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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第8章 第2节 简单几何体的面积与体积(含解析)北师大版
【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第8章 第2节 简单几何体的面积与体积(含解析)北师大版
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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第8章第2节简单几何体的面积与体积北师大版一、选择题1.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.πB.πC.π+8D.12π[答案] A[解析] 由三视图可知,该几何体为底面半径是2,高为2的圆柱体和半径为1的球体的组合体,分别计算其体积相加得π×22×2+π=π.2.某几何体的俯视图是如图所示的矩形,主视图是一个底边长为8、高为5的等腰三角形,左视图是一个底边长为6、高为5的等腰三角形,则该几何体的体积为( )A.24B.80C.64D.240[答案] B[解析] 结合题意知该几何体是四棱锥,棱锥底面是长和宽分别为8和6的矩形,棱锥的高是5,可由锥体的体积公式得V=×8×6×5=80,故选B.3.(文)(2022·浙江高考)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是( )-9-\nA.72cm3B.90cm3C.108cm3D.138cm3[答案] B[解析] 本题考查三视图与几何体的体积计算.考查空间想象能力与计算能力.该几何体的直观图为左边是一个横放的棱柱,右边是一个长方体.V=×4×3×3+4×6×3=18+72=90(cm3)对三视图的想象还原关键是“长对正、高平齐、宽相等”.(理)(2022·浙江高考)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是( )A.90cm2B.129cm2C.132cm2D.138cm2[答案] D[解析] 本题考查三视图及几何体表面积公式,由三视图还原后表面积S=2×4×6+2×3×4+3×6+3×3+3×4+3×5+2××3×4=138,选D.注意利用三视图还原后几何体的形状是关键.表面是全面积而不是侧面积.4.正六棱锥P-ABCDEF中,G为PB的中点,则三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC体积之比为( )A.11B.12C.21D.32[答案] C[解析] 考查三棱锥体积的求法及等积法的运用.-9-\nVD-GAC=VG-ACD,∵G为PB中点,∴VP-GAC=VB-GAC=VG-ABC,又S△ABCS△ACD=12.∴VD-GACVP-GAC=VG-ACDVG-ABC=S△ACDS△ABC=21.5.一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如图所示,则该四棱锥侧面积和体积分别是( )A.4,8 B.4,C.4(+1),D.8,8[答案] B[解析] 由正视图知四棱锥底面是边长为2的正方形,高为2,又因为侧棱长相等,所以棱锥是正四棱锥,斜高h′==,侧面积S=4××2×=4,体积V=×2×2×2=.6.(2022·济南模拟)如图所示,在正三棱锥S-ABC中,M、N分别是SC、BC的中点,且MN⊥AM,若侧棱SA=2,则正三棱锥S-ABC外接球的表面积是( )A.12πB.32πC.36πD.48π[答案] C[解析] 在正三棱锥S-ABC中,易证SB⊥AC,又MN綊BS,∴MN⊥AC,∵MN⊥AM,∴MN⊥平面ACM,∴MN⊥SC,∴∠CSB=∠CMN=90°,-9-\n即侧面为直角三角形,底面边长为2.此棱锥的高为2,设外接球半径为R,则(2-R)2+(2××)2=R2,∴R=3.∴外接球的表面积是36π.故选C.二、填空题7.三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=3,底面ABC是边长为2的正三角形,则三棱锥P-ABC的体积等于________.[答案] [解析] 依题意有,三棱锥P-ABC的体积V=S△ABC·|PA|=××22×3=.8.(文)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=3cm,AA1=2cm,则四棱锥A-BB1D1D的体积为________cm3.[答案] 6[解析] 本题考查长方体及四棱锥体积等知识,考查空间想象能力.连接AC交BD于O点,∵AB=AD,∴四边形ABCD为正方形,∴AO⊥BD.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,B1B⊥面ABCD,又AO面ABCD,∴B1B⊥AO.又B1B∩BD=B,∴AO⊥面B1BDD1,即AO长为四棱锥A-B1BDD1的高,∴AO==,S矩B1BDD1=BB1×BD=3×2=6.∴VA-BB1D1D=S矩BB1D1D×AD=×6×=6.