπ－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率是＝＝.-8-\n二、填空题3．已知正三棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP－ABC<VS－ABC的概率是________．[答案]　[解析]　设三棱锥P－ABC的高为h，∵VP－ABC<VS－ABC，∴S△ABC×h<×S△ABC×3，∴h<，即点P位于中截面以下，故所求概率为P＝1－＝.4．(文)在区域M＝{(x，y)|}内随机撒一把黄豆，落在区域N＝{(x，y)|}内的概率是________．[答案]　[解析]　画出区域M，N，如图，区域M为矩形OABC，区域N为图中阴影部分．S阴影＝×4×2＝4，故所求概率P＝＝.(理)已知m∈[1,7]则函数f(x)＝－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在实数集R上是增函数的概率为______．[答案]　[解析]　f′(x)＝x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7，依题意，知f′(x)在R上恒大于或等于0，所以Δ＝4(m2－6m＋8)≤0，得2≤m≤4.又m∈[1,7]，所以所求的概率为＝.三、解答题-8-\n5．投掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面标的数字是0，两个面标的数字是2，两个面标的数字是4，将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标．(1)求点P落在区域C：x2＋y2≤10内的概率；(2)若以落在区域C上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率．[解析]　(1)以0、2、4为横、纵坐标的点P有(0,0)、(0,2)、(0,4)、(2,0)、(2,2)、(2,4)、(4,0)、(4,2)、(4,4)共9个，而这些点中，落在区域C内的点有：(0,0)、(0,2)、(2,0)、(2,2)共4个，∴所求概率为P＝.(2)∵区域M的面积为4，而区域C的面积为10π，∴所求概率为P＝＝.6．(文)设有关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a是从区间[0,3]上任取的一个数，b是从区间[0,2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．[解析]　设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”，当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥B．(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为P(A)＝＝.(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2}，构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，故所求的概率为P(A)＝＝.(理)已知函数f(x)＝ax2－2bx＋a(a，b∈R)．(1)若a从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，求方程f(x)＝0恰有两个不相等实根的概率；(2)若b从区间[0,2]中任取一个数，a从区间[0,3]中任取一个数，求方程f(x)＝0没有实根的概率．-8-\n[解析]　(1)∵a取集合{0,1,2,3}中任一个元素，b取集合{0,1,2,3}中任一个元素∴a，b取值的情况是：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(0,3)，(1,3)，(2,3)，(3,3)其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．即基本事件总数为16.设“方程f(x)＝0恰有两个不相等的实根”为事件A当a≥0，b≥0时，方程f(x)＝0恰有两个不相等实根的充要条件为b>a且a不等于零当b>a且a≠0时，a，b取值的情况有(1,2)，(1,3)，(2,3)即A包含的基本事件数为3，∴方程f(x)＝0恰有两个不相等实根的概率P(A)＝.(2)由b从区间[0,2]中任取一个数，a从区间[0,3]中任取一个数则试验的全部结果构成区域{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，这是一个矩形区域，其面积Sa＝2×3＝6.设“方程f(x)＝0没有实根”为事件B，则事件B所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a>b}．其面积Sb＝6－×2×2＝4，由几何概型的概率计算公式可得：方程f(x)＝0没有实根的概率P(B)＝＝＝.-8-