(理)某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是________.-9-\n[答案] 92[解析] 本题考查了三视图及直四棱柱的表面积.该几何体的底面是直角梯形,高为4的直四棱柱,几何体的表面积是:S=2××(2+5)×4+(2+5+4+)×4=92.9.(文)(2022·山东高考)一个六棱锥的体积为2,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为________.[答案] 12 [解析] 本题考查六棱锥的体积、侧面积的基本运算.如图所示.由体积V=×6××4·h=2求得高h=1.取AB中点G,连结OG、PG.∵OA=OB,∴AB⊥GO.又PO⊥AB,PO∩GO=O,∴AB⊥平面PGO,∴AB⊥PG.又PO=1,GO=×2=,∴PG=2.∴S侧=6××AB·PG=3×2×2=12.(理)(2022·山东高考)三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积为V1,P-ABC的体积为V2,则=________.[答案] [解析] 本题考查棱锥的体积计算.如图所示-9-\nVP-ABC=VC-PAB设三棱锥C-PAB的高为h1VD-ABE=VE-ABD,设三棱锥E-ABD的高为h2∴==,又S△PAB=2S△ABD∴==.三、解答题10.直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,∠CAB=.(1)证明:CB1⊥BA1;(2)已知AB=2,BC=,求三棱锥C1-ABA1的体积.[解析] (1)如图,连接AB1,∵ABC-A1B1C1是直三棱柱,∠CAB=,∴AC⊥平面ABB1A1,故AC⊥BA1.又∵AB=AA1,∴四边形ABB1A1是正方形,∴BA1⊥AB1,又CA∩AB1=A,∴BA1⊥平面CAB1,故CB1⊥BA1.(2)∵AB=AA1=2,BC=,∴AC=A1C1=1,由(1)知,A1C1⊥平面ABA1,∴VC1-ABA1=S△ABA1·A1C1=×2×1=.一、选择题-9-\n1.(2022·大连模拟)矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC将矩形ABCD折起,使面BAC⊥面DAC,则四面体A-BCD的外接球的体积为( )A.πB.πC.πD.π[答案] C[解析] 外接球直径为AC,∴半径为.∴V=π()3=π.2.已知三棱锥O-ABC中,OA、OB、OC两两垂直,OC=1,OA=x,OB=y,若x+y=4,则三棱锥体积的最大值是( )A.B.C.1D.[答案] B[解析] 由条件可知V三棱锥O—ABC=OA·OB·OC=xy≤()2=,当x=y=2时,取得最大值.二、填空题3.(2022·金华模拟)四棱锥P-ABCD的顶点P在底面ABCD中投影恰好是A,其三视图如图,则四棱锥P-ABCD的体积为________.[答案] a3[解析] 易知该四棱锥中,PA⊥底面ABCD,PA=a,底面是边长为a的正方形,故体积V=a2×a=a3.4.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于________cm3.-9-\n[答案] 24[解析] 本题考查了三视图及几何体的体积问题.由几何体的三视图可知该几何体的图形为三棱柱去掉一个三棱锥,故V=V三棱柱-V三棱锥=×4×3×5-××3×4×3=24.三、解答题5.在底面直径和高均为2R的圆锥内作一内接圆柱,当圆柱的底面半径和高分别为多少时,它的体积最大?[解析] 根据题意作如图所示的截面.设圆柱的高为h,底面半径为r(0<r<R),体积为V,则=,∴h=2(R-r),∴V=πr2h=2πr2(R-r)=2πRr2-2πr3.∴V′=4πRr-6πr2,由V′=0得r=R,当r=R时,圆柱的体积V取得最大值,此时圆柱的高h=2(R-R)=R.6.某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示,墩的上半部分是正四棱锥P-EFGH,下半部分是长方体ABCD-EFGH.图2、图3分别是该标识墩的主(正)视图和俯视图.(1)请画出该安全标识墩的左(侧)视图;-9-\n(2)求该安全标识墩的体积;(3)证明:直线BD⊥平面PEG.[解析] (1)该安全标识墩左(侧)视图如图所示.(2)该安全标识墩的体积V=VP-EFGH+VABCD-EFGH=×40×40×60+40×40×20=64000(cm3).(3)由题设知四边形ABCD和四边形EFGH均为正方形,∴FH⊥EG,又ABCD-EFGH为长方体,∴BD∥FH.设点O是EFGH的对称中心,∵P-EFGH是正四棱锥,∴PO⊥平面EFGH.而FH平面EFGH,∴PO⊥FH.∵FH⊥PO,FH⊥EG,PO∩EG=O,PO平面PEG,EG平面PEG,∴FH⊥平面PEG.而BD∥FH,故BD⊥平面PEG.-9-
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:13:39
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文章作者:U-336598
